基本函数求导公式

1、(D (cosx) = -sinx(cot x = esc2 x(cscx) = -cscxcotx(10) de、(In x)f =(12)x ,(arccosx)/ = - t -(14)Ji2(arc cot x) =7(16)1 +厂(2)基本初等函数求导公式(c) = (sinx) = cosx(5) (tan x)f = sec2 x (secx) = sec x tan x(9)In(log. x =(11)xMa/ 、, 1(arcs in x)=,(H(arctan .v)/=二(15)1 + 厂函数的和、差、积、商的求导法则设 =*), u = v(x)都可导，则(U V)

2、/ = W* V*小(MU)1 /1(4)反函数求导法则若函数x=（y）在某区间外内可导、单调且则它的反函数=/（）在对应区间内也可导，且复合函数求导法则设） = /（），而=。（乃且小）及。a）都可导，则复合函数）=/8（刈的导数为dy _ dy dudx dii*dx 或 / = /(”)9(x)2.双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求 出.可以推出下表列出的公式:(shx) = chv(ch.v)r = shx(thxy=-U chx(arshv) - /? ，1 +厂(archx) - ，厂-1(artKv)r =

3、!1 厂一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程/3。）=0（1）求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导 出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1设函数尸（乂）在点p（x。，）。）的某一邻域内具有连续的偏导数， 且/（/，）。）= 0,4（,打）工0,则方程/“，,）二0在点（/，丁。）的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=/（x）,它满足条件。= /（/）,并有虫=_二dx 4公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式（2）作如下推导。将方程（1）所确定的函数）

4、=/）代入，得恒等式F（xtf（x） = O其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得dF dF dy 八 dx dy dx由于以连续，且产、(/，。)0,所以存在(x。, %)的一个邻域，在这个邻域内于 是得3=占dx Fy如果歹(x,y)的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而 再一次求导，即得小y例1验证方程，+)2-1 = 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当工二0时，)=1的隐函数 = /),并求这函数的一阶和二阶导数在*二0的值。解设尸(x，F)=,+)，2 -1,则& = 2x,Fy

5、= 2y F(0,l) = 0,4(0,1) = 2*0 因此 由定理1可知，方程/+ V -1 = 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当x=0时，)=1的隐函数) = /*)。下面求这函数的一阶和二阶导数隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函 数，那末一个三元方程f（x，y，z）=o就有可能确定一个二元隐函数。与定理1 一样，我们同样可以由三元函数/（羽FZ）的性质来断定由方程 尸（x,y,z）=o所确定的二元函数z=（x,y）的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定 理。隐函数存在定理2设函数尸（x，y，z）在点尸（与，,。

6、，无）的某一邻域内具有连续的偏 导数，且尸Z。）= , （玉），）。，”0）0 ,则方程尸（-，）、2）二0在点“0，）0，0）的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数Z = /*，,），它满足条件 Zo=/（xo，y。），并有& _l 臣 F ，dx= F： 6y = Fz（4）这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导.由于尸（X，儿/“，）三0,将上式两端分别对工和）求导，应用复合函数求导法则得OZ曳F* + Fz & 二0,丫+ Fz dy -Oo因为连续，且忆（入。，儿，20）0,所以存在点“0，乂，勿）的一个邻域，在这个邻域内尸2 W0,于是得dz

7、 _ 包 _ y_ 瓦二生二F： .例2 设工_ + ,2 + Z? _4z = 0 ,求 dx2 ,解 设/（乂FZ） =x2+y2+z2-4zt 则 F=2x, =2%4.应用公式（4）,得& x= 2 一 z。再一次X对求偏导数，得（2 z）+ 俘d-z =*充（2-K2）+ 彳上）_*）2+/一 （2-z）2- （2-z）3 二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且 增加方程的个数，例如，考虑方程组Rx,y,u）=O, G（x,y,z） = O.（5） 这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组（5）就有可能确定两个二

8、 元函数。在这种情形下，我们可以由函数尸、G的性质来断定由方程组（5）所确定的两个二 元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3设函数/（乂），丫）、G（x, ），,/）在点%（，比，“。，心）的某一邻 域内具有对各个变量的连续偏导数，又方。%，。/。）= , G（x, ，。，匕）=0,且偏 导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：e(EG)J = 6(#)=dFducGdudF a7 cGdv在点痣（/，凡，0，%）不等于零，则方程组尸（x,y,y） = 0 , G（x,y,y） = o在点 *0，九，0。）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续

9、偏导数的函数 if = （X,y）,v = v（x,y），它满足条件=（与，），% = v（x），）,并有G, G：加 1 d（F,G） Fu F、dx6（x,i，）=_ G“ G、1r F1/XcG、dv1 6( EG)F. F,dx = - J d(u,x) =_(X G,(6)F、死G, Gvdu1 o(F,G)F“野=_J o(y,v) =_G、G、工FyG G ydv d(F.G)F“ A，6y = _7 My)=-Gl( G.这个定理我们不证.du d例3设w_)w = O，V，+ xv = l,求瓦，豆，瓦和豆.解此题可直接利用公式(6),但也可依照推导公式的方法来求解。下面我们利用 后一种方法来做。将所给方程的两边对x求导并移项，得J = X )=/+/2=0在 y x的条件下，一 - ydu - v x xu + yv=-:.dx x -y x2 + y1 y xX -wdv _ y _ u _