函数的极限（课堂PPT）

1、.1 函数的极限函数的极限 函数极限的唯一性函数极限的唯一性 函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性 函数极限的局部保号性（定理函数极限的局部保号性（定理1、定理、定理2） 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 .2函数的自变量的变化过程可分为两种情况：函数的自变量的变化过程可分为两种情况： （1）自变量自变量 无限接近有限值无限接近有限值 x,0 x;0 xx 表示为表示为 （2）自变量自变量 x的绝对值的绝对值 无限增大，无限增大， x.x表示为表示为 在自变量的某个变化过程中，在自变量的某个变化过程中， 若对应的函数值无限接近于若对应的函数值无限接近于 某个确定的常数，某个

2、确定的常数， 那么，这个确定的常数就叫做这一变化过那么，这个确定的常数就叫做这一变化过 程中函数的极限。程中函数的极限。 函数极限的描述性定义。函数极限的描述性定义。 xyO0 xA A A 0 x 0 x。Axfxx)(0时时，0)(,)2( ;211)(,2)1( xfxxxfx时时时时.3 的的极极限限时时xfxx0. 1 .lim :000 00000 xxAxfAxfAxfxxAxfxxxxfxx 或或，记记作作有有极极限限时时成成立立，则则称称当当时时，恒恒有有，当当，存存在在如如果果，的的某某一一去去心心邻邻域域有有定定义义在在点点设设 有有否否极极限限无无关关。时时当当处处有有

3、无无定定义义对对在在,00 xxxfxxf小小的的任任何何正正数数都都可可以以。比比不不是是唯唯一一的的，但但仅仅依依赖赖于于无无关关，与与正正数数 ,x . 0 xxAxfAxf无无限限接接近近于于表表明明才才能能因因此此是是任任意意无无限限小小的的正正数数， .4几何解释：几何解释：xyO0 xA A A 0 x 0 x。 AxfAAxfxxx , 0, 0 00，即即时时，使使得得当当 Axfxx0limf(x)局部有界。局部有界。此式表明此式表明 f(x)在在 ,00 xU内既有上界，内既有上界，又有下界，即又有下界，即: : .5证证 AxfA 即即 . 0,xfA .0的的情情形形

4、同同理理可可证证A2. 极限的局部保号性极限的局部保号性 .00 :00lim 0000 xfxfxUxxUxAAAxfooxx或或，就就有有，某某一一去去心心邻邻域域的的，则则存存在在或或，而而且且如如果果恒恒有有时时当当对对, 0,0 xUxA , Axf,)(lim0的的定定义义由由Axfxx,A 取取正正数数, 0A设设.6证证 , 0,0 xfx在在该该邻邻域域内内的的某某一一去去心心邻邻域域存存在在点点 .0的的假假设设矛矛盾盾这这与与xf. 0A故故可可得得下下面面的的结结论论：令令的的证证明明中中在在定定理理2,1A , 0A设设由定理由定理1 的的某某一一，则则存存在在点点，

5、而而且且如如果果00lim0 xAAxfxx时时，就就有有，当当去去心心邻邻域域 ,00 xUxxU 2 Axf ., 0 用用反反证证法法设设xf .00 :,lim,00 00AAAxfxfxfxxx或或则则并并且且或或的的某某一一去去心心邻邻域域内内如如果果在在比较定理比较定理1、2，注意，注意“”和和“”，为什么？，为什么？ .73. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限，函数极限存在的充分必要条件.000 xxxxx于于的的左左右右两两侧侧都都无无限限趋趋近近从从意意味味着着点点的的左左侧侧从从如如果果只只考考虑虑点点0 xx,0 x无无限限趋趋近近于于. 00 xx记记

6、作作,0 x无无限限趋趋近近于于的的右右侧侧从从如如果果只只考考虑虑点点0 xx. 00 xx记记作作 的的左左、右右极极限限问问题题。在在这这类类极极限限问问题题分分别别称称为为0 xxfAB)(xfy xOy0 x;)(00Axfxx时时，当当.)(00Bxfxx时时，当当!不不存存在在)(lim0 xfxx.8可可表表示示为为：不不等等式式 00 xx0000,0 xxxxxxx 即即时时当当 0000,0 xxxxxxx即即时时当当及及, 0, 000时时当当xxx Axf恒恒有有 :,0记记作作左左极极限限有有时时则则称称Axfxx .lim0000Axfxfxx,成成立立, 0,

7、000时时当当 xxx :.,0记记作作右右极极限限有有时时则则称称Axfxx .lim0000Axfxfxx Axf恒恒有有,成成立立定理定理3经常用于判断极限不存在的情况。经常用于判断极限不存在的情况。 AxfxfAxfxx00lim000.94. 时函数时函数 x)(xf的极限的极限 .义义大大于于某某一一个个正正数数时时有有定定当当设设xxf恒恒有有时时使使得得当当总总存存在在,0,0XxX Axf :时时的的极极限限，记记作作当当就就叫叫做做函函数数则则常常数数xxfA .limxAxfAxfx当当或或 ,Axf .0 来来刻刻划划用用 Axf.0 来来刻刻划划用用XXxx-描述性定

8、义。描述性定义。,时时无无限限增增大大自自变变量量的的绝绝对对值值xx 时时的的当当就就叫叫做做函函数数则则xxfA 无无限限接接近近函函数数值值xf ,AxfA于于确确定定的的数数值值.极极限限.10 的的定定义义：当当xAxf 则则成成立立恒恒有有当当, 0, 0 AxfXxX .limxAxfAxfx或或 的的定定义义：当当xAxf .limxAxfAxfx或或 则则成成立立恒恒有有当当, 0, 0 AxfXxX 的的几几何何意意义义：AxfxlimOXXxy A AA.11xey xOy. 0yx，的的水水平平渐渐近近线线。是是xeyy 0; 1yx，的的水水平平渐渐近近线线。是是th

