塑性理论练习题

1、课件作业：1、应力分析：已知某点应力状态的应力分量为：x 30, y 40, xy yx 573,其余为零，求:(1)、该点的应力张量、应力偏张量、应力球张量；(2)、求其主应力和主应力的方向 (用两种方法)；(3)、求其主切(剪)面上的正应力、切(剪)应力；(4)、求其八面体上的正应力、切 (剪)应力；(5)、求其等效应力；(6)、画出该点的应力莫尔圆，并标出主切(剪平)面和八面体平面的的位置。解：(1)305 .305 34070/370/370/320/35 350/3-70/3(2)、解法状态的特征方程J1J2J30中的应力不变量为:J1J2x)2 xy yzzx2xy2 yz2yx2

2、xz2zxx1125xy)0z) 70得力状态的特征方程:701125解得： 145,25, 30求三个主应力分量的作用方向：先求主应力145的微分面的方向:15l 5 3m 05 3l 5m 00.n0I 2 -22l m n 13l m 0n0222lmn 1解此方程得可得1 45的微分面的方向,同理，可分别求得225和30所作用的微分平面的方向:解法11m112321 m22n20120m2 0n212xy452502xyarctgx y601轴在x轴逆时针60度方向:I1(3)、主切面上的正应力、切应力:(4)、因为有：l1 l2 l32轴在x轴顺时针30度方向:3轴垂直于xy平面：l

3、323(2120, m(-0,2)3)/212.5, 2313( 13)/ 222.5, 13,31-,m12、,3n3/2,m)2135,、3T,"12,n212(23)/212.5(13)/222.5m ( 123)/3 23.3312)/2101222-v( 12)( 23)( 13)18.40893(5)、等效应力 3 8/72 弋T1 2)2 ( 23)2 ( 1 3)2 /2 39.0512(6)、COS54.700.577851,30.577372、应变分析：已知某受应力作用点的三个应变分量为：i 30, 214, 316,试求m n cos60线元r , r。解：r

4、1l22m23n2 30* 0.5-14* 0.25-16* 0.25 7.5_ 22 2222 22_2_2_T21 l22m23 n2 302 * 0.5 142* 0.25162 * 0.25 563r.T2r2 .563 56.25.506.7522.511：什么是金属的塑性？什么是塑性成形？与金属切削相比，塑性成形有何特点？答：塑性：在外力作用下使材料发生塑性变形而不破坏其完整性的能力称为塑性。是指材料的永久变形能力。金属塑性成形：使金属材料在一定的外力作用下，利用其塑性而使其成形并获得一定力学性能的加工方法，称为金属塑性成形（塑性加工或压力加工），是金属加工的方法之一。与金属切削相

5、比，塑性成形的特点：组织、性能得到改善和提高金属材料经过相应的塑性加工后，其组织、性能得到改善和提高，特别是对于铸造组织的改善，效果更为显著；材料利用率高金属塑性成形主要是靠金属在塑性状态下的体积转移来实现，不产生切屑，因而材料利用率高，可以节约大量的金属材料；生产效率高金属塑性成形方法具有很高的生产率，适于大量生产。如高速冲，400-1000次/每分钟；尺寸精度高用塑性成形方法得到的工件可以达到较高的精度。2:塑性成形的分类以加工行业来分；以受力方式来分：锻造、轧制、挤压、拉拔、冲压、弯曲、剪切；以金属性成形方法来分；以成形时工件的温度来分。P.82思考题及习题2-1叙述下列术语的定义及含义

6、。1、理想弹塑性材料：.在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增加可连续产生塑性变形。2、理想刚塑性材料：在研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。3、弹塑性硬化材料：在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前的弹性变形，又要考虑加工硬化的材料，这种材料在进入 塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增加，也即在加载条件下才能连续产生塑性变形。4、刚塑性硬化材料：在研究塑性变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，但需要考虑变形过程中的加工硬化材料。5、屈服准则：在一定的变形条件（变形温度、变形速

7、度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。它是描述受力物体中不同应力状态下的质点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须遵守的力学条件，这种力学条件一般可表示为：f （ （T j ） = C又称为屈月艮函数，式中C是与材料性质有关而与应力状态无关的常数，可通过试验求得。6、屈服表面：以应力主轴为坐标轴可以构成一个主应力空间，屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭的空间曲面。7、屈服轨迹：两向应力状态下屈服准则的表达式在主应力坐标平面上的几何图形是一个封 闭的曲线。8、平面：在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线O

