多元函数的极限与连续PPT课件

1、DxyzOM xyP),(yxfz 第第8 8章章 多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续2第第8 8章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用上册已经讨论了一元函数微积分上册已经讨论了一元函数微积分. 但在自然科但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中学、工程技术和经济生活的众多领域中, 往往涉及往往涉及到多个因素之间关系的问题到多个因素之间关系的问题. 这在数学上就表现为这在数学上就表现为一个变量依赖于多个变量的情形一个变量依赖于多个变量的情形, 因而导出了多元因而导出了多元函数的概念及其研究与应用函数的概念及其研究与应用

2、.本章在一元函数微分学的基础上本章在一元函数微分学的基础上,数的微分方法及其应用数的微分方法及其应用.讨论多元函讨论多元函以二元函数为主以二元函数为主, 但所得到但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数上的多元函数.同时同时, 还须特别注意一些与一元函数还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点微分学显著不同的性质和特点. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续38.1 多元函数多元函数的极限与连续的极限与连续平面点集平面点集多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的

3、连续性小结小结 思考题思考题 作业作业 function of many variables 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续4一、平面点集一、平面点集实数实数组组(x, y)的全体的全体,即即R,),( RRR2 yxyx建立了坐标系的平面称为坐标面建立了坐标系的平面称为坐标面. xOy坐标面坐标面坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合的点的集合,称为称为平面点集平面点集, 记作记作.),(),( PyxyxE具有性质具有性质 二元有序二元有序 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续5邻域邻域 (Neighborhood) 设设P0(x0, y0)

4、是是 xOy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示几何表示Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0邻域邻域的的点点 P令令, 0 ).(0PU有时简记为有时简记为2R(“开开”意味着意味着 将邻域去掉中心将邻域去掉中心,称之为称之为 去心邻域去心邻域.),(0 PU 它是以它是以P0为中心、为中心、 以以为半径的为半径的开开圆圆也称为也称为不包括边界不包括边界),注注几何表示几何表示:),(表表示示 aU.的的全全体体的的一一切切点点距距离离小小于于与与点点xa 一元函数中邻域的概念一元函数中邻域的概念 :xO a a a 也可将以也可将以P0为中心的为中心的某个

5、矩形内某个矩形内(不算周界不算周界)的全体点称之为点的全体点称之为点P0邻域邻域. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续63P E (1) 内点内点显然显然, E的内点属于的内点属于E.,EP 点点,)(EPU 使使 (2) 外点外点 如果如果存在存在点点P的某个邻域的某个邻域),(PU则称则称P为为E的的 外点外点. .(3) 边界点边界点如点如点P的的任一任一邻域内既有属于邻域内既有属于E的点的点,也有不属于也有不属于E的点的点,称称P为为E的的边界点边界点. .任意一点任意一点2R P2R E与任意一点集与任意一点集之间之间必有以下四种关系中的一种必有以下四种关系中的一种:设

6、设E为一平面点集为一平面点集, 0 若若存在存在称称P为为E的的内点内点. .1P )(1P)(2P2P )(3PE的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界,记作记作.E 使使U(P)E = ,下面利用邻域来描述点和点集之间的关系下面利用邻域来描述点和点集之间的关系. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续7(4) 聚点聚点 如果对于任意给定的如果对于任意给定的, 0 P的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有E中的点中的点则称则称P是是E的的聚点聚点. .(P本身可属于本身可属于E, 也可不属也可不属于于E ),聚点从聚点从直观上讲直观上讲: 这点附近有无穷多个这点附

7、近有无穷多个E的点的点.例如例如, ,21),( 22 yxyxE,R),(200 yxP点点2020yx 若若2020yx 则则P为为E的的边界点边界点, ,E的边界的边界 E1),( 22 yxyx 1则则P为为E的的内点内点; ;, 2 也是也是E的的聚点聚点; ;若若1 或或2020yx , 2 也是也是E的的聚点聚点; ;.222 yx或或设点集设点集 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续8 开集开集 若点集若点集E的任意一点的任意一点都是都是E的的内点内点,例例41),( 221 yxyxE称称E为为E1为为开集开集.下面再定义一些重要下面再定义一些重要 闭集闭集 若点

