压轴题中路径最值问题

1、路径最值问题11 21、如图，已知直线 y= x+1与y轴父于点A,与X轴父于点D,抛物线y = x + bx + C与直线父于 A22E两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0)。(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点 P的坐标P。(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM -MC |的值最大，求出点 M的坐标。72、如图，已知抛物线y=ax2+bx+ c与y轴交于点A(0 , 3),与x轴分别交于B(1 , 0)、C(5 , 0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA勺中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点 E),再到达抛

2、物线的对称轴上某点 (设为点F),最后运动到点 A.求使点P运动的总路径最短的点 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.3、已知，如图11,二次函数y =ax2+2ax _3a (a #0)图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两点(B在A点右 侧)，点H、B关于直线l : y=43x十并对称.31(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK / AH交直线l于K点，M、N分别为直线 AH和直线l上的两个动点，连接HN、 NM、MK ,求HN +NM +MK和的最小值.4、为(3,0(1),(图 13,抛物线 y=ax2+bx + c(a0)的顶

3、点为(1,4 ),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标y如为PQ上一动点，则3,总4/过点A的直线与抛物必于这叫肺及G H的坐标衣存下(3)如1欧抛物线上是否存在十点T，足雷普在一点H,使请说明理由x.T作x的垂线,F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的D G F、H四点围成的四边形周长最小 .若存在，垂足为 M,过点M作直线MM BD,交线段AD于点N,连接翻1口使 DNMhABMI若存在，落前蛾 T的坐标；若不存在，说明理由路径最值问题11 21、如图，已知直线 y= x+1与y轴父于点A,与X轴父于点D,抛物线y = x + bx + C与直线父于 A22E两点，与X轴交于

4、B、C两点，且B点坐标为(1,0)。(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点 P的坐标P。解：(1)将A (0, 1)、B (1, 0)坐标代入尸二弓才+以右=13b 3/1得匕,解得NT；抛物线的解折式为L1 3 31(2)设点E的横坐标为m则它的纵坐标为3濯2m即E点的坐标m+又二点E在直线¥1 2 3, 1,-m -m +1 = -m + l八.222 解得飞二° (舍去)，叫二%(I)当A为直角顶点时，过A作AP，D豉x轴于P1点，DO OA 2 11由 RtzXAO。RtzXPOA五=而 即=£ , a= , 11

5、(n)同理，当E为直角顶点时，左点坐标为(亍，0)；(m)当P为直角顶点时，过E作EF，x轴于F,设R (b、+ ctv个片Pl FN=Jt + 12上.E的坐标为（4, 3）;设P （a, 0）易知D点坐标为（-2, 0）1P1（3 , 0）；3）(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM -MC |的值最大，求出点 M的坐标。1 , 由/OPA+FPE=90 ,得/OPA=FEP Rt/AO OP 1 _b由尸F即得43,解得4=3'幺=1综上所述，满足条件的点p的坐标为(3 , 0).3(m)抛物线的对称轴为二3，: R c关于工 要使MC|最大，即是使aw-MS I最二 由三角

6、形两边之差小于第三边得，工A、R M® 易知直线AB的解折式为y=-x+1,3x= ='3 _ 1 由得卜一一，/.M 丁，。AOD RtAPFE，此时的点P3的坐标为(1,0)或(3, 0)11或(1, 0)或(3, 0)或(7, 0);3=3 对称， MC=MB1同一直线上时的值山1一最大，2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+ c与y轴交于点A(0 , 3),与x轴分别交于B(1 , 0)、C(5 , 0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA勺中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点 E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点 A.求使

7、点P运动的总路径最短的点 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.解：(1)型据题修，c=3'川+ 3浓3 ? 18 2A所以y乂厂口/一u.解得所以抛物线解析式为55。(3如中:襁意工可得 M (0, 1)点M关于x轴的对称点为 M' (0,-靖点A关于抛物线对称轴 x=3的对称点为A' (6, 3),连结A'M'根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点 P运动的最短总路径的长所以A'M'与x轴的交点为所求 E点，与直线x=3的交点为所求F点33可求得直线A'M的解析式为y=4X- 23可得E点