8、N的平面称为平面9、应力修正系数：即中间主应力影响系数，用 表示：= 。3+ 210、硬化材料：塑性变形时，材料发生加工硬化，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都在 变化）。11、流动应力：流动应力是从英文 Flow Stress翻译过来的，实质上就是变形过程的应力。在定义流动应力的过程中，多少也借用 了一些液态成形金属流动的概念，所以称为流动应力。流动应力（又称真实应力）一一数值上等于试样瞬间横断面上的实际应力，它是金属塑性加工变形抗力的指标。12、实际应力：true stress 。拉伸（或压缩）试验时，变形力与当时实际截面积（而不是初始截面积）之比。其数值是随变形量、温度与应变速率而变化的

9、。13、14、条件应力条件应变：也称标称应力和名义应力，即假设试件截面的面积A0为常数下得到的应力应变。15、对数（真实）应变：真实应变e应该是瞬时伸长量除以瞬时长度de=dL/L ，总变形程度：lnL/L 0.16、实际应变：真实应变e应该是瞬时伸长量除以瞬时长度de=dL/L 。17、颈缩：在拉伸应力下，材料可能发生的局部截面缩减的现象。18、形状硬化：由于缩颈，细颈处的横截面上已不再是均匀的单向拉应力，而处于不均匀的三向拉伸状态，在试件缩颈的自由表面上m ，而在试件内部m ，并且越接近中心z 越大，即形状变化而产生应力升高现象称为形状硬化。19、初始屈服轨迹：强化材料的屈服条件和强化面应

10、力在数值上应该相等。推广到复杂应力状态情况，认为强化面在应力空间中的中心位置和形状都不变，随着强化程度的增加，强化面作形状相似的扩大。反映在兀 平面上的后继屈服轨迹是一系列以原点为中心的相似对称封闭曲线，这一系列的曲线互不相交。例如，材料初始屈服时，若服从屈雷斯加屈服条件，则在 兀平面上的后继屈服轨迹是一系列同中心的正六边形，而服从密席斯屈服条件时，则对应一系列的同心圆，20、后继屈服轨迹：硬化后，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都在变化）其轨迹或表面称为后继屈服表面或后续屈服轨迹。21、增量理论： 由于材料在进入塑性状态时的非线性性质和塑性变形的不可恢复的特点，因此须研究应力增量和应变增量之

11、间的关系。22、全量理论：塑性力学中用全量应力和全量应变表述弹塑性材本构关系的理论。23、比例加载：应力分量比例增加，各应力分量按同一比例增加，中途不能卸载。24）单向拉伸时的塑性失稳：单向拉伸时，出现缩颈后，外载下降，塑性变形还继续进行，显然，极限强度（抗拉强度） 。所对应的点就是塑性失稳点。现通过单向拉伸时的真实应力一应变曲线来研究塑性失稳时的特点。2-2 下列各种提法，相互之间完全等同的，还是有区别的？各用于何种情况下？试举例说明。 理想弹塑性 刚塑性 =0.5 忽略体积变化 忽略弹性变形答：=；=理想弹塑性用于普郎特-路易斯（Prandel-Reuss） 增量理论方程。刚塑性， =0.

12、5用于列维-密席斯（Levy-Mises ）增量理论方程。2-4 已知平面应变、 单向应力时， 中间应力影响系数都为常数， 它们分别是=1.155 、=1 ， 试分析平面应力时是 否为常数？不为常数。答：平面应力时EDAB(T(T(J(Ts2s-5试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为:证明一：用几何的方法:若变形体内一点的主应力为，则此点的应力状态可用主应力坐标空间的一点P来表示：p(1， 2， 3)2.fl m n.h3or =oP； + PM + MP =决 + 匕 引等倾线ONoN Z + 42nl + 仃3 也=；(仃1 +仃2 + 仃 3) V 3uuur2 PN1()2(1 2

13、3)3ON表示应力球张量，NP表示应力偏张量3K2)2(23)2 ( 3 Ji证明二:1+12+ 3+ +2 -123 _ .213+ +2 -123 _ 乙 312原式左边=,3( 1+ 22+ 3 23( 2 1- 2- 3)2+( 2 2- 1- 3)2 +( 2 3- 1 2)223333( 1- 2+1- 3)2+(2- 1+2- 3)2+( 3- 1 +3-2 ) 22333(1- 2)2+2( 1- 2)( 1- 3)+ ( 1- 3)2 /93 ( 2- 1)2+2 ( 2- 1)( 2- 3)+ ( 2- 3)2,- +29(3- 1)2+2 ( 3- 1)( 3- 2)+

