专题反比例函数与三角形四边形地面积等

1、实用文案反比例函数比例系数k与图形面积经典专题知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性， 很多中考试题都将反比例函数与面 积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识 内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可 以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四 种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题ky=-j _ _设p为双曲线x上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM PN垂足分别为M N,则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON勺面积为S=|PM|X|PN|二|y|X |x|二|x

2、y|xy=k故 S=|k|从而得标准文档积S=以及上述结论，可得出对应的结论1:过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性面积的结论为:角形AMBfr,面积为S=|k|结论4:在三结论3:在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|类型之一 k与三角形的面积1、如图，已知双曲线y= k (k>0)经过直角三角形OAB斗边OB的中点D, x与直角边AB相交于点C若 OBC勺面积为6,则k=.最佳答案过D点作DHx轴，垂足为E,由双曲线上点的性质，得 S AAOC =S ADOE = 1 k,2.DEL x

3、轴，AB! x 轴，DE / AB, .OAB s AOED又 ; OB=2ODS AOAB =4S ADOE =2k,由 S AOAB -S AOAC =S AOBC ,得 2k- 1k=6, 2解得：k=4.2、如图1-ZT-1 ,分别过反比例函数轴的垂线，垂足分别为G D,连接&,比较它们的大小，可得A.Si>&B.S尸Sy= 2018（X >0）的图象上任意两点A B作X XOA OB设AOG口 BOD勺面积分别是Si、C.Si<&D.Si、&大小不确定。3、在下列图形中，阴影部分面积最大的是（C）k4、如图1-ZT-3,在平面直角坐标

4、系中，点A是函数y=（x<0）图象上的点，x过点A作y轴的垂线交y轴于点B,点C在x轴上，若 ABC的面积为1,则k 的值为。V =5、X如图，在平面直角坐标系中，点 A在函数.X (k<0, x<0)的图象上，过点A作AB/ y轴交x轴于点B,点C在y轴上，连结AC BC.若 ABC的面积 是 3,贝 k=.乙> XBO 下试题分析：谩点A的坐标为£ ),由点A的坐标结合AABC的面积即可得k&=-AB-OE= X ( - pi)=3,解得k=-6.7ABe 2 m6、如图1-ZT-4, OACffiBAD®是等腰直角三角形，/ ACO=A

5、DB=90 ,反比例函数y=k在第一象限的图象经过点 B,若OA-AB2=8,则k的值为。x试题解析,设R点坐标为巧b),一0M和ABAD都是等腰直角三角形，0A二应 蛾笃 AB=在 皿 OC=AC? AD=BD?70必-国=8,二2第7心电即痣-仙曰，(AC+AD) (AC-AD)二4,二. (OC+ED> CD=4,.二a,b=4：/.k=4.类型之二k与平行四边形的面积7、X如图，在平面直角坐标系中，点 A是函数y=- (k<0, x<0)图象上的点，过点 A x与y轴垂直的直线交y轴于点B,点C、D在x轴上，且BC/ AD.若四边形ABCD勺面积为3,则k值为优质解答

6、V AB±y 轴,AB/ CD v BC/ AD, 一四边形ABC北平行四边形，四边形AEOB勺面积二人印OE S平行四边形 ABCD=ABCD=3 四边形AEOB勺面积=3, |k|=3 , <0,k=-3,故答案为：-3.8、如图，菱形OABC勺顶点的坐标为（3,4）,顶点A在x轴的正半轴上，反比 . k. .例函数y=-（x >0）的图象经过顶点B,则k的值为（）。xA. 12 B. 20 C. 24 D. 32答案:*,C的坐标为（3, 4）, .CD=4, OD=3. CB/ AO，B的纵坐标是4,过点C作CD! OA故选D.4 一9、如图1-ZT-6,函数y=

7、-x与y=-的图象相父于A、B两点，分别过A、B两点 x作y轴的垂线，垂足分别为C、D,则四边形ACBD勺面积为（）。A. 2 B. 4 C. 6D. 8分析：首先根据 反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=-|k| ,得出Saaoc2=Sa odb=2 ,再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD AC=BD,即可求出 四边形ACBD的面积.解答：解：=过函数y=-的图象上A, B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为 x点 C, D,Saaoc=Sa odb= 1 |k|=2 ,又= OC=OD AC=BD, Sa aoc=Sa oda=S

