数列专题复习及答案

1、精品文档精品文档数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知an=一一（nwN"）,则数列Ln的最大项是n2156一12、在等差数列an中，右a4+a6+ao+a2=90,则a10-a14=33、已知等比数列an,若a1=1,a5=4,则a3的值为一一一.一1一4、数列an中，a3=2,a5=1,则数列是等差数列，则&=an15、在数列an和bn中，bn是an与an中的等差中项，a1=2且对任意nWN,都有3an+an=0,则数列bn的通项公式为6、设等差数列an的公差d不为0,a1=9d,ak是a1与a2k的等比中项，则k=7、等差数列an的前n项和为&,若

2、S4之10,S5E15，则a4的最大值为8、正数数列an中，已知ai=2,且对任意的s,twN*,都有as+at=a$+成立，则111IIIaa2a2a3anan19、等差数列an的前n项和为Sn,且a4a2=8,23+25=26,记Tn=Sn,如果存在正n整数M,使得对一切正整数n,Tn<M都成立.则M的最小值是10、已知无穷等比数列an中，各项的和为S,且理3（4+a2+|+an）-S=4,则实数a1的范围11、设正数数列%的前n项和为Sn,且存在正数t,使得对于所有自然数n,有at4.Snan2n4(1 - n - 2)a一成立，若limpet,则实数t的取值范围为12、数列 an

3、的通项公式为an1，则limSn(1)n(n-3,nN)n区,313、已知数列an的通项公式为an=2n,+1,则aQ；+a?cn+a3c2川+an书Cn=12an（0三an<-）公一一2614、数列an满足an=«，右a1=一，则a2007的值为2an-1（an：二1）7215、在数列an中，如果对任意nWN”都有an七_an+=k（k为常数）,则称an为等anI-an差比数列，k称为公差比.现给出下列命题：等差比数列的公差比一定不为0;等差数列一定是等差比数列；若an=-3n+2,则数列an是等差比数列;若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比其中正确的命题的序号为二、选

4、择题16、等差数列an的公差为d,前n项的和为Sn,当首项ai和d变化时a?+ag+aii是个定值，则下列各数中也为定值的是（）A.S7B. S8C.S13D. Si517、在等差数列an中，ai>0,5a5=17a10,则数列为前n项和Sn取最大值时,的值为（）A.12B.11C.10D.918、设an为等差数列，若a1c-1,且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n=a10（）A.11B.17C.19D.2019、等差数列an的前n项和为Sn,且SsC&,SjMGAG，则下列结论中错误的是（）A.d:二0B.a7=0C.S9AS5D.S6和S7均为&的

5、最大值._,、一-.*20、已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为ai、bi,且ai+bi=5,ai,biwN.设*_一一一Cn=abn（nwN）,则数列品的前10项和等于（）A.55B.70C.85D.100TTT21、已知等差数列an的前n项和为Sn,若OB=aOA+a20°OC,且A,B,C三点共线（该直线不过原点O）,则S200=（）A.100B.101C.200D.201A7n4522、已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且口=,则使Bnn3得an-为整数的正整数n的个数是（）bnA.2B.3C.4D.5三、解答题23、设数列an的前n项和

6、为Sn,已知ai=a,2口由=&+3'n£N*.（1）设bn=Sn3n,求bn的通项公式；/-、-4-4-*.»_一(2)右an书之an,nwN，求a的取值范围.24、数列匕0满足ai=a,a?=-a(aa0),且斗从第二项起是公差为6的等差数歹U,Sn是an的前n项和.(1)当n至2时，用a与n表示an与Sn；(2)若在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围；25、数列an中，ai=1,点(n,2an书an)在直线y=x上，其中n=N*；2(1)设bn=an书-an-1,求证:数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项;(3)设Sn、T

7、n分别为数列为、0的前n项和，是否存在实数儿，使得数列【SJ2TLl为等差数列？若存在试求出)若不存在，则说明理由。n26、已知数列an的前n项和为Sn,p为非零常数，满足条件:=1；Sn=4an+Snpan（n之2）;limSnnj二二(1)求证：数列an是等比数列;(2)求an的通项公式；(3)若Cn=tnn(lg3+lgt)+lgan+(t>0),且数列Cn中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围.27、已知数列4满足4+9+与+|+电=6门9,":>0)(n之1,nWN)。rrr求数列an的通项公式；3若bn=(3n+2)an,且r=,求bn的最大值；4nT