14、( 3- 2)292( 1- 2)2+2( 2- 3)2 2( 3- 1)2 +9(1- 2)( 1- 3)+ (92 1 )( 2- 3) +(2- 1 )( 2- 3 )+ ( 3-1)(3- 2)(3-/(3- 2 )+( 1- 2)( 1 - 3)3 ( 3-1)3 3( 1- 2)2+3( 2- 3)2,29原式得证。628kN时，试样屈服，现设在圆柱体2-6 一直径为50mm的圆柱形试样，在无摩擦的光滑平板间锻粗，当总压力达到 圆周方向上加10MPa的压力，试求试样屈服时所需的总压力。解：无摩擦的光滑平板间徽粗，试样屈服，即1- 3= s;(两屈服准则重和)r 1= 2=0由于:6

15、28kN3.14*(25*10 3)2 m2320MPa则：s= 1- 3=- 3 320MPa s1- 3 = s ：圆柱体圆周方向上加 10MPa的压力，试样屈服，即1= 2=-10MPa10 320 -330MPa2-7有一薄壁管，平均直径为80mm,壁厚为4mm,承受内压p ,材料的屈服应力为 300MPa ,现管壁上的径向应力r 0,试用两个屈服准则分别求出下列情况下管子屈服时的p：(1)管子两端自由;(2)管子两端封闭；(3)管子两端加62.8kN的压力。解：（1）由于:prz 0, r1、2、3带入密席斯屈服，得:1 2)2I2-3)211 3)23带入屈雷斯加屈服准则，得:(2

16、)由于:2、3带入密席斯屈服准则，得:2K1、3带入屈雷斯加屈服准则，得:由于:当:z唱 62-5>°z2;2、3带入密席斯屈服准则，得:得：P得:st 30MPa3）30MPaPr tpr2t2)2得:得:(13)2 s34.5MPast30MPa匹 62.5MPa 2t2(12)2(23)2(1Mls1、3带入屈雷斯加屈服准则，得:得:2 st34.5MPa得:p 工 30MPa r当:z=5 62.5<0;r 2 0；以 62.5 2t1、2、3带入密席斯屈服准则，得:K 12)2(23)2(21 J s1、3带入屈雷斯加屈服准则，得:一 2、62.5 )37.53

17、3MPapr pr得：tP62.5= s2t(s+62.5) t36.25MPa2-8试分别用屈雷斯加屈服准则和密席斯屈服准则判断下列应力状态是否存在？如果存在,压力使材料处于弹性状态还是处于塑性状态（材料为理想塑性材料）a)e)12)2(23)2(1 Mlb)0.5-0.6a)-0.5f)-1.5-5 sij =00j= 0.451.21、-5c)0.45,材料处于塑性状态。-4ij =000.10 d)0入密席斯屈服准将1、3带入屈雷斯加屈服准则，得:13 s,材料处于塑性状态。b)-5 s 00ij=0-5 s 000-4 s1、2、3带入密席斯屈服准则12)2(23)2(13)2,材料

18、处于塑性状态。1、3带入屈雷斯加屈服准则，得:3 s,材料处于塑性状态。c)1.2 s 00ij=00.1 s 01、2、3带入密席斯屈服准则12)222(23)(13)、1.33,由于材料为理想塑性材料,该应力状态不存在。3带入屈雷斯加屈服准则,得:3 1.2 s s,由于材料为理想塑性材料,该应力状态不存在。d)0.5 s 00ij =00000-0.61、2、3带入密席斯屈服准则，12)222(23)2(13)1,0.9?1s ,材料处于弹性状态。1、3带入屈雷斯加屈服准则,得:3 1.1 s s,由于材料为理想塑性材料,该应力状态不存在。e)sij =00-0.5 s1、2、3带入密席

19、斯屈服准则，0-1.5 ss ,材料处于弹性状态。3带入屈雷斯加屈服准则，得:s,材料处于塑性状态。f)00.45 sij= 0.45 s00.45s 00-0.45 s 0 ,将2、003带入密席斯屈服准则，得:12)2(23)2 ( 13)2 J0.6075 ss ,材料处于弹性状态。1、3带入屈雷斯加屈服准则，得:3 0.9 s s,材料处于弹性状态。2-9答：塑性变形时，应力应变不是单值关系，一种应力状态，可以对应多种应变，应力与应变之间必须根据加载历史来得到。2-10答：不等于，只有在加载且应力与应变增量同轴的情况下积分才成立。2-11答：1、简单加载，各应力分量按同一比例增加2、应

20、力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发;3、应力主轴与应变主轴重合；4、变形体不可压缩。同轴的应变才能相加。2-12边长为200mm的立方块金属，在 z方向作用有200MPa的压应力。为了阻止立方体在X、Y方向的膨胀量不大于0.05mm ,则在解：X、Y方向应加多大压力（设E=207X10MPa,(=0.3)。x V( yz) =y V( zx)207*1031x 0.3( y 200)0.05207*103y 0.3( x200)2000.05200-11.78MPa-11.78MPaPx-11.78MPa*0.2*0.2m 2 47142.8KNPy-11.78MPa*0.2*0

