《等腰直角三角形中地常用模型》

1、实用标准文档精彩文案等腰直角三角形中的常用模型一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等(都是 45o )边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点(1)以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：E,过C作CF，AD于点F。(1)求证：BE-CF=EF(2)若D在BC

2、的延长线上(如图(2), (1)的结论并证明。如图1,等腰Rt ABO43,AB=CBABC90O，点P在线段BC上(不与 R C重合)，以AP为腰长作等腰直角 PAQ QEL AB于E ,连CQ AB于M (1)求证：M为BE的中点(2)若PC=2PB求PC的值 MB必定可以构造一对全等的直角三角形:(2)以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,B3、如图：RtAABC / BA(=90o , ABAC 点 D是 BC上任意一点，过 B作 BE! AD点 E,交AC于点G过C作CH AW AD的延长线与于点 F。结论并证明。(2)若D在BC的延长线上(如图(2), (1)中的结论还成立吗？

3、若不成立，请写出新的(1)求证：BG=AF于点F,连接DF,求证：/ 1 = /2。变式 1：如图，在 Rt ABO43, / ACB45, Z BA(=90 , AB=AC 点 D是 AB的中点，AF CD于H交BC于F, BE/ AC交AF的延长线于 E,求证:变式 2：等腰 Rt ABC, AC=AB / BAC= 90 ,点 D是 AC的中点，AFBD于点 E,交 BC变式 3:等腰 RtAABC, AC=AB/BAC= 90 ，点 D E是 AC上两点且 AD=CE AFBD于点G交BC于点F连接DF,求证：/ 1=7 2。Dc实用标准文档模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜

4、边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形例 1:等腰 Rt ABC, AC=AB Z BAC= 90 , AD 求证：/ ADB= 45 。E是AC上一点，过C作CDL BE于D,连接,E是AC上一点，点D为BE延长线上一点,变式 1:等腰 RtABC中，AC=AB / BAC= 90且/ADC= 135 求证：BDL DC变式 2：等腰 Rt ABC, AC=AB / BAC= 90于D, DML AB交BA的延长线于点M,BE平分/ ABC AC于 E,过 C作 CDL BEBMAM(1)求AB +BC的值；(2)求BC - AB的值。模型三：两个

5、等腰直角三角形共一个顶点实用标准文档例1、如图1, ABC 是AF的中点，连 BEFtB是等腰直角三角形，/ME将 BEF绕点B旋转。猜想AB(=/BEf=90o ,连接 AF、CF, MCF与EM勺数量关系并证明；(2)两个等腰直角三角形 共锐角顶点且直角开口方向相同 ，必定含一对相似三角形:精彩文案(3)两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全FA如图，ABCEBDIB是等腰直角三角形，/ BA(=/BE*90o 。把DE平移到CF,使E与C重合，连接 AE AF则AEBWAFCir等(关键是利用平行证明/ ABE=/ACF例.如图：两个直角三角形 ABC

6、 ADE勺顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC Pb(1)如图1,若/ BA(=Z DAE45 ，当 A、C、D在同一直线上时，线段 PC PE的关系(2)如图2、3,将BAC绕A旋转“度，(1)中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明 你的结论。【巩固练习】1.如图，在 RtAABC 中，AB =AC , / BAC =90, D、E 为 BC 上两点，/ DAE =45,F为 MBC外一点，且FB，BC , FA _L AE ,则下列结论：CE = BF ;222BD +CE =DE ； S国DEAC1222=AD，EF;CE +BE = 2AE，其中正确的是 4B、2.已知：Rt/ABC

7、3,AC于点M No(1)若/ MON90AB=AC/BAG90 ,若 O是 BC的中点,(如图 1),求证： OM=QN BM+CN=MN;(2)若/ MON45(如图2),求证：AM+MNCNA3、如图，在平面直角坐标系中，AOB等腰直角三角形， A (4, 4)。(1)若C为x轴正半轴上一动点，以 AC为直角边作等腰直角 ACD / ACD=90 ,连OD求/ AODW度数；AFOF(2)过A作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以 EG为 直角边作等腰 RtAEGH过A作x轴垂线交EH于点M,连FM等式AM - FM = 1是否成立？若成立，请证明；若不成

8、立，说明理由。H4 .在4ABC和4DCE中，ABAC DGDE / BAB/ EDC90 ,点 E 在 AB 上，连 AD DH AC 于点F。试探索AE AR AC的数量关系；并求出/ DAC勺度数。5 .如图：等腰 RtABCF口等腰 RtAEDB AC=BC DE=BD Z ACB= Z EDB= 90 , E为 AB是 一点，P为AE的中点。连接PC PD则PC PD的位置关系是 ;数量关系是 ;并证明你的当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EFl BC于F,连接PF,试判断 PCF的形状；在点E运动过程中， PCF是否可为等边三角形？若可以，试求ACBAEDB的两直角边之比。6 (2013年湖南常德 10分)已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC； RtCEF, / ABC=ZCEF=90 ,连接 AF, M是AF的中点，连接 MB ME(1)如图1,当CB与CE在同一直线上日求证：MB/ CF;(2)如图 1,若 CB=a CE=2a 求 BM ME的长；(3)如图 2,当/ BCE=45 时，求证：BM=MEFC图二7、如图，在平面直角坐标系中,/ ONB=45 +/ MON(1)求证：BN平分/ OBA(2)十OM MN佻古求的值;BNA (4 , 0) , B (0 , 4)。(3)若点P为第四象限内一动点,且/ APO135 ,问A