8、 ODB =Sa obc=2 ,二四 边形 ABCD的面 积为：Sa aoc+Saoda+Sa cdb+Saobc=4X 2=8 .故选D.点评：本题主 要考 查了反比例函数y= k中k的几 何意义，即过双曲线上 x任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k| ;图象上的点与原点所连的线段、坐标 轴、向坐 标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系1即S=1 |k| ,是经常考 查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的 对称性.210、如图1-ZT-7，点A是反比例函数y=2（x>0）的图象 上任意一点，AxB/ x轴交反比例函数y=-a的图象于点B,以AB为边作UABCD其中点 xC

9、、D在x轴上，则UABCD的面积未（）。A. 2 B. 3 C. 4 D. 511、如图、1-ZT-8 ,在UABOCK 两条对角线交于点 E,双曲线y=K（k<0）的一支经过C、E两点，若UABOC勺面积为10,则k的值是（）。A. - 5 B.- 竺 C. -4 D.-5 23分行：设E的坐标是（rr1r n ） r !Wmn=k r平行四边形ABOC中E是。Affi中点,则A的坐标是 ：（2mr2n） , C的纵坐标是2口，表示出C的横坐标,则可以得到AC即0B的长，然后根据 平行四边形的面积公式即可求得的值.解答；解：设E的坐标是（m , n ）,则mn=k .，平行四边形ABO

10、C中E是0A的中点,.A的坐标是：（2m，2n ） , C的纵坐标是2n, Z-JrZr把V=2n代入y=£得：乂=券，即C的横坐标是：券.'QB=AC=SL2m , 0B边上的高是2n , lr-（五-2m ） *2n=10 ,即£4mn=10 , . -k-4k=10,解得：k-y .，点平：本题是平形四边形与反上点U函数的综合应用,根据E点的坐标表示出AC的长度是关 键.类型之三k与矩形的面积4 ,12、如图1-ZT-9, A、B两点在双曲线y=上，分别过A B两点向坐标轴作垂 x线段，已知S+S=6,贝U S阴影=()。A. 4 B. 2 C. 1 D.无法

11、确定>O工13、如图1-ZT-10,反比例函数y=x (x>0)的图象经过矩形 OABC寸角线的交点M分别与AB BC相交于点D E,若四边形ODBE勺面积为9,则k的值为( )。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4考点：反比例函数系数k的几何意义.专题：数形结合.分析：本题可从反比例函数图象上的点 E、M D入手，分别找出 OCE AOAD 矩形OABC勺面积与凶 的关系，列出等式求出k化解答：Ik|k|解：由题意得：E、M D位于反比例函数图象上，则$ OCE=2 ,SAOAD=2 , 过点 M乍MGL y轴于点G,彳MNLx轴于点N,则SDONMG=|k|又M为矩形ABCO

12、寸角线的交点， .S 矩形 ABCO=4SONMG=4|k|由于函数图象在第一象限，k >0,则2+9=4k,解得：k=3.故选CO N A点 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两 评：条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k| ,本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.14、如图1-ZT-11 ,反比例函数y=T (,k>0)的图象与矩形ABCO勺两边相交于 E、F两点，若E是AB的中点，Sabef=2,则k的值为。，.一 、一k分析：设E (a, 一) a可求得F的横坐标， k解：设 E ( a,-), a，则B纵坐标也为k,代入反比例函

13、数的y=K ,即 ax则根据三角形的面积公式即可求得k的值.k则B纵坐标也为一，aE是AB中点，所以F点横坐标为2a,代入解析式得到纵坐标：,2aBF=k-=,所以F也为中点,a 2a 2aSa bef=2= K , k=8 ,4故答案是：8.点评：本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键.k15、如图1-ZT-12,点P、Q是反比例函数y= x图象上的两点，PZ y轴于点A, QNLx轴于点N, PMx轴于点M,QBytt于点B,连接PB QM AABP的面积记为 S, zQMN勺面积记为S2,则Si 段(填“>” 或“=”)。16、如图1-ZT-13,在平面直角坐标系中