8、集若点集E的边界的边界称称E为为闭集闭集. .,EE 例例41),( 222 yxyxEE2为为闭集闭集.例例41),( 223 yxyxEE3既非开集既非开集, 也非闭集也非闭集.根据点集所属点的特征根据点集所属点的特征,的平面点集的概念的平面点集的概念. 开集开集. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续9区域区域(或或开区域开区域) 连通的开集称为连通的开集称为连通集连通集.如果点集如果点集E内任何两点内任何两点, 都可用折线连都可用折线连且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于E, 称称E是是 区域区域或或开区域开区域. . 连通集连通集结起来结起来,闭区域闭区域 开区域连同

9、其边界一起所构成的点集开区域连同其边界一起所构成的点集,称为称为闭区域闭区域. .都是闭区域都是闭区域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续10是区域是区域吗吗?,0),( yxyxE0 yx0 yxOxy 0, 0),( yxyxE不是区域不是区域. 因为不连通因为不连通.Oxy连结两点的任何连结两点的任何折线都与折线都与相交点不属于相交点不属于E.y轴相交轴相交,连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区域开区域. .是区域是区域. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续11有界集有界集否则称为否则称为总可以被包围

10、在一个以原点为中心、总可以被包围在一个以原点为中心、大的圆内的区域大的圆内的区域,称此区域为称此区域为半径适当半径适当 (可伸展到无限远处的区域可伸展到无限远处的区域 ).有界集有界集. .集集21),( 22 yxyx集合集合例例0),( yxyx集集合合0),( yxyx集集合合无界无界是是有界闭区域有界闭区域;是是无界开区域无界开区域;是是无界闭区域无界闭区域. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续12OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续13二、

11、多元函数的概念二、多元函数的概念1. 二元函数的定义二元函数的定义例例, LAKY 有如下的关系有如下的关系 ,(A为正的常数为正的常数).在西方经济学中称此函数关系为在西方经济学中称此函数关系为 Cobb-Douglas在生产中在生产中, 产量产量Y与投入资金与投入资金K和劳动力和劳动力L 之间之间, 生产函数生产函数.当投入资金当投入资金K和劳动力和劳动力L的值分别给定时的值分别给定时, 产量产量Y就有一个确定的值与它们对应就有一个确定的值与它们对应.上述关系式上述关系式,按照按照 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续14例例. 0, 0,212121 RRRRRRR它们之间具

12、有如下的关系它们之间具有如下的关系设设R是电阻是电阻R1, R2并联后的总电阻并联后的总电阻. 由电学由电学当电阻当电阻R1, R2取定后取定后, 知识知道知识知道, R的值就唯一确定了的值就唯一确定了. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续15点集点集D称为该函数的称为该函数的Dyxyxfz ),(),(,),(DPPfz 定义定义8.18.1称映射称映射为定义在为定义在D上的上的二元二元( (点点) )函数函数, ,设设D是是R2的一个非空子集的一个非空子集,记为记为称称x, y为为数集数集称称z为为自变量自变量,因变量因变量. .定义域定义域,的的值域值域, ,称为该函数称为

13、该函数( , ),( , )z zf x yx yD 记为记为).(DfR:Df或或 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续16二元及二元以上的函二元及二元以上的函数统称为数统称为多元函数定义域多元函数定义域:定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的自变量取值的全体的自变量取值的全体.记为记为f (x0, y0)函数函数 z = f (x, y) 在点在点P0(x0, y0)处的函数值处的函数值或或f (P0).类似类似, 可定义可定义n元函数元函数.多元函数多元函数. .实际问题中的函数实际问题中的函数:的自变量取值的全体的自变量取值的全体.纯数学问题的函数纯数学问题的函数: 定

14、义域为使定义域为使运算有意义运算有意义多元函数多元函数的自然定义域的自然定义域. . 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续17例例1 求下面函数的定义域求下面函数的定义域解解Oxy无界闭区域无界闭区域xyz )1(和和 00yx 00yx即定义域为即定义域为, 0 xy 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续18 1解解Oxy12)2(2222 yxyxxz1)1(22 yx定义域是定义域是122 yx且且有界半开半闭区域有界半开半闭区域 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续192. 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 研究单值函数研究单值函数二元函数的图形

