九年级二次函数最值问题给定范围最值

1、二次函数中的最值问题重难点复习般地，如果 y=ax2 +bx+c（a,b, c是常数，a=0）,那么y叫做x的二次函数.22.二次函数y=ax +bx+c用配方法可化成：y=a（x h） +k的形式 y =a（xh 2 +k的形式，得到顶点为（h, k）,对称轴是x = h .y=ax2+bx+c=axlL如.22,4ac b/ b 4ac-b、b,顶点是 （,），对称轴是直线 x=-4a2a 4a2a二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值。一般而言，最大（小）值会在顶点处取得,达到最大（小）值时的x即为顶点横坐标值，最大 （小）值也就是顶点纵坐标值。自变量x取任意

2、实数时的最值情况b4ac b2（1）当a >0时，函数在x =-工 处取得最小值b ，无最大值；2a4ab4ac - b2（2）当a <0时，函数在x处取得最大值，无最小值.2a4a（3）二次函数最大值或最小值的求法.第一步：确定a的符号，a >0有最小值，a c0有最大值；第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.2.自变量x在某一范围内的最值.如：y=ax2+bx+c 在 mWxWn （其中 m<n）的最值.第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x = x0 = -b-；2a第二步：讨论：1若a >0时求最小值（或a <0时求最大值）

3、，需分三种情况讨论：（以a a 0时求最小值为例）对称轴小于 m即<m，即对称轴在 mExEn的左侧，在x = m处取最小值ymin = am2+bm+ c ；2对称轴m x0 < n,即对称轴在 mWxWn的内部，在x= %处取最小值ymin=a% +bx0 + c；对称轴大于n即x0 >n,即对称轴在 m W x W n的右侧，在x = n处取最小值ymin = an2 + bn + c.2若a A0时求最大值（或 a <0时求最小值），需分两种情况讨论：（以a >0时求最小值为例）对称轴x0 M m-n,即对称轴在 m W x W n的中点的左侧，在 x =

4、 n处取最大值ymax = an2 + bn + c ；2对称轴x0 >m一n ,即对称轴在 mExEn的中点的右侧，在 x = m处取最大值ymax = am2 + bm+c2小结：对二次函数的区间最值结合函数图象 总结如下:f(m)，当 a >0时 f (X)maxb 1(m n)(如图 1)2a 2b 1一一 <-(m +n)(如图2)2a 2f(x)minbf(n), >n(如图 3)2abb. 一f (), m - - _ n(如图 4)2a2abf(m), -<m(如图 5)2af(n),二 bf (n),>n(如图 6)2a当 a <0时

5、 f(x)max=4f(bb. 一)，mM巴Mn(如图7)2a2af(x)min|f(m)，=5 f(n),f (m), cm(如图8)2ab2a b2a1之2(m + n)(如图9)1<-(m + n)(如图 10)2“Jra另法：y =ax2 +bx+c(a 00)当 m Wx <n (其中 m<n )的最值：b求出函数的对称轴 x =x0 =-,在以后的数学学习中2a若mW% <n ,则分别求出 m,%,n处的函数值f (m), f(x0), f (n),则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；若x0<m或x0 >n时，则求出m,n处的函数值f(m

6、), f (n),则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。基础巩固：将下列函数写成顶点式，并写出对称轴和顶点坐标：22(1) y=2x 4x+5 ；(2) y=(1x)(x+2) y = 2x 3x + 5222(4) y = x x 1(5) y - -x 4x - 2(6) y = ax 4ax -1例1.求下列函数的最大值或最小值.222(1) y=2x 3x5；(2) y =-x -3x+4.(3) y = 2x -4ax + 1例1 (1)最小值为-49无最大值；(2)最大值为25,无最小值.84练习：求下列函数的最大值或最小值(1) y =x2 -4x 1(2) y = -2

7、x2 -4x(3) y =x2 -2ax，八2,2(4) y = -ax 7x a(5) y = 2 x-x +4x的最小值是例2.、如图，抛物线y =x2 -2x 一 p与直线y = x交于点A (-1, m)、B (4,n),点M是抛物线上的一个动点，连接 OM(1)求 m, n, p。(2)当M为抛物线的顶点时，求 M坐标和OMB的面积；(3)当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，2(4) y = ax - 2x (5) y =8x2 - 4x 6NOMB的面积最大。练习1.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a%)的图象与x轴交于A (-1,0),B(3,0)两

