浙江省湖州市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析

1、湖州市2018-2019学年第二学期期末调研测试卷数学注意事项:1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.2.本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150 分,考试时间120分钟.第I卷（选择题，共 40分）、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在直角坐标系中，直线x J3y 0的倾斜角是A. 30B. 45C. 60D.90先根据直线的方程，求出它的斜率，可得它的倾斜角.【详解】在直角坐标系中，直线x J3y 0的斜率为1=,等于倾斜角的正切值,33故直线x 岛 0的倾斜角是30

2、,故选A.I2.向量a 2,x若a/b,则实数2x的值为A. 328C. 3D. 3【答案】C即 2 8 6x 0【详解】q 向量 aHiH）iiiH6j8）, a / a,解得x 8 .故选C .3【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示。3.圆心为1, 1且过原点的圆的一般方程是A. x2y2 2x 2y1 0B. x2y22x 2y 1022C. xy 2x 2y0D. xy2x 2y 0【答案】D【解析】【分析】 根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。【详解】根据题意，要求圆的圆心为 (1,1),且过原点，且其半径r J12 ( 1)2 J2，则其标准方程为(x

3、 1)2 (y 1)2 2,变形可得其一般方程是 x2 y2 2x 2y 0, 故选D .【点睛】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。5, b 7, c4.在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知aA. 90B. 120C. 135D. 150【解析】【分析】1由已知二边，利用余弦7E理可得cosB 2 ,结合b c, B为锐角，可得B ,利用三角形内角和定理即可求A C的值.【详解】在 ABC中，Qa 5, b 7, c 8,222一- 一由余弦定理可得:c acb2564491cos B 一2ac 2 5 82Qb c,故B为锐角，可得B 60 ,A C

4、18060120，故选 B .【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用。5 .若直线x 1 m y 2 0和直线mx 2y 4 0平行，则m的值为一一 ._2A. 1B. -2C. 1 或-2D.3【答案】A【解析】试题分析：由两直线平行可知满足1 2mlm m 11 4 2m考点：两直线平行的判定0的解集为26 .已知函数f x ax bx c,若关于x的不等式f xA. f 4 f 0 f 1C. f 0 f 1 f 4B. f 1f0f4D.f 1f4f0由题意可得a 0 ,且1, 3为方程ax2bx c 0的两根，运用韦达定理可得关系，可得f(x)的解析式，计

5、算f(0),f (1), f (4),比较可得所求大小关系.【详解】关于x的不等式f (x) 0的解集为(1,3),可得a 0,且1, 3为方程ax2 bx c 0的两根,可得1 3b / c c r一,1 3 ,即 b 2a , c 3a , aa2f (x) ax 2ax 3a, a 0,可得 f(0) 3a, f (1)4a, f (4)5a,可得 f (4) f (0) f (1),故选 B .【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。7 .已知an是公差d不为零的等差数列，其前 n项和为Sn,若a3,a4, a8成等比数列，则A. a1d0,dS

6、40B.a1d0, dS40C.aid0,dS40D.ad0, dS40【答案】B【解析】、.5,一等差数列门儿 , %，口4，.成等比数列，,（01 +铝），+2Hx0：十7力）0，i =,352.S* = 2g= 2（巧 巧 + 孑d） =. 口0 =cO ,=,故选j33B.考点：1.等差数列的通项公式及其前股项和；2.等比数列的概念8.已知向量a , b的夹角为60 ,且ar2, br a1 - 2与r b r a贝dirb的夹角等于A. 150B.90C. 60D. 30r r根据条件即可求出abr r r 9_. .一 . r1,a4,b1 ,从而可求出a1rr l r r 1rr

7、 3-r1rra bV3 , （a b）?；-a b） 一，然后可设a b与一a b的夹角为 ，从而可求出222ab21cos 2 ,根据向量夹角的范围即可求出夹角.r r0ro【详解】ab 1, a2 4,b2 1；abr b2(arc 1 r rb)?(2a b)1 r2-a 21 r a$ 2b2r - 1 rb与2arb的夹角为，则cos(a1 r b)?(2arb) 1又0蒯 180【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运用,角。9.已知数列an满足a11anan 1数列a2n是递减数列，又&A. 5050B.1 r r b -a b向量的模的求法,以及利用数量积求向量夹2),且数列a

8、2n 1是递增数列,a2 ,则 a1005050C. 4950D. 4950根据已知条件可以推出， 当n为奇数时,an0,当n为偶数时，an0 ,因止匕an an 1去绝对值可以得到，an an 1 ( 1)n2n ,利用累加法继而算出结果.a2a14,a23,又a1a2 ，a23.Q数列 a 2n1为递增数列，数列a2n为递减数列,当n为奇数时，an 0,当n为偶数时，ann 12 a1) aian an 1( 1) n .a10o (a10o a99) (a99 a98) (a98 a97)2222222.1009998979695 L 21222222_22(10099 ) (9897)