15、通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面. .),(yxfz DxyzOM xyP),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续20222yxRz 如如, 由空间解析几何知由空间解析几何知, 函数函数的图形是以原点为中心的图形是以原点为中心, R为半径的上为半径的上)(222Ryx 它在它在xOy平面上的投影是圆域平面上的投影是圆域:,),( 222RyxyxD D就是函数就是函数222yxRz 的定义域的定义域.xyzO半球面半球面. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续21 的图形是双曲抛物面的图形是双曲抛物面(马鞍面马鞍面).又

16、如又如,xyz xyzO它在它在xOy平面上的投影是全平面平面上的投影是全平面. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续22从一元函数到二元函数从一元函数到二元函数, 在内容和方法在内容和方法上都会出现一些实质性的差别上都会出现一些实质性的差别, 而多元函数而多元函数之间差异不大之间差异不大. 因此研究多元函数时因此研究多元函数时, 将以二将以二元函数为主元函数为主. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续23三、多元函数的极限三、多元函数的极限 讨论二元函数讨论二元函数z = f (x, y), 怎样描述呢怎样描述呢? Oxy (1) P (x, y)趋向于趋向于P0(x

17、0, y0)的的.),(),(000时时的的极极限限即即yxPyxP回忆回忆: 一元函数的极限一元函数的极限 路径又是多种多样的路径又是多种多样的.注注,00yyxx当当方向有任意方向有任意 ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy多个多个,00时时当当 xx.|)(| Axf, 0 恒有恒有, 0 Axfxx )(lim0 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续24(2) 变点变点P (x, y) 这样这样, 可以在一元函数的基础上得出二元可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义函数极限的

18、一般定义. 2020)()(yyxx ),(),(000yxPyxP, 0 0PP总可以用总可以用来表示极限过程来表示极限过程:与定点与定点P0(x0, y0)之间的距离之间的距离不论不论P(x, y)趋向于趋向于P0(x0, y0)的过程多复杂的过程多复杂,记为记为 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续25, 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 ),(yxfzA 为为则则称称Ayxfyxyx ),(lim),(),(00记作记作)0(),( Ayxf或或)( 定义定义8.28.2有有成立成立.的极限的极限.时时当当),(),(00yxyx 设二元函数设二元函数 f (P

19、 ) = f (x, y)的的P0(x0, y0)是是D的聚点的聚点.定义域为定义域为D, 如果存在常数如果存在常数 A, AyxfAPf),()(APfPP )(lim0也记作也记作).()(0PPAPf或或如果对于任意给定的如果对于任意给定的, 0 P的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有E中的点中的点(P本身可属于本身可属于E, 也可不属于也可不属于E ), 则称则称P是是E的的聚点聚点.,00时时当当 xx.|)(| Axf, 0 恒有恒有, 0 Axfxx )(lim0 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续26 说明说明(1) 定义中定义中0PP (2) 二元函数的

20、极限也叫二元函数的极限也叫),(lim),(),(00yxfyxyx(double limit)的方式是任意的的方式是任意的;二重极限二重极限. . 关于二元函数的极限概念可相应地推广到关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去元函数上去. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续27 相同点相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的在某点的极限存在的定义相同定义相同.差异差异数数必需是点必需是点 P 在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径而而多元函多元函趋于趋于P0时时,相同点相同点和和差异差异是什么

21、是什么充要条件是充要条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等; f (P)都有极限都有极限, 且相等且相等. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续28多元函数的极限的基本问题有三类多元函数的极限的基本问题有三类:(1) 研究二元函数极限的存在性研究二元函数极限的存在性.常研究常研究若其依赖于若其依赖于k , 则则欲证明极限存在欲证明极限存在,*特别对于特别对于*),(lim00yxfyx),(lim00yxfyx不存在不存在.常用定义或夹逼定理常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在欲证明极限不存在(通过观察、猜测通过观察、猜测).常选择两条不同路径常选择两条不同路径,求出不同的