8、2n右cn=an|sin|(n之1,nwN),记Tn=c+c2+q+品，求lim2'nF.i28、在xOy平面上有一系列点P(Xi，Yi)，耳(X2,y2),|,Pn(Xn,yn)411，对每个自然数n，点R位于函数y=X2(X±0)的图象上.以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆P中又彼此外切.若X1=1,且Xn1；XnAN.-gZin-(1)求证：数列是等差数列；Xn1111(2)记Sn为数列一卜的刖n项和，试判断万程：sin+sin+1=Sn是否有解？Xn|XnXnXn说明理由。1一，(3)设4=(1)1,数列0的前n项和为求Sn。XnXn.11129、函数f

9、(X)是这样定义的：对于实数x,如果存在整数m,使得X-m<-,那么就有f(x)=m。(1)求函数f(x)的定义域D,并画出它在xwDp3,3上的图象；已知数列an=2+10必i,求f(a)+f(a2)+f(a3)+|+f(an);5(3)已知等比数列an的首项是a1=1,公比为q,又f(a)+f(a2)+f(a3)=4,求公比的取值范围。数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知an=2n(nNN*)，则数列Gn)的最大项是n21562512、在等差数列an中，右a4+a6+a0+a2=90,则a一a4=1533、已知等比数列GJ,若a=1,a5=4,则a3的值为_214、数

10、列an中，a3=2,a5=1,则数列是等差数列，则a1=0an1一5、在数列an和bn中，bn是an与an中的等差中项，a1=2且对任意MN*都有1n3aan=0,则数列bn的通项公式为bn=4()3_6、设等差数列an的公差d不为0,a1=9d,ak是a1与a2k的等比中项，则k=j47、等差数列an的前n项和为Sn,若S4之10,S5W15，则a的最大值为8、正数数列an中，已知ai=2,且对任意的s,twN*,都有as+at=as*成立，则111nIII=77-aa2a2a3anan14n1)9、等差数列an的前n项和为Sn,且a,a?=8,a3+a§=26,记Tn=Sn,如果

11、存在正n整数M,使得对一切正整数n,TnMM都成立.则M的最小值是210、已知无穷等比数列an中，各项的和为S,且理3(a+a2+|l+an)-S=4,则实数a1的范围(0,2)U(2,4)11、设正数数列an的前n项和为Sn,且存在正数t,使得对于所有自然数n,有耳二包上！成立，若|防叵如2n '二 an则实数t的取值范围为(近，口)212、数列 an的通项公式为an2 2n121Nn(1< n <2),则 lim Sn =(n _3,n N ) n551813、已知数列an的通项公式为 an=2n+1,则 aQ； + azCn 4a3c2| 十an书Cn = 2n +3

12、nc，1、2an(0 一 an ：: 2)6314、数列an满足an噂 二彳，右a1二一，则a2007的值为 一1772an -1 (二-an：1)215、在数列an中，如果对任意nw N冲都有an七一an由二k(k为常数),则称an为等an 1 an差比数列，k称为公差比.现给出下列命题：等差比数列的公差比一定不为0 ；等差数列一定是等差比数列；若an = Tn +2,则数列an是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比其中正确的命题的序号为(1) (3) (4)选择题精品文档16、等差数列%的公差为d,前n项的和为Sn,当首项ai和d变化时a?+ag+aii是个定值，则下列各

13、数中也为定值的是(C)A. S7B. S8C.S13D. S1517、在等差数列an中,a1 >0,5 a5 =17a10,则数列an前n项和Sn取最大值时，n的值为(A)A.12B.11C.10D.918、设an为等差数列，若a<-1,且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n=a10(D)A.11B.17C.19D.2019、等差数列an的前n项和为Sn,且S5<0,S6=S7AS8，则下列结论中错误的是(C)A.d：二0B.a7=0C.S9AS5D.S6和S7均为&的最大值._.*20、已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为4、且a

14、十“=5,a，b1wN.设_.*._.一Cn=abn(nuN),则数列Cn的前10项和等于(C)A.55B.70C.85D.10021、已知等差数列an的前n项和为Sn,若OB=a,OA+a2000c,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=(A)A.100B.101C.200D.201A7n4522、已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且“=,则使Bnn3得an为整数的正整数n的个数是(D)bnA.2B.3C.4D.5三、解答题23、设数列Qn的前n项和为Sn,已知a1=a,an=Sn+3n,nN*.(1)设bn=Sn3n,求红的通项公式；,_、_*.(2)右

15、an由之an,n=N，求a的取值范围.解：(1)依题意，Sn+Sn=an+=Sn+3n，即Sn由=2Sn+3n,由此得&十3n*=2(&-3n).因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2nJL,nN*.(2)由知Sn=3n+(a3)2n”,nN*,于是，当n占2时，an=Sn-Snl=3n+(a3)M2n43n'(a3)M2n,精品文档精品文档n1n_2=2父3+(a3)2,an4-an=4x3n-+(a-3)2n-=2n/)l2U3：+a-31,-J当n之2时，精品文档a-3_0an1-an：=12a>-5.又a2=a1+3>a1.综上，所求的a