8、点，与y轴交于点C,且二次函数的最小值为-4,(1)求二次函数的解析式；(2)若M (m, n) (0vmv3)为此抛物线上的一个动点，连接MC、MB ,试求当m为何值时，4MBC的面积最大？并求出这个最大值考点：二次函数综合题.专题：代数几何综合题.分析： (1)根据点A、B的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A的坐标代入计算即可得解；(2)根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，利用勾股定理求出 BC,再求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于 BC的直线与抛物线只有一个交点时MBC的面积最大，再根据平行直线的解析式的k值相等设出平行线的解析式，然后与

9、抛物线联立消掉 y得到关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式 =0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M到BC的距离，然后求解即可；(3)根据抛物线的解析式设点 P的坐标为(x, x2-2x-3),根据抛物线的对称性以及点P在点Q的左侧，表示出EF=2 (1 - x),然后根据正方形的四条边都相等列式，再分 xv - 1时点P的纵坐标是正数， -1 vx<1时，点P的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可.解答：解：(1) y=x2- 2x-3;(2)不难求出，直线 BC的解析式为2.已知：如图，抛物线 y=ax2+3ax+c (a>0)与y轴交于C点，与

10、x轴交于A、B两点，A点在B点左侧.点B的坐 标为(1, 0) , OC=3BO .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD面积的最大值；解答：解：(1) .抛物线的解析式为：产芦寻-3(2分)(2)，AC的解析式为：尸高工3(3分)S 四边形 ABCD =SaABC +SaADC二I ： AtH=' 一设D (工，4/总工-3),况(x, 一4工-3)3 /白国 3)二一【肝2 )，+3当44444444-2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值212例3.(1)当1MxM4时，求函数y = x2 4x+1的最大值和最小值.2(2

11、)当1 <x42时，求函数y = x x+1的最大值和最小值.例 2.(2)当 x=1 时，ymin =-1,当 x=2 时，ymax=5巩固练习(1)函数y =2x2 +4x-1在区间-3MxM0上的最大值是 ,最小值是 .一 一 319(2)已知0 E x E-,求函数f (x) = x + x+1的取值.取小值为1,取大值为 一 24(3)函数y =3x2 -3x-1在区间1 ExE0上的最大值是 ,最小值是 .(4)函数y = -x2+4x-2在区间0WxW3上的最大值是 ,最小值是 . 2, -2(5)0 <x <3,求函数y = -x(2 -x)的取值范围.(6)

12、函数y = -x2 -x+a在区间3 Mx W -1上的最大值是 ,最小值是 .(a为常数)例4.已知关于x的函数y = x2 +2ax+2在5 Ex E5上.(1)当a = -1时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最值.当x=1时，ymin =1 ；当x =七时，Ymax=37-(2)当 a 之0时，ymax=27+10a；当 a<0时，ymax=27 10a练习：求关于x的二次函数y=x22tx+1在T Wx91上的最值(t为常数).【课后作业】21 .抛物线y=x (m 4)x+2m 3,当m=时，图象的对称轴是 y轴；当m=时，图象的顶点在 x轴上;3时，图象

13、过原点.4 14或2,-2162 .用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为2(2) y =(1-x)(x+2).3 .求下列二次函数的最值：(1) y=2x 4x + 5；9(1)有取小值3,无取大值；(2)有取大值一，无取小值.44 .求二次函数y =2x2 -3x +5在-2 Ex M2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.3 .31. 一,一当 x = 一时，ymin =；当 x = -2 时，ymax =19.4 85 .函数y =x2 +x+1在区间-1 Mx M1上的最小值和最大值分别是()B一311(A) 1, 3(B)-, 3(C) 一，3(D) 一

14、，34246 .函数y = 一x2 +4x -2在区间1 <x E4上的最小值是()C(A) -7(B) -4(C) -2(D)27 .函数y=8的最值为()Bx - 4x 5(A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值，最大值为 8(C)最小值为0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值8.已知二次函数y = x2 -6x + m的最小值为1,那么m的值为 .10.3= 3时，ymax = 3 -9 .对于函数y =2x2+4x3 ,当x M0时，求y的取值范围.y之510 .求函数y = 3-J5x 3x2 -2的最小值.当x=5时，ymin611 .已知关于x的函数y = x2+2ax十2在-5 < x <5±,(1)当a = -1时，求函数的最大值和最小值；2)当a为常数时，求函数的最大值.(1)当 x=1 时，ymin =1；当 x = -5时，ymax =37. (2)当 a 之 0时，ymax = 27 + 10a ；当 a < 0时，ymax = 27 10a . 2一 .、2 5,一12 .已知关于x的函数y=x +(2t+1)x+t -1,当t取何值时，y的最小