22、极限值求出不同的极限值.),(limyxf0 x0 kxy 找一条特殊路径找一条特殊路径, 使函数沿此路径的极限不存在使函数沿此路径的极限不存在. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续29多元函数的极限的基本问题有三类多元函数的极限的基本问题有三类:(2) 求极限值求极限值.常按一元函数极限的求法求之常按一元函数极限的求法求之.(3) 研究二重极限与累次极限研究二重极限与累次极限(二次极限二次极限)间的间的(洛必达法则除外洛必达法则除外)关系关系.如极限的保号性、如极限的保号性、 无穷小与有界量的乘积仍无穷小与有界量的乘积仍极限的四则运算、极限的四则运算、 夹逼定理、夹逼定理、等价

23、无穷小替换乘除因子定理等价无穷小替换乘除因子定理.两个重要两个重要是无穷小、是无穷小、极限、极限、 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续30则当则当 22)0()0(0yx, 0 01sin)(lim),(lim22220000 yxyxyxfyxyx试试证证例例2证证 01sin)(2222yxyx22yx 22)0()0( yx2 取取 01sin)(2222yxyx有有证毕证毕.)0(22 yx22221sinyxyx 用定义用定义. . 用用P与与O分别表示点分别表示点(x, y)与与(0,0), 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 )( 定义定义8.28.2有有

24、 Ayxf),(因为因为 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续31则当则当 22)0()0(0yx, 0 . 0),(lim,),()0,0(),(222 yxfyxyxyxfyx证证明明设设例例3证证222yxyx , 取取,0),( yxf有有证毕证毕.y 用用P与与O分别表示点分别表示点(x, y)与与(0,0), 因为因为 0),(yxf22yx ),(OP 用定义用定义. ., 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 )( 定义定义8.28.2有有 Ayxf),( 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续32例例4 4 求极限求极限 .)sin(lim222

25、00yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim01 222yxyx 0 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxxyyx22 )sin(lim200yxyx22yx yx2yx22| x yxu2 0 00用夹逼定理用夹逼定理. .所以所以 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续33).sin(1sin1sin1lim2233)0,0(),(yxyxxyyx 求求解解,)0 , 0(),(时时因因为为yx.)sin(2222yxyx所所以以故故原式原式 =)(1sin1sin1lim2233)0,0

26、(),(yxyxxyyx )(1sin1sinlimlim2233)0 , 0(),()0 , 0(),(yxyxxyyxyx .000 , 022yx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续34设函数设函数证明证明:当当P(x, y)沿沿x轴轴的方向的方向当当P(x, y)沿沿y轴轴的方向的方向),(lim0 xfx),(lim0yfy也有也有 , 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf证证220lim xxx00lim0 x220limyyy 00lim0 y函数的函数的极限不存在极限不存在.,0, 0时时当当yx无限接近点无限接近点(0,0)时时,同样同样,无

27、限接近点无限接近点(0,0)时时,例例4000000 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续35函数的极限存在且相等函数的极限存在且相等.当当P (x, y) 沿直线沿直线 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随 k 的不同而变化的不同而变化.所以所以, 极限不存在极限不存在.说明函数取上面两个说明函数取上面两个无限接近于无限接近于点点(0,0)时时,另一方面另一方面,无限接近点无限接近点(0,0)时时,设函数设函数证明证明: , 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf函数的函数的极限不存在极

28、限不存在.,0, 0时时当当yx特殊方向特殊方向kx2)(kx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续36极限极限 是否存在是否存在?24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx当当P(x, y)沿沿x轴轴的方向无限接近点的方向无限接近点(0,0)时时, 当当P(x, y)沿沿y轴轴的方向无限接近点的方向无限接近点(0,0)时时,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 0lim220 kxkxkxyx0 错错!所以所以 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续37 极限不存在极限

29、不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx极限极限 是否存在是否存在?24200limyxyxyx 21此时可断言此时可断言 f (x, y)在点在点P0(x0, y0)找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,),(lim00存在存在使使yxfyyxx处极限不存在处极限不存在.当当P(x, y)沿沿y轴轴的方向无限接近点的方向无限接近点(0,0)时时,), 0(lim0yfy0 思考思考: :还有别的方法还有别的方法? 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续38求极限求极限 .42lim00 xyxyyx解解 将将分母有理化分母有理化, 得得 42li

