自测过关卷平面向量、复数、算法、推理与证明理

1、自测过关卷（二）平面向量、复数、算法、推理与证明A 组一一高考题点全面练（对应配套卷P163）1. （2019届高三惠州调研）若厂台=2 i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选A由题意知z= （1 + i）（2 i ） = 3 + i，其在复平面内对应的点的坐标为（3,1）,在第一象限.2.向量 a, b 满足 a+ b= ( 1,5) , a b = (5 , 3)，则 b =()A. ( 3,4)B. (3,4)C. (3 , 4)D. ( 3, 4)解析：选A 由a+ b= ( 1,5),a b= (5 , 3)，得

2、2b= ( 1,5) (5 , 3) = ( 6,8),1所以 b= 2( 6,8) = ( 3,4).3. （2018 开封模拟）复数zA. z的共轭复数为1 + iB. z的实部为1C |z| = 2解析：选D因为z=2匚rI十IB. 15D. z的虚部为一12 1 i=1 i，所以复数z的实部和1 十 i 1 i虚部均为一1, 7 = 1十i , |z| =2,故选D.4.（2018 石家庄质检）当n = 4时，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A. 9C. 31D. 63. 2解析：选 C 由程序框图可知，k = 1, S= 1, S= 1 + 2= 3, k= 2; S= 3

3、+ 2 = 7, k= 3;S= 7 + 23 = 15, k = 4; S= 15+ 24= 31, k= 5,退出循环，输出的 S的值为31,故选C.5.已知在平面直角坐标系中,点 A(0,1)，向量 AE? = ( 4, 3) , 1BC = ( 7, 4),则点C的坐标为()A. (11,8)B. (3,2)C. ( 11, 6)D. ( 3,0)解析：选C设C(x, y),在平面直角坐标系中，点A(0,1),> >向量 AB = ( 4, 3) , BC = ( 7, 4),> > >AC = AB + BC = ( 11, 7),X 0= 11,解得

4、x = 11, y= 6, y 1 = 7,故 C( 11, 6).6.(2018 益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人,n, x的值分别为他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如 图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例若输入3,3，则输出v的值为()甘一tw+j/输入n,xJT| V 1rA. 15B. 16C. 47D. 48解析：选 D 执行程序框图，n = 3, x = 3, v= 1, i = 2>0, v = 1X 3+ 2 = 5, i = 1 >0, v= 5X 3+ 1= 16

5、, i = 0> 0, v= 16X 3+ 0 = 48, i = 1<0,退出循环，输出 v 的值为 48.1 1 1 1 17.(2018 全国卷n )为计算s= 1 2+ 3+ 99而，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入 ()A. i = i + 1D. i = i + 4C. i = i + 3解析：选b由题意可将s变形为s= i + £+ 99i ii2+ 4+ 100，则由 S= n11111iiT,得N= 1 + -+-+乔，T= - + 4+-+ -.据此，结合 N= N+厂T= T+=易知在空白3 yy 41uuii 十 1框中应填入i = i

6、十.故选B.& (2018 全国卷I )在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则"EB =()3 >1>1> 3>A - AB-ACB-AB-AC4 444B B B 1 B解析：选A 法一：作出示意图如图所示.EB = ED十DB = AD十1>11>>1>>3 >1>_CB = X ( AB 十 AC)十(AB AC) = 4 AB 4 AC.故选 A.n法二：不妨设 ABC为等腰直角三角形，且/, AB= AC= 1.建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0) , B(1,0) , C(

7、0,1),1 11 1BBD, , E 4, 4 .故 AB = (1,0) , AC = (0,1),314， 4BEB = (1,0)y. （018 茂名一模）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了解析：选C假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成 立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和

8、乙的说法都错误，不成立.故选C.f f f f10.在厶 ABC中, | AB + AC| = | AB AC| , AB= 2, AC= 1, E F为 BC的三等分点,f f则 AE AF =()10B.68A.92625D.?f f f f f f解析：选B 由| AB + AC| = | AB AC|知AB丄AC,以A为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0,0） , B（2,0） , C0,1），不妨4设e3,1 F 3，F 3,3，则 NE Af = 3 32 - 32 - 9+8 一 911. （2018 昆明适应性检测）我国南北朝时期的伟大科学家祖