14、，点 O为坐标原点，矩形OABC勺边OAOC分别J在x轴和y轴上，其中OA=6 OC=3已知反比例函数y=x (,k>0)的图象经过BC边的中点D,交AB于点E。(1) k的值为;(2)猜想的面积与的面积之间的关系，并说明理由。答案：(1)9; (2) SAOCD=SOBE理由见解析. 【解析】 试题分析：(1) 根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值：v OA=6 OC=3点D为BC的中 点，D (3, 3).二反比例函数(x>0)的图象经过点D, .k=3X3=9. (2) 根据三角形的面积公式和点 D, E在函数的图象上，可得出 SAOCD=SOAE再 由点D为BC的中点，

15、可得出SAOCD= SOB类型之四k与多边形的面积17、如图1-ZT-14所示，过点A (2,-1)分别作y轴、x轴的平行线交 双曲线ky=k于点B、C,过点C作CHx轴于点E,过点B作BDLy轴于点D,连接ED x若五边形ABDEC勺面积为34,则k的值为。18、如图1-ZT-14,点P是反比例函数y=k1 (ki>0, x>0)图象上的一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=-k2 x(k2<0,且|k2|<ki)的图象于E、F两点。(1)图1中，四边形PEOF勺面积Si=(用含ki、k2的式子表示)；(2)图2中，设P点坐标

16、为(2, 3),点E的坐标是(, ),点F的坐标是(, )(用含k2的式子表示)；8(3)若OEF勺面积为8,求反比例函数y=的解析式.3x图1图2解答：(1);P是点P是反比例函数y=k1 (k>0, x>0)图象上一动点，S=k1-.B F分别是反比例函数y=k2. (k2V 0且|k2|<ki)的图象上两点， x1OBF=SAOE=1|k2| ,2四边形PEOF勺面积Si=S矩形 PBO+S>AOBF+SaAO=kl + |k 2| ,: k2<0,二四边形 PEOFF勺面积 Si=S矩形pbo+Szxobf+SaAo=ki+|k 2|= ki-k2.(2)

17、PE± x轴，PF, y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，E、F两点的坐标分别为E (2, kp , F (k2, 3);: P (2, 3)在函数y=殳的图象上，xki=6,. B F两点的坐标分别为E (2, k) , F (k2, 3); .PE=3与 PF=2-k2-,21 / c k?k2、 (6 - k2)SA PEF=- (3-y) (2-y ) = 2 2,SAOEF=(ki-k2)-(6-312=(6*2)-(6 k2)2 = 36 -k22 =812123k2=二 2: k2<0,2 k2=-2 . y= x题型之五：k与面积综合16、

18、如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=12 (x>0) x图像上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于 A Bo(1)求证：线段AB为。P的直径；(2)求AOB勺面积。(3)如图2, Q是反比例函数y= (x>0)图像上异于点P的另一点，以Q为 x圆心，QOXJ半径画圆与坐标轴分别交于点 C Db求证：DOOC=BOOA证明工YNAOBWO且NAOB是0P中弦AB所对的圆周甬, 二AB是0P的直径.C）解：设点P坐标为（叫口）（皿>。>0）,.1点P是反比例函数整卫Cx>0）图象上一点，,二血=1， x如答图，过点P作PM_Lx轴于点PN_Ly轴于点N,则ON=n. 由垂径定理可知，点M为OA中点“点N为OB中点，/.OA=2OM=2m, OB=2ON=2n,/.S_ Q5= OA=x2nx2m=2drL=2,x 12=24.22<3）证明：若点Q为反比例困数卜* （x>0）图象上异于点P的另一点,参照（2）j 同理可得：S_cod=-OO*CO=24,则有：$二8D=S“qe=24,即工BOOA=1DO.CO, 22.DO-CXr=BO-OA.解答图反比例函数相关练习题1 .如图，直线y=-x上有一长为 应动线段MN作MH NP都平行y轴交在条件（2） 下，第一象限