8、坐标为(2, 0) , F点坐标为(3, 4)15由勾股定理可求出 A'M'= .15所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA的长为工。3、已知，如图11,二次函数y =ax2+2ax _3a (a #0)图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两点(B在A点右 侧)，点H、B关于直线l : y=W3x+*对称.31(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK / AH交直线l于K点，M、N分别为直线 AH和直线l上的两个动点，连接HN、 NM、MK ,求HN +NM +MK和的最小值.x="Q上；y解：(B点H/y依题意，

9、得 ax2+2ax-3a=0 (aA点右侧，J A点坐标为(-3(2)圈/1H B关于过A点的直线I:x +O一 .点A在直线I x,解得 x1=- 3, x2=1,B点坐标为(1,0),对称，AH=AB=4,代入二次函数解析式，解得次函数解析式为上的+哼过顶点H作HCX AB交AB于C点,则 40 = ？4® = 2 HC = 2V3Vs(3)直线AH的解析式为yly = yx+6# + 3V5，直线bk的解析式为y =-落6,解得= 即* 3 2v3?则BK=4, .点H B关于直线AK对称,. HN+MN勺最小值是MB KD = KE = 2Vq过点K作直线AH的对称点Q,连接

10、 QK交直线AH于E,贝U QM=MkQE = EK = 2v'3, AE£ qkBM+MK勺最小值是 BQ 即 BQ的长是HN+NM+MK最小值，BK/ AH/ BKQh HEQ=90 ,由勾股定理得 QB=3. HN+NM+MK最小值为8,4、如图13,抛物线y=ax2+bx + c(a W0)的顶点为(1,4),交x轴于A B,交 y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)。(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点求出这个最小值及 G H的坐标

11、；若不存在，请说明理由H,使D G F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为 M,过点M作直线MM BD,交线段AD于点N,连接MD使 DNMhABMI若存在，求出点 T的坐标；若不存在，说明理由解：(1)设所求抛物线的解析式为：¥ =次¥-1得：a=- 1所求抛物线的解析式为：.'',(2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I ,使得点4 ,依题意，将点B (3, 0)代入，得： 或-尸4=0在x轴上取一点 H,连接 HR HI、HG GD GE则HE HI设过A、E两点的一次函数解析式为：y=k

12、x + b (kw0), 点E在抛物线上且点 E的横坐标为2,将x = 2代入抛物线3 =山切+4 ,得y -T- 点E坐标为(2, 3)又抛物线y心切+4 图像分别与x轴、y轴交于点A B、D.,.当 y= 0 时， -一如+4=0, .x一1 或 x= 3当 x=0 时，y= 1 + 4=3, 点 A ( 1, 0),点 B (3, 0),点 D (0, 3)又.抛物线的对称轴为：直线 x=1, 点D与点E关于PQ对称，GD= GE分别将点 A ( 1, 0)、点E (2, 3)代入y=kx+b,得：-:求+5 = 3解得：b = l1)过A、E两点的一次函数解析式为：y= x+ 1当x=

13、0时，y= 1 ，点F坐标为(0,.阳=2又.点F与点I关于x轴对称，点I坐标为(0, 1)= DG G* HI最小即可又.要使四边形 DFHG勺周长最小，由于 DF是一个定值，只要使 由图形的对称性和、，可知，DG GH+ HF= EG+ GH HI只有当EI为一条直线时，EG+ GM HI最小设过 E (2, 3)、I (0, 1)两点的函数解析式为:分别将点E (2,3)、点I (0, 1)代入二松十，,得:ffc = 2解得：-过A、E两点的一次函数解析式为：y = 2x 1当 x= 1 时，y=1;当 y=0 时，x=上； 点G坐标为(1, 1),点H坐标为(四边形 DFHG勺周长最小为： DF+ DU GM HF= DF+ EI由和，可知：DF+EI=2 + 2收.,四边形DFHG勺周长最小为2 + 2加(3)如图7,由题意可知，/ NMD= / MDB_阳要