9、暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理（祖暅原理）：“幕势既同，则积不容异”.“幕”是截面面积，“势”是几何体的高.意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D（如图1所示），它是由抛物线 y = x2（ x> 0）,直线y= 4及y轴围成的封闭图形绕 y轴旋转一周形成的几何体，旋转体D的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D的体积是( )16nC. 8 nB. 6 nD. 16n1解析：选C由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V= 3 X 4X 4Xn = 8 n,故旋转体D的体积为8 n,故选C._

10、_ 2 2 _ _12. （2018 南昌调研）已知A, B, C是圆O x + y = 1上的动点，且ACL BC若点M的坐标是(1,1)，则I 1MA+1/IB+lMC|的最大值为()A. 3B. 4C. 3 '2- 1D. 3 '2 + 1解析：选D 法一： A B, C是圆O x2+ y2= 1上的动点，且 ACL BC设 A(cos 0 , sin 0 ), B( cos 0 , sin 0 ) , C(cos a, si n a ),其中 Ow 0 <2n,OW a <2 n,1 1 1M1,1) , MA+ MB+ MC= (cos 0 1, sin

11、0 1) + ( cos 0 1, sin 0 1) + (cos a 1, sin a 1) = (cos a 3, sin a 3),-1 MA+ MB+ MC| = y cos a 3 2+ sin a 3= cos2 a 6cos a + 9 + sin 2 a 6sin a + 919 6 2sinna +4当且仅当sin a+4 = 1时，| 1MA+1MB+-MC|取得最大值，最大值为_19+ 6 2=3 2 + 1.法二：连接 AB T ACL BC - AB为圆O的直径,1 1 1 MA+ MB= 2 MO,1 1 1 1 1 1 1 1 | MA+ MB+ MC| = |2

12、 MO+ MC| w |2 MO| + | MC| = 2 2 + | MC| ,易知点M与圆上动点C的距离的最大值为2 + 1 ,D.是虚数单位），则a2+ b2 =-1 MC| w 2 + 1, | MA+ MB+ MC| W3 2 + 1,故选213. (2017 浙江高考)已知 a , b R, (a+ bi) = 3+ 4i(i, ab=.解析：t (a+ bi) 2= a2 b2 + 2abi , a , b R,a2 b2= 3 ,24a y= 3 ,2a = 4 ,? a?2ab= 4ab= 2ab= 22 2 2- a + b = 2a 3 = 5 , ab= 2.答案：52

13、n ,14. (2018 潍坊统一考试)已知单位向量 e1 , e2 ,且e1 , e2> =,若向量a = e1 2e2 ,3则 |a| =nn解析：因为 |e 1| = |e 2| = 1, e1 , e2>=石,所以 |a| 2= |e 1 2e2| 2= 1 4|e 1| e2|cos 331+ 4 = 1 4X 1X 1X 2+ 4= 3，即 |a| = .'3.答案：!33362333122333320 215. (2018 南昌模拟)已知 1 + 2 =1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 + 4 =，若 1 + 2 + 3 + 4 +=3 025，贝U

14、 n=.解析：13+ 23=23X 22-26 - 212 23X4 213+ 23 + 33 + 43 =2024X52由此归纳可得n n+ 12jt、 .3 3 3- 33因为 1 + 2 + 3 + 4 + n = 3 025 ,所以n n+122=3 025 ,1 23x2 + 4,2 2 2即 n(n+1) = (2 X 55)，解得 n= 10.答案：1016在矩形ABCDh AB= 2, AD= 1.边DCh的动点P（包含点D, C）与CB延长线上的动> > > >点Q包含点B）满足| DP| =| BQ|，贝U PA PQ的最小值为 解析：以点 A为坐标

15、原点，分别以 AB AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(x, 1)，Q2，y)，由题意知 Ow xw 2， 2w y w 0.>>| DP| =| BQ|， |x| =|y|，二 x = y.>>pA =( x， 1)， pQ =(2 x， y 1)，"Pa "PQ = x(2 x) (y 1) = x2 2x y +1 = x2 x+ 1 =当x= 1时，"Pa "Pq取得最小值，为3.答案：3B组一一高考达标提速练（对应配套卷P164）1. （2018 福州模拟）若复数1+1的模为乎，则实数a =（A

