连续函数及其性质（课堂PPT）

1、.1闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。在几何意义是比较明显的。.2一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如

2、果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sin1xy ,2 , 0上上在在 , 2max y; 0min y,sgn xy ,),(上上在在, 1max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy.3定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若xyo)(xfy ab2 1 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间

3、, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.4xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf.5二、介值定理二、介值定理定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx 定定理理 3 3( (零零点点定定理理)

4、 ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号( (即即0)()( bfaf) ), ,那那末末在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有函函数数)(xf的的一一个个零零点点, ,即即至至少少有有一一点点 )(ba ，使使0)( f. .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf .6几何解释几何解释:.,)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy xyo)(xfy ab1 2 3 定定理理4 4( (介介值值定定理理) )

5、设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba, 上上连连续续，且且在在这这区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数值值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那那末末，对对于于A与与B之之间间的的任任意意一一个个数数C，在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有一一点点 ，使使得得Cf )( )(ba . . .7证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf xyo)(xfy abABMm1x2xC1 2 3

6、 几何解释几何解释:.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy .8例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .Mm.)1 , 0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xx.9

7、O1x说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法的中点取1 ,0则则4321.10例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 bbfbF )()(, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fF.)( f即即.11例例3 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaa

8、ffaxf 使使证明证明上连续，且上连续，且在在设设证证则则记记)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的的定定义义域域即即上上连连续续在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff 若若即为所求即为所求则则0 )()0(aff 若若0)()0( aFF则则由零点定理知由零点定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即总之总之)()(), 0affa 使使.12注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，

9、再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求.13 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证余下只须验证F(x)在所讨论的区间上在所讨论的区间上连续，连续，再比较再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值一下两个端点处的函数值的符号

10、，或指出要证的值介于介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。在所论闭区间上的最大值与最小值之间。.141. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.xOy则面积函数,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S.15思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？ .16思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都连连续续.17思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(x