9、 (9695 )L (21 )(10099 98 979632 1)100 1一 , 1005050 .故选 A.2【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和 法的应用。ax 4x 8恒成立，则实数 a的取值范围是42110.设a R ,若不等式x xA. 2,12B. 2,10C. 4,4D. 4,12, 一 i 212由题息可得 x | xx8(4 a)x恒成立，讨论x 0, x 0,运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围.2 12 1-x x ax4x 8恒成立, x xrr ,2121，八、即为x - x 8(4 a) x恒成立, x x8的最

10、小值, x，,一11当 x 0 时，可得 4 a, x-2x 2x x2x - 2,2x 8 8,xx当且仅当x2取得最小值8,即有4 a, 8,则a4；,1 ,18 ,一一当x 0时，可得4 ax = x 一的最大值， x x x事 1 I18匚 888由 x =x =-JS2x -22x 8,xxx x y x当且仅当x 2取得最大值 8,即有4 a8,则a, 12,综上可得 4蒯a 12 .故选D .【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力。第n卷（非选择题部分，共110分）注意事项：

11、用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效.二、填空题（本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分.）11.已知点 A(0,1) , B(3,2),向量uurACuuu(4, 3),则向量ABuuur,向重BC【答案】(1).(3,1)(2).(7,4);由点 A(0,1), B(3,2),uuur 向量AC(4,3）,先求出点C坐标为（4, 2）,由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量uuu山出目-一AB和向里BC -【详解】Q点A（0,1）,uuurB(3,2)，向量 AC ( 4, 3)点C坐标为（4, 2）,uuruur向量AB (3,1),向量B

12、C(7, 4) .【点睛】本题主要考查向量的加减坐标运算。12 .在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若bsinA asinC, c 1, B 一,6则 b , a .【答案】 （1）.1 （2）.3【解析】由已知及正弦定理可得 b c,即求出b,利用三角形的内角和定理可求A,根据余弦定理可得a的值.【详解】QbsinA asinC, 由正弦定理可得： ab ac,即b c,Qc 1, b 1,一一_ 2又Q BC , A A B ，663由余弦定理可得：a Vb2c2_2bccos A 1 12 11 cos2- J3 .【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理，

13、余弦定理在解三角形中的综合应 用。x y 1 0,13 .已知实数x,y满足 x y 1 0,则目标函数z 2x y的最大值是 ，满足条件的实 3x y 3 0,数x, y构成的平面区域的面积等于 .【答案】（1）. 2 （2）. 2;【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性目标函数的最值求法，进行求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由z 2x y得y 2x z.平移直线y 2x z,由图象可知当直线 y 2x z经过点b时，直线y 2x z的截距最小，此时 z最大.x y 1 0由，解得B(1,0),代入目标函数z 2x y得z 2 1 0 2.3x y 3

14、0即目标函数z 2x y的最大值为2.3x y 3 0点 A(2,3)时，同理 C(0,1),满足条件的实数x, y构成的平面区域的面积等于:1-13 2222【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解方法一一平移法的应用，以及三角形面积的 求法。14.已知P 2,5在圆C ： x22x 2y m 0上，直线l ： 3x 4y 8 0与圆C相交于A, B ,则实数muurBCuuuAB【答案】（1）.23 (2).32；把P点坐标代入圆的方程可得m的值；由圆的方程可知ACBC 5,再由弦心距公式可得|AB| 8,继而由向量的数量积公式可得解.【详解】把P（ 2,5）代入圆C : x22x解得m

15、 23.即圆C的方程为（x1)2(y2_1)25,所以rAC又圆C到直线所以|AB| 8uuv uuv 所以BC ABBC5,AB的距离d3,则 cos ABC 小AB BC cos(25ABC) 548 ( -)32 .5【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的互化，直线与圆相交所得弦长的求法，以 及数量积的定义应用。15.已知 a 0,b 0,ab 8,则 log 2 a log 2 2b 的最大值是 .【答案】4【解析】【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可.【详解】a 0, b 0 , ab 8 ,则 log2 a?log2(2b) (log 2 8 log2b)

16、?(1 log2 b)(3 log2b)?(1 log2b) _23 210g 2 b (log2b)24 (1 log2b) , 4.当且仅当b 2时，函数取得最大值.【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值。16 .我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为【答案】3【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式 能求出结果.详解：设塔的顶层共有 a1盏灯