21、.2m 2 47142.8KN2-13有一金属块,在x方向作用有150MPa的压应力，在y方向作用有150MPa的压应力，在z方向作用有200MPa的压应力，试求此时金属块的单位体积变化率（设解：E=207X10MPa,尸0.3)。-150MPa-150MPax+ y + z500MPa-200MPa见 P.51V0=dxdydz;rx dxxdxxrydx(1x)dx(1 y)rzdx(1 z)V二rxryrz dx(1x)dx(1y)dx(1单位体积变化率V0xV。因此：个 x y z=3 m 3*z) (1 x y z)dxdydzy z,1 21 2?0.3 500m=-3*MPa=-

22、9.66*10Em 207?103 32-14 设处于塑性变形状态的四个质点其主应力分别为(2 , 0) ; (2) ( , 0,-);（0 ,0，-）p的关系表达式。解：有增量理论：(4)(,0 ,-2 )。试分别取信应变增量p3与等效应变增量(20)3p1 =其余略。2-15已知塑性状态下某质点的应力张量为:-150050-150050-350,应变分量0.1，试求应变增量的其余分量。解：650由增量理论:150650200150350650x丁200xyxyyzxz650d3 = 400x 0.1z 1.5*100.10.2xyxyyzyzzx=dzx0.0075zx dzx2-21已知

23、直径为200mm壁厚为4mm勺两端封闭的薄壁筒承受着p=8MPa的内压作用，从而产生塑性变形，如果材料的实际应力-应变曲线为一 5000.4kg/mm2,试求此时的直径变化量。prt解：由于:pr2r所以:prpr2Kprt2t100 82 40)pr2r100MPa12)2(2223)( 31)3pr 3 100 82t100.3MPa由应力-应变曲线:500-0.4W5.100JO5(Lm J500由全量理论:所以:=lnDo2 100,33D°e 2D Do(100)亳212.6mm12.6mm4-10在平估上徽粗长矩形截面的钢坯 应力法推导单位流动应力p的表达式。，宽带为a、

24、高度为h、长度l>>a,若接触面上摩擦条件符合库伦定律，试用主h、宽度为dx的基元体解：（1）、切取基元体。切取包括接触面在内的高度为坯料瞬时高度(2)沿x抽方向的平衡微分方程:化简后得:d xdx确定摩擦条件:(4)、确定 xz的关系:采用近似的屈服准则，得:(5)代入平衡微分方程得:积分上式得(6)、由边界条件定C:xhlx d x hl采用摩擦系数条件:2 ldxzdxInce2,3由边界条件知马s)代入可得边界常数 .3(或：C2.3bseh )b 2 x(7)、将(3), (4), (5)带入平衡微分方程，即得:se h4-11徽粗一圆柱体，侧面作用有均布压应力0 ,如图

25、4-22所示。设摩擦切应力满足常摩擦条件，试用主应力法推导单位流动应力p。解：1、切取基元体（1分)er | e)y(T p-F . (Tcr | e)2、列平衡方程（沿P向）dd h 2 sin d2h 2 d d 0整理并略去高次项得(1)d ，而切向应变是9两者相等，根据应力应变关系理论必然有(2)将（2）带入（1）可得(3)4、带入边界摩擦条件边界上s带入(3)式可得3、找（T p与（T 0的关系可以从e0与e 9的关系再利用应力应变关系式判别出。对于实心圆柱体徽粗，径向应变0, z 0 ,根据应力应变顺序对应规律（考虑到符号）可知z ,此时的屈服准则 maxmins略去摩擦力，即视(

26、4)5、引入塑性屈服条件,此时Mises屈服准则和Tresca准则是一致的。由应变状态可见,z为主应力，将有(6)6、将联立求解（7）带入（4）得2sdh(8)积分上式，相应得2z -7、计算（h10）式的定积分常数d时2(10)带入屈服准则（6）式s+ 0,再带入（10）式得(12)8、求接触面上压力分布公式 （12）带入（10）得(13)例：如附图所示的滑移线场,求：x y1） C点的、和值；线为直线,线为同心圆弧线已知pc=-90MPa, k=60MPa,试2） E点的解：1） C点:cm值;xycxcycxy-90K=60MPaksin2ksin 2-90-9060sin(60sin(kcos260cos( 2*一) 042） E 点:由于B点:2* -)42* 一)4所以：-30MPa-150MPaBm-90 K=60MPaBm 2k B Em2k(一一)2 4 612-90+2*60(尸4Em2*60() 12Em-90+2*60(-)+2*60( 4)=-90-120* =-152.8MPa12Exm ksin 2-152.860sin(2*一)-122.8MPa 12Eym ksin 2-152.860sin(2*