16、的取值范围是-5,十比).24、数列an满足a=a,a?=-a(aa0),且an从第二项起是公差为6的等差数歹U,Sn是an的前n项和.(1)当n之2时，用a与n表示an与Sn；(2)若在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围;解：(1)由已知，当n±2时，an=q+6(n2),即an=6n(a+12)一一(n-1)(n-2)Sn=a1a2Ian=a(n-1)(-a)62_2一-一=3n-(a9)n2a6.Sn=3n2-(a9)n2a6(nN)(2)解法一：由已知，当n之2时，n是等差数列，公差为6,数列Ln递增.什a6三0若S6是Sn的最小值，则,a7 >

17、0什a M 0若S7是Sn的最小值，则a8之024-a <0即，得24 E a E 3030-a >030 - a < 0 即,，得30 E a £ 36136 a 之 0.当S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值时，a的取值范围是24,36(2)解法二：;在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值，a95.5-7.56解得24WaW36,从而a的取值范围是24,36.25、数列an中，a1=2,点(n,2an由一an)在直线y=x上，其中neN*；(1)设bn=an书-an-1,求证：数列bn是等比数列;(2)求数列馆的通项;(3)设Sn、Tn分别为数列an、b

18、n的前n项和，是否存在实数儿，使得数列STfS5；为等差数列？若存在，试求出九；若不存在，则说明理由。n1解：(1)由已知得：a1=,2an=an+n,2-3.31.3,a2二一，a2-a11二一一一一1二一一，4424又bn=an1an-1,bn1=an2an1-1,an1(n1)annan1-an/一一1an 1 - an - 1bnan1-an-1解法二：存在九=2,使数列SJ匹是等差数列.，bn是以3为首项,41 ，一，一1为公比的等比数列.2(2)由(1)知，bn =1 nl(2)31M 2 21a a 1 = 一an 1an12 2na2 - a1-131a3 -a2 -1 = 2

19、，2 2将以上各式相加得：3- an-anJ-1- 2 2an-a1 -(n -1)=-(-2 2122an-I13(n-1)-(1-22(3)解法一：存在九=2,使数列S +.订 一S Tn是等差数列.1=a1a2- an =3(/21-221、，八、八，)(1 2 n) - 2n=3112(1 一。, n(n 1)14-'2n二 3(12n224n -3n 3 n -3n 十=-T 2n3.Tn = bb2n-4(12n14-1。-数列Sn + “Tn是等差数列的充要条件是S Tn=An + B,(A、B 是常数)即 Sn . 'Tn=An2 Bn,3 n2 -3n -T2

20、n 23(-3 三)22n 1，n2 -3n1 3(1-2)(1?)1 - =0 ,即九=2时，数列& 为等差数列.n由(1)、(2)知，an+2bn=n-2,-,Sn+2T=n(n+1)_2n2Sn-Tnnn(n 1)22n - 2TnTnTn又 Tn =n b2bn31一4(1一尸1-131= (1)22nSn Tn n -3 -2 =+233(-2 2n 1.当且仅当九=2时，数列Sn+“n是等差数列.n满足条件: lim Snn26、已知数列an的前n项和为Sn,p为非零常数,=1；Sn=4*Snpan1(n-2)；(1)(2)求证：数列an是等比数列；求an的通项公式；(3)

21、若Cn=tnn（lg3+lgt）+lgan+（t>0）,且数列cn中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围.anp斛：(1)Sn=4an+Snpan(n之2)=SnSn=4anpan_1=一=二(n之2)an.13二%为等比数列，公比为（2）:'an为等比数列,lim.Snns=e=2=p=anw厂3(3) Cn =ntnlgt, '；Cn当t =1时，不满足。<Cn+(nWN*)恒成立=nlgt<(n+1)tlgt(neN*)恒成立,，.八1当t>1时，lgt>0,t>1当0<t<1时，lgt<0,二t<11一

22、综合信：t（o,一）U（1,.二）227、已知数列an满足a1.也.也r求数列an的通项公式;a+llllll+Yl=6n-9,(rA0)(n>1,n=N)or若bn=(3n+2)an,且r,求bn的最大值;4若cn=an|sin|(n之1,nwN),记Tn=c1+c2+c3+cn,求limnT2n解：（1）an-36rnl-15(n=1)(n-2)(n=1)bn6(3n2)(|)nl(n-2),一、bn _bn i设bn (n之2)最大，则< u bn - bn 129779,-n-(nN)=n=3=(bnMx)b3二33ad