17、，则数列an公比为2的等比数列，. S7=a1(1 2 )=381,解得 &=3.故答案为：3. 1 2点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力17 .若关于x的方程x2 ax b 0(a,b R )在区间1,3有实根，则a2 (b 2)2最小值是【答案】【分析】将x2 ax b 0看作是关于a, b的直线方程，则a2 （b 2）2表示点（a,b）到点（0，2）的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出22 一 一a （b 2）最小值。【详解】将x2 ax b 0看作是关于a,b的直线方程，a2 （b 2）2表示点（a,b）

18、与点（0,2）之间距离的平方,x2 2点(0, 2)到直线x2 ax b 0的距离为d - x2 1又因为所以a在tV2J10上单调递增，所以dmin229(b 2)的最小值为2 .【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化 思想的的应用。三、解答题（本大题共 5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知直线1过点1,3 ,且在y轴上的截距为1.（I）求直线l的方程；2 2（n）若直线l与圆C： x a y a5相切，求实数a的值.4【答案】（i） y 2x 1 （n） a 或a 23【解析】【分析】（i）由斜率公式先求得直线的斜

19、率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（n）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值.【详解】（I）由题意得l过点（1,3）和点（0,1）,3 1 一.则k 3_ 2 ,所以直线l的方程为y 2x 1 ；1 0(n)由题意得圆心(a, a),半径r 居，12a a 1|-5,4即13a 1| 5 ,解得a 或a 2 .3【点睛】本题主要考查直线方程的求法，以及直线与圆的位置关系应用，重在考查学生利用 几何法解决直线与圆的相切问题的能力。19.已知等比数列 an的各项为正数，Sn为其前n项的和，a3=8, S3=14 .(i)求数列 an的通项公式；(n)设数列bn a

20、n是首项为1,公差为3的等差数列，求数列bn的通项公式及其前n项的和Tn.【答案】(I) an2n(n)bn3n 22n,Tn2n 1-n2n 222【解析】【分析】(l)设正项等比数列2口的公比为q(q 0且q 1),由已知列式求得首项与公比，则数列an的通项公式可求；(n )由已知求得 bn,再由数列的分组求和即可.【详解】(I)由题意知，等比数列an的公比q 1 ,且q 0 ,2a3 a1q 8所以q 1 q3,S3 141 qa1 18a1解得 ，或 2 (舍去)，q 2 q 3则所求数列 an的通项公式为an 2n.(n)由题意得bn an1 (n 1) 3 3n 2故 bn 3n2

21、 an3n 2 2nTnb1b2b3bn (14 7233n 2)2 222nn(1 3n22)1 2nn项和公式的应用，同时考查了待(n)若点Q是Z(I)【解析】【分析】uuuuuruur uu(i)求 AB Auuur1 uurAQ AB12R Pl18uuurmAC ,求实数m的值.-n 13 225n点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前 定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和。20.如图所示，ABC是边长为1的正三角形，点P1,P2, P3四等分线段BC .uur uur(I)以AB,AC作为基底，表示出AP1, AP2，然后利用数量积的运算法则计算即可求出；(n

22、)由平面向量数量积的运算及其运算可得:uuur设AP3uuuAQuuuuuur AB m AC ,又 BP3 3PC , 12uuur所以AP31 uuu-AB 43 uuu一AC ,解得4uuurI)由题意得AR3 uuu -AB41 uurAC 4uuuAP2uur一 AB 21 uuuAC 23 uuu 1 uuu 1 uuu 1 uuu 一 AB AC AB AC4422urn uuu uuu uuu 则 AB AP AP1 AP2um 3 urn 1 uuuAB - AB AC44【详解】(I) a2 S19 uuu29 AB 81 uur2 -AC83 uuu uur -AB AC

23、 41389131111 cos60884(n)因为点Q是线段AP3上一点，所以设,uuuABuuuruuuAQ AB m12umrACuuu 1 uuu 3 uuur 又 BP3 3PC ,所以 AF3 -AB AC, 4412 故123，1解得 1 ,因此所求实数 m的值为一.m 44【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算以及平面向量基本定理的应 用，属于中档题.ir如 在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知m a,c 2b ,rir rncosC,cos A，且 m n (I)求角A的大小；uuu 1 uur(n)若 AB AC 2,求 ABC面积的最大值.3【答案】(I) a 60 E)36【解析】分析】(I)先利用向量垂直的坐标表示，得到a cosC (c 2b)?cosA 0 ,再利用正弦定理以及两角和的正弦公式将 a cosC (c 2b)?cosA 0 ,化为sin B 2sin BcosA 0,进而得到 1cosA 一，由此能求出A .2uuv 1 uuv(n)将 AB AC2两边平方，推导出bG 12,当且仅当b 6