30、m00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx. 4 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续39求求答答: 0答答:不存在不存在.答答:不存在不存在.二次极限都不存在时二次极限都不存在时, , 0, 0, 0,1sin1sin),(xyxyxyyxyxf),(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfxy注注存在存在.二次极限与二重极限二次极限与二重极限有本质的区别有本质的区别,| ),(|yxyxf 因因为为但二重极限也可能但二重极限也可能二次极限二次极限与二重极限是两个不同的概念与二重极限是两个不同的

31、概念. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续40四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 设二元函数设二元函数 f (P ) = f (x, y)的定义域为的定义域为D, 则称函数则称函数f (x, y)在点在点P0(x0, y0)连续连续. .定义定义8.38.3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 如果如果如果函数如果函数 f (x, y)在在D的每一点处都连续的每一点处都连续,连续函数连续函数. .P0 (x0, y0)是是D的聚点的聚点, ,0DP 且且例如例如, 函数函数 221),(yxxyyxf 在在(x, y)平面上平面上处处连续处处连续.如果

32、对于任意给定的如果对于任意给定的, 0 P的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有E中的点中的点(P本身可属于本身可属于E, 也可不属于也可不属于E ), 则称则称P是是E的的聚点聚点.则称则称函数函数 f (x, y)在在D上连续上连续, 或者称函数或者称函数 f (x, y)是是D上的上的 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续41例例 5 证证 令令.sin,cos ryrx 0, 00),ln(),(222222yxyxyxxyyxf设设 证明证明: f ( x, y)在点在点(0,0)连续连续.,)0 , 0(),(时时当当yx显然有显然有22yxr , 0于是于是 )

33、,(lim00yxfyx sincoslnlim220 rrr220lnlimsincosrrr 2201lnlimsincosrrr 0 ),0 , 0(f 所以所以f ( x, y)在点在点(0,0)连续连续.)( 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续42设函数设函数 f (x, y)的定义域为的定义域为D, 则称点则称点P0(x0, y0)为函数为函数f (x, y)的的间断点间断点. .定义定义8.48.4是是D的聚点的聚点, P0 (x0, y0)如果如果函数函数 f (x, y)在点在点P0 (x0, y0)不连续不连续, 122 yx的的间断线间断线.11),(22

34、yxyxf(0,0)是函数是函数 的的(0,0)点是该函数的点是该函数的间断点间断点. 函数函数 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf函数的极限不存在函数的极限不存在,前面已证前面已证)221),(yxyxf 例如例如,的的间断点间断点;是函数是函数例如例如, ,0, 0(时时yx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续43在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,平面区域平面区域E上的二元连上的二元连续函数续函数 z = f (x, y)的图形是在的图形是在E上的一张上的一张“无孔无缝无孔无缝”的连续曲面的连续曲面.(分母不为零分母不为零)及复合仍是连续的及复合仍是

35、连续的.同一元函数一样同一元函数一样, 多元函数的和、差、积、商多元函数的和、差、积、商每个自变量的基本每个自变量的基本式子表达的函数称为式子表达的函数称为初等函数经有限次四则运算和有限次复合初等函数经有限次四则运算和有限次复合, 由一个由一个指包含在定义域内的指包含在定义域内的区域或闭区域区域或闭区域.一切多元初等函数在其定义区域内是一切多元初等函数在其定义区域内是结论结论连续的连续的. .多元初等函数多元初等函数. . 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续44例例6 6 求极限求极限 .)eln(lim2201yxxyyx 解解22)eln(),(yxxyxfy 由由于于是是初

36、等函数初等函数,而而(1,0)在其定义域内在其定义域内, 故故 f (x, y)在在(1,0)点处连续点处连续,所以所以 2201)eln(limyxxyyx 01)e1ln(0. 2ln )(lim0PfPP由多元初等函数的连续性由多元初等函数的连续性,代入法代入法0P ).(f如果要求它在点如果要求它在点P0 处的极限处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内而该点又在此函数的定义区域内, 则极限则极限值就是函数在该点的函数值值就是函数在该点的函数值, 即即 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续45想一想想一想 如何证明如何证明 f (x, y)在在 , 0, 0, 0,)(sin),(222222yxyxyxyx