反比例函数知识点归纳(重点)汇总

1、反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构现实世界中的反比例关系反比例函数10实际应用反比例函数的 图象和性质（二）学习目标_ k1 .理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式' x （k为常数，上H。）,能判断一个给定函数是否为反比例函数.2 .能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即 列表法、解析式法和图象法的各自特点.I F3 .能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数x （k为常数，上H 0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.4 .对于实际问题，能 找出常量

2、和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题 ”的过程，体会函数 是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.5 .进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法. （三）重点难点1 .重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.2 .难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握. 二、基础知识（一）反比例函数的概念_ k1. x （上H。）可以写成J二b"（七h0）的形式，注意自变量 x的指数为-1,在解决有关自变量指数问 题时应特别注意系数 kwQ这一限制条件；k2. 工（上MO）也可以写成xy

3、=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3.反比例函数X的自变量 "Q ,故函数图象与x轴、y轴无交点.（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数ky = -X的图象时，应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点（关于原点对称）（三）反比例函数及其图象的性质1.函数解析式:2 .自变量的取值范围:3 .图象:（1）图象的形状：双曲线.M越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.M越小，图象的弯曲度越大.（2）图象的位置和性质:与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当' . 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y随x

4、的增大而减小;当；. 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y随x的增大而增大.（3）对称性：图象关于原点对称，即若（ a, b）在双曲线的一支上，则（）在双曲线的另一支上.图象关于直线二士K对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则（）在双曲线的另一支上.积是4. k的几何意义如图1 ,设点P （a, b）是双曲线y=-X上任意一点，作 PA，x轴于A点，PB，y轴于B点，则矩形PBOA的面（三角形PAO和三角形PBO的面积都是2）.如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC，PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为5.说明:(1)双曲线的两个分支是断

5、开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个当用也。时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1 .求函数解析式的方法：(1)待定系数法；(2)根据实际意义列函数解析式.2 .注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析 1.反比例函数的概念(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是().A . y=3x B. y 一 3 二 2 1C . 3xy=1(2)下列函数中，y是x的反比例函数的是().答案：(1) C; (2) A. 1了二 1 +

6、一D.工22,图象和性质（1）已知函数二（七+ 1）1C是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k= .若y随x的增大而减小，那么 k= .I aby-1（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数X的图象位于第 象限.（3）若反比例函数'一最经过点（一1, 2）,则一次函数）二一"+ 2的图象一定不经过第 象限.a-y=-（4）已知abv0,点P （a, b）在反比例函数工的图象上，则直线J=数+ $不经过的象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限I F（5）若P （2, 2）和Q （m ,一加）是反比例函数|工图象上的两点，

7、则一次函数y=kx+m的图象经过（）.A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限4平.FA.B.C.答案：（1）-2 1 ； （2） 一、三；（3）四；（4）33,函数的增阈生在反比例函数/勺百°）的图象上有两点MA.正数 B.负数 C.非正数D.C; C； （6） B.孙M,可孙M，且再,则M一为的值为（）.D.非负数（6）已知函数了二联工一口和工（k%）,它们在同一坐标系内的图象大致是（）.(2)在函数y=(a为常数)的图象上有三个点的大小关系是().A.B.C.D.(3)下列四个函数中："5x；尸-5x<3了二一工；y随x的

8、增大而减小的函数有().A. 0个B. 1个C.D. 3个(4)已知反比例函数X的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当 x>0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填增大”或减小答案：(1) A; (2) D; (3) B.注意，(3)中只有是符合题意的，而是在每一个象限内” y随x的增大而减小.解析式的确定(1)若上与汇成反比例，I与成正比例，则A.正比例函数B.反比例函数C. 一次函数D,不能确定(2)若正比例函数 y=2x与反比例函数ky=-X的图象有一个交点为(2, m),则 m=k=的另一个交点为(3)已知反比例函数的图象经过点(-2,-8)的图象在第二、四象

9、限，求 班的值.,反比例函数(4)已知一次函数 y=x+m与反比例函数掰+ 1 "那#-1)的图象在第一象限内的交点为P (x 0, 3).已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药(5)为了预防 非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ；药物燃烧后y 关于x的函数关系式为 .研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6毫克时学生方可进教室，

10、 那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效？为什么?答案：（1） B;(2) 4, 8, (-2, -4 )；口.（3）依题意，愕=（-2）x（8）且40,解得阴二一4.加= 3,k = l（4）依题意，3如=幽+1> 0孑解得一就二心_3一次函数解析式为y二1+2,反比例函数解析式为x3"二x(5) 40<x<8,y = (x>S)x483-3x = 13,25>1030；消毒时间为L3 4（分钟），所以消毒有效.O

11、s.面积计算1（1）如图，在函数 1的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为A 遥 B M3的D.第（1）题图第（2）题图F y=- (2)如图，A、B是函数 工的图象上关于原点 O对称的任意两点，AC/y轴，BC/x轴，AABC的面积S,则().A. S=1B, 1 <S<2C. S=2D. S>2m(3)如图，RtAAOB的顶点A在双曲线J I上，且SAAOB=3 ,求m的值.第(3)题图第(4)题图4"一(4)已知函数 X的图象和两条直线 v=x, y=2x在第一象限内分别相交于

12、P1和P2两点，过P1分别作x轴、y 轴的垂线P1Q1 , P1R1 ,垂足分别为 Q1 , R1 ,过P2分另1J作x轴、y轴的垂线P2 Q 2 , P2 R 2 ,垂足分别为 Q 2, R 2,求矩形 O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小.1J = -(5)如图，正比例函数y=kx (k>0)和反比例函数1的图象相交于 A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若4ABC面积为S,则S= ._靠1 II 淤第(5)题图第(6)题图_ k(6)如图在RtAABO中，顶点A是双曲线 X与直线二一、+优+ 1)在第四象限的交点，AB，x轴于B且3SA

13、ABO= 2 .求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A、C的坐标和4AOC的面积.(7)如图，已知正方形轴上，点B在函数(k>0, x>0)的图象上，点P (m, n)是函数OABC的面积为9,点O为坐标原点，点 A、C分别在x轴、y ky =过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.求B点坐标和k的值;当 2时，求点P的坐标;写出S关于m的函数关系式.答案：(1) D;(2) C; (3) 6;(4) MQ2),月2/5),矩形0 qpi r i的周长为8, O Q 2P2 R 2的周长为6企，前者大.1.*9(6)

14、双曲线为 工,直线为J=-X-d ；直线与两轴的交点分别为(0, -2)和(一2, 0),且a(1, -3)和c(-3,1),因此 MOC 面积为4.(7) B (3, 3),上二 9 ;935 = -?(6,工时，E (6, 0),2127£二93 耳二9-二y=(1)若函数y=k1x (k1R)和函数 工(k2刈)在同一坐标系内的图象没有公共点，则 k1和k2 ().A.互为倒数B.符号相同C.绝对值相等D.符号相反X (k>0, x>0)的图象上任意一点,(2)如图，一次函数y = kx+b的图象与反比例数my=-工的图象交于A、B两点：A(-2, 1), B (1, n). 求反比例函数和一次函数的解析式;A、 B两点，且与反比例函数m二一工(m%)的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为 D,若OA=OB=OD=1 .求点A、B、D的坐标;求一次函数和反比例函数的解析式.y = ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于 A、B两点，连结 OC, OD (O是坐标原点). 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值; 双曲线上是否存在一点 P,使得4POC和APOD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；