16、. 1B.C. 土 1D.± ：'2解析：选C法一:a a,2 2i，aa 1 ii+T =1 + i1i/ a 2 27 2 + 2解得a=± 1.故选C|a2=F，中=1，解得a=± 1.故选C2.已知a R,复数z =z = z,则a=()A. 1C. 2解析：选 B /z =a1 + i a+1 +a 1 iia+1+a1=(a1)(a+B. - 1D. 21)i ,z = (a 1) + (a + 1)i.又 z = z,- a+1 = 0,得 a= 1.3.已知向量m= (t + 1,1) , n= (t + 2,2)，若(m+ n)丄(m n

17、)，贝U t =()A. 0B. 3C. 3D. 1解析：选B法一：由(m+ n)丄(m n)可得(m+ n) ( m- n) = 0，即 m n ,故(t + 1)2+ 1 = (t + 2) + 4，解得 t = 3.法二:m+ n= (2 t + 3,3) , m n = ( 1, 1) ,，(m+ n) _L (m n) , (2 t + 3) 3 =0,解得 t = 3.4.在 ABC中,.的值是（）>> > >/ ABC= 90°, AB= 6,点 D在边 AC上，且 2 AD DC,贝U BA BDA. 48B. 24C. 12D. 6解析：选

18、B 法一：由题意得，"ba BC= 0, "ba "ca = "ba ( "ba - BC) = | "ba2A A A A A AA 2 A| = 36, BA BD = BA ( BC + CD) = BA BC + 3 CA2=0 + 3X 36= 24.3法二：(特例法)若厶ABC为等腰直角三角形,qo,6).由 2 AD = "DC 得 D(4,2).A A BA BD = (6,0) (4,2) = 24.5. (2017 全国卷I )设有下面四个命题：1pi：若复数z满足- R,则z R;0:若复数z满足z2

19、R,贝U z R；P3：若复数zi, Z2满足ziZ2 R,贝Up4：若复数z R,则7 R.其中的真命题为()A. pi, P3C. P2, P3解析：选B 设复数z = a+ bi( a,11a-bi对于 P1，- _= 22 R,z a+ bi a + b- b= 0,. z R,. p1 是真命题；对于 p2,°.° z = (a + bi) = a b +建立如图所示的平面直角坐标系，则A(6,0),Z1= Z 2；B. P1 , P4D. P2, P4b R),2abi R,- ab= 0,二 a= 0 或 b= 0, p2不是真命3题；对于 p3，设 Z1 =

20、 x+ yi( x, y R), Z2 = c+ di( c, d R)，贝U Z1Z2= (x + yi)( c + di) = exdy + (dx+ ey)i R, dx+ ey = 0，取乙=1 + 2i , Z2= 1+ 2i , z& z 2, P3不是真命题；对于 p4,v z = a+ bi R, b= 0,二 z = a bi = a R,- P4是真命题.7,则判断6.（2018 郑州第一次质量预测）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是框内m的取值范围是()A. (30,42B . (30,42)C. (42,56D. (42,56)解析：选 A k= 1, S=

21、 2, k = 2;S= 2 + 4 = 6, k= 3;S= 6 + 6 = 12, k= 4; S= 12+ 8= 20, k= 5;S= 20+ 10= 30, k = 6; S= 30 + 12 = 42, k = 7,丽.退出循环，所以30<mc42,故选A.7.（2018 开封一模）我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取 一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的 功能就是计算截取 7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是()A. i <7?,B. i W 7?,C. i <

22、;7?,D. i W 7?,1s = s r, i = 2i1s=sr,i =2is = |, i = i + 1此时不满足S= 42<m1 1解析：选D由题意及程序框图可知第一次剩下 2，第二次剩下22,，由此得出第7次> > >OA + OB+ OC = 0 ,剩下亦可得为i W 7?,s = |,i= i + 1.故选 D.& （2019届高三南宁摸底联考）已知 O是厶ABC内一点,> >2AB AC = 2且/ BAC= 60°,则厶OBC勺面积为(A.C.> > > 1 > >解析：选 A / OA