9、xyy1. 1yx， ，若若cxfxxxlim的的水平渐近线水平渐近线。 xfycy是是则则直直线线的图形的图形-11xOythxy .12 ：与与两两个个单单边边极极限限的的关关系系时时当当Axfx,. 5 AxfxfAxfxxxlimlimlim证证（必要性）（必要性）,)(limAxfx则则恒恒有有时时使使得得当当总总存存在在,0,0XxX Axf , Axf即即 Axfxlim当当,Xx 当当,Xx , Axf Axfxlim即即（充分性）（充分性）,)(lim)(limAxfxfxx则则 ,0,011成成立立恒恒有有当当 AxfXxX , 022成成立立恒恒有有当当，对对于于上上面面

10、的的 AxfXxX取取,max21XXX 则只要则只要,Xx Axf恒有恒有Axfx)(lim.136. 数列极限与函数极限之间的关系数列极限与函数极限之间的关系 若若 )(limxfx存在，必有存在，必有 nnnanf lim)(lim存在。存在。 )(limlimnfannn反之，若反之，若 )(limxfx不存在，不存在， 一定不存在。一定不存在。 数列是以正整数集为定义域的函数，即数列是以正整数集为定义域的函数，即 )(nfan因此数列的极限因此数列的极限 )(limlimnfannn可以看成是函数可以看成是函数 当当自变量取正整数自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限。，并趋于正无

11、穷大时的极限。 )(xf（1） （2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。 （3）收敛数列的有界性是整体概念，即若收敛数列的有界性是整体概念，即若 nnalim 存在，则对存在，则对 ;,MaMNnn使使得得而对于函数而对于函数 xfxx0lim 存在，则只能推得函数在存在，则只能推得函数在 0 x的某个的某个 邻域有界，即邻域有界，即 .,0000MxfxUxMxU有有使使得得对对于于及及 .14 响响，处处无无定定义义对对极极限限并并无无影影在在因因为为3xxf证证 323332932xxxx时时，当当321x 3213329 02xxx

12、，要使，要使即即可可，只只要要 23 x，取取 2时时，恒恒有有：则则当当 30 x成立成立 3329 2xx3329lim 23xxx.3329lim 23xxx例例1 1 用定义证明用定义证明 用极限的定义证明用极限的定义证明 函数的极限，关键函数的极限，关键 是找到是找到 .15411 14xxx时时，当当4123xxx3212xxx，设设21 x32 2xx322xx.18,21时时当当x证证时时，等等于于多多少少，则则当当问问证证明明例例 1,411lim241xxxx .001. 04114xx，则有则有3x3212xxx411 4xx 0要要使使，对对 即可，即可，只要只要181

13、 x，取取18, 2min :10时时，恒恒有有则则当当 x 4114xx411lim 41 xxx118x 难找，难找， 对不等式对不等式适当放大适当放大 .16001.0411 4xx即即,001. 0 取取,00006. 0 则当则当,00006. 010 x有有001.0411 4xx，18001. 018, 2min 用定义证明函数极限用定义证明函数极限 的步骤的步骤 取取 , 0 由不等式由不等式 , Axf经一系列地放大可得：经一系列地放大可得： ,0 xxCAxf（其中（其中C为常数）为常数） 解不等式解不等式 ,0 xxC得得 ,0Cxx ,C 则当则当 00 xx时，总有时

14、，总有 , Axf即即 Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0.17例例3 3 证明：当证明：当 0 0 x时，时， . lim0 xx0 xx 证证: 对于对于 ,0 由于由于 000001xxxxxxxxx要使要使 ,0 xx只要只要 ,100 xxx.00 xxx即即 为保证为保证 x有定义，用有定义，用 00020 xxxxx来限制。来限制。 取取 ,min00 xx 则当则当 0 xx时，时， .0 xx所以所以 . lim0 xx0 xx .18 1 2lim xxx证证明明,2 X取取恒恒有有则则当当,Xx .12 xx. 12limxxx.21的的图图形形的的水水平平渐渐

15、近近线线是是直直线线xxyyxyO1, 0 ,2 即即可可只只要要 x,212 xxx要要使使证证11212 xxx,2x例例4 .19用定义证明函数极限用定义证明函数极限 的步骤的步骤 取取 , 0 由不等式由不等式 , Axf经一系列地放大可得：经一系列地放大可得： , xCAxf（其中（其中C为常数）为常数） 解不等式解不等式 , xC得得 , Cx , CM则当则当 Mx 时，总有时，总有 , Axf即即 Axfx)(limAxfx)(lim.20)00( f)(lim0 xfx. 0lim0 xx例例5 讨论函数讨论函数 . 01sin, 0, 0, 0,)(xxxxxxf0 x当当

16、时，函数时，函数)(xf的极限的情况。的极限的情况。xOy1-1x而当而当从从的右边逼近于的右边逼近于时，函数值在时，函数值在-1与与1之间振荡，即之间振荡，即00)00( f不存在。不存在。由定理由定理3知：知： .不不存存在在xfx0lim.21为为什什么么？是是否否存存在在,lim 0 xxx xxfx00lim001lim00 xxx .0000ff.lim30不不存存在在知知：根根据据定定理理xxxxxx00lim11lim00 xxxfx00lim00 解：解：例例6 （记录）记录） 例例7 证明证明 xxsinlimx不存在。不存在。 证证 设设 ,sin)(xxxf取取 nxn及及 ,22 nyn当当 n时，时， ,nnyx而而 , 0sinlim)(lim nnxfnnn,22lim22sin22lim)(lim nnnyfnnnnxxs