2015高中数学一轮复习066离散型随机变量的数学期望与方差

1、第六十六课时 随机变量的数学期望与方差 课前预习案考纲要求1.理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题2.理解二项分布、超几何分步的数学期望与方差.基础知识梳理1 离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn.(1)数学期望：称E(X) 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的 (2)方差：称D(X) 叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的 (或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差2 二点分布与二项分布、

2、超几何分布的期望、方差期望方差变量X服从二点分布XB(n，p)X服从参数为N，M，n的超几何分布 预习自测1 若随机变量的分布列如下表，则E()的值为_.012345P2x3x7x2x3xx2某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.3 某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，则y的值为()A0.4 B0.6 C0.7 D0.9X101P4 已知X

3、的分布列为设Y2X3，则E(Y)的值为 ()A. B4 C1 D15 设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45课堂探究案典型例题考点1离散型随机变量的均值、方差【典例1】(2012年高考湖北卷)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值

4、与方差；(2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率【变式1】某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望考点2二项分布的均值、方差【典例2】某人投弹命中目标的概率p0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差【变式2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数

5、，数学期望E()3，标准差为.(1)求n，p的值并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率考点3 均值与方差的应用【典例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资

6、10万元一年后的利润(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)<E(X2)时，求p的取值范围【变式3】A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最

7、小值当堂检测1 已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D8X101P2已知X的分布列为且YaX3，E(Y)，则a的值为 ()A1 B2 C3 D43 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为()A2.44 B3.376 C2.376 D2.44 体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范

8、围是 ()A. B. C. D.5 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是_6 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)_.x123P(x)？！？7马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_.课后拓展案 A组全员必做题1 若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1<x2，又已知E(X)，D(X)，则x1x2的

9、值为 ()A. B. C3 D.2 已知抛物线yax2bxc (a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量|ab|的取值，则的数学期望E()为()A. B. C. D.3 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为()A. B. C. D.4 罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望E()_.5 签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大

10、的一个，则X的数学期望为_6为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，.这三项测试能否通过相互之间没有影响(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望B组提高选做题1 设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E()_.2某市

11、公租房的房源位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望3.(2012年高考新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151

12、310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由参考答案预习自测1【答案】【解析】根据概率之和为1，求出x，则E()0×2x1×3x5x40x.2【答案】【解析】由题意知P(X0)(1p)2，p.X0123P随机变量X的分布列为E(X)0×1×2×3×.3【答案】A【解析】由，可得y0.4.4 【答案】A【解析】E(X)(1)×0×1

13、5;.E(Y)2E(X)32×3.5 【答案】A【解析】XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，典型例题【典例1】【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有P(X<300)0.3，P(300X<700)P(X<700)P(X<300)0.70.30.4， P(700X<900)P(X<900)P(X<700)0.90.70.2，P(X900)1P(X<900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)0×0.32×0.46×0.210

14、15;0.13；D(Y)(03)2×0.3(23)2×0.4(63)2×0.2(103)2×0.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X<300)0.7，又P(300X<900)P(X<900)P(X<300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X<900|X300).故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.【变式1】【解析】(1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p1；(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为，

15、则0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为0123P数学期望E()0×1×2×3×.【典例2】【解析】(1)随机变量X的分布列为X01P0.20.8因为X服从二点分布，故E(X)p0.8，D(X)p(1p)0.8×0.20.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即YB(10，0.8)，E(Y)np10×0.88，D(Y)np(1p)10×0.8×0.21.6.探究提高若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)【变式2】【解析】(1)由E()np3，D()np(1p)

16、，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A)【典例3】【解析】(1)X1的概率分布列为X11.21.181.17PE(X1)1.2×1.18×1.17×1.18.由题设得XB(2，p)，即X的概率分布列为X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布列为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3×(1p)21.25×2p(1p)0.2×p21.3×(12pp2)2.5×(pp2)0.2×p2p20.1

17、p1.3.(2)由E(X1)<E(X2)，得p20.1p1.3>1.18，整理得(p0.4)(p0.3)<0，解得0.4<p<0.3.因为0<p<1，所以当E(X1)<E(X2)时，p的取值范围是0<p<0.3.【变式3】【解析】(1)由题设可知Y1和Y2的分布列为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)5×0.810×0.26，D(Y1)(56)2×0.8(106)2×0.24，E(Y2)2×0.28×0.512×0.38，D(Y2)(2

18、8)2×0.2(88)2×0.5(128)2×0.312.(2)f(x)DD2D(Y1)2D(Y2)x23(100x)2(4x2600x3×1002)当且仅当x75时，f(x)3为最小值当堂检测1 【答案】C【解析】由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4.E(X)4×0.5a×0.19×0.46.3，a7.2【答案】B【解析】先求出E(X)(1)×0×1×.再由YaX3得E(Y)aE(X)3.a×3.解得a2.3【答案】C【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为X321

19、0P0.60.240.0960.064E(X)3×0.62×0.241×0.0960×0.0642.376.4 【答案】C【解析】由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3>1.75，解得p>或p<，又由p(0,1)，可得p.5 【答案】0.7【解析】E(X)1×0.70×0.30.7.6 【答案】【解析】由题意知取到次品的概率为，XB，D(X)3××.7【答案】2【

20、解析】设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E()1·x2×(12x)3xx24x3x2. A组全员必做题1 【答案】C【解析】分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：解得或又x1<x2，x1x23.故选C.2【答案】A【解析】抛物线的对称轴在y轴的左侧，<0，即>0，也就是a，b必须同号，的分布列为012PE()0×1×2×.3 【答案】D【解析】由已知得，3a2b0×c2，即3a2b2，其中0<a<，0<b<1.又32，当且仅当，即a2b时取“等号”，又3a2

21、b2，即当a，b时，的最小值为，故选D.4【答案】【解析】因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，为取得红球(成功)的次数，则B，从而有E()np4×.5【答案】5.25【解析】由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)5.25.6解(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP)×××××

22、15;××.答A能够入选的概率为.(2)P(没有入选任何人)4，P(入选了一人)C3，P(入选了两人)C22，P(入选了三人)C3，P(入选了四人)C4，记表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为03 0006 0009 00012 000PE()3 000×6 000×9 000×12 000×8 000(元)所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元B组提高选做题1【答案】【解析】当l的斜率k为±2时，直线l的方程为±2xy10，此时坐标原点到l的距离d；当k为±时，d；当k为

23、±时，d；当k为0时，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1P所以E()×××1×.2解(1)方法一所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为.方法二设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验记“申请A片区房源”为事件A，则P(A).从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P4(2)C22.(2)的所有可能值为1,2,3.又P(1)，P(2)123P，P(3).综上知，的分布列为从而有E()1×2×3×.3解