23、+ OB + OC= 0, O是厶 ABC的重心，于是 Sob=可&abc / AB AC3=2, / | 7B| AC|cos/ BAC= 2，/ BAC= 60°, a | 7B| | 7C|=4. Saabc= | AB| I 7AC|sin / BAC= :3,a OBC勺面积为9. （2019届高三广元调研）二维空间中，圆的一维测度（周长）1 = 2n r，二维测度（面43三维测度（体积）V= 3冗r3,应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V= 8 n则其四维测度W=（）A. 2n r4B. 3 n4C. 4 n rD. 6 n解析：选A 对于二维空间中，

24、圆的一维测度2（n r ） '= 2 n r.（周长）1 = 2n r,二维测度（面积）S=n r ,三维空间中,球的二维测度（表面积）S= 4n4343，三维测度(体积)V= - n r ,3 n r33积）S=n r2,三维空间中，球的二维测度（表面积）S= 4n4 n r2.四维空间中,- (2 n r4)'“超球”的三维测度V= 8n r3,的四维测度W= 2n r4.10.如图，直线EF与平行四边形ABCD勺两边i点，且交其对角线于 K,其中， AE = - AB ,2 i i 1 i5 二 AF = 2 AD,AB AD分别交于 E, F两iiAK =入 AC,则X

25、的值为（）2A. 92B.72C.5i 2i解析：选A因为AE = 5ab，i 1iAF = AD,i 5 i i i 贝U AB = 2 AE , AD = 2 AF ,由向量加法的平行四边形法则可知iii i5ii所以 aK =入 aC = x ( aB + aD) = x 2 aE + 2 AF=2At + 2 入7!，由 E, F,5K三点共线可得2入+ 2入=1,所以入=9.AD= 2, CD= 3, AC与 BD交于点O.记 I 1 => >> >OA OB, I2= OB OC, 13=> >OC OD,则()A. I1<I2<I3

26、B.I 1<I 3<I 2C. I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 3解析：选C法一：如图所示,四边形 ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得 AOAF,而/ AFB= 90°, a/ AOB与/ COD 钝角，/ AODZ BOC为锐角.根>> >> > > >> >据题意，11 丨2= OA OB OB OC= OB( OA OC)= OB CA => >| OB| I CA|cos /AOB0 ,- I 1<I 2,同理得，丨2>13，作AGL

27、BD于G,又AB= AD OBG= GBOD 而 OAAF= FOOC> > > > | OA| I OB|<| OC| I OD| ,而 cos / AOB cos / CO<0,> > > > OA OB> OC OD,即卩 I 1>I3,-1 3<I 1<I 2.法二：如图，建立平面直角坐标系，贝UB(0,0) , A(0,2),设 D(m n),由 AD= 2 和 CD= 3,吊+ n 2 2 = 4,得m- 22+ n2= 9,从而有 n m= 4>0,二 n>m从而/ DBC45。，又/

28、 BC= 45°,./ BOW锐角.从而/ AOE为钝角.故 I 1<0, 13<0, 12>0.又 OAOC OOD> > > >故可设 OD=入 1 OB （入 1>1） , OC=入 2 OA （入 2>1）, 从而 13= OC OD=入 1 入 2 OA OB =入 1 入 2| 1,又入 1 入 2>1 , I 1<0 , I 3<0 , I 3<I 1 , I 3<I 1<I 2.13.已知复数 z满足z + |z| = 3+ i ,贝U z=.解析：设 z= a+ bi ,其中

29、a , b R,由 z+ | z| = 3+ i ,得 a+ bi + ;a2 + b2= 3 + i ,由复数相等可得a+ - a + b = 3,b= 1,4a =二，解得 3b= 1,故 z= 4+ i.3答案：3+ i14. 我国古代数学著作 九章算术有如下问题：“今有器中米，不 知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问: 米几何？ ”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S= 1.5（单位：升），则输入k的值为.解析：模拟程序的运行，可得n= 1, S= k,满足条件n<4,执行循环体,k 一 2=k 一 2-k=s2满足条件n<4,执行循环体,k - 3= k -2 - 3-k - 2=s满足条件n<4,执行循环体,4S=： k此时，不满足条件 n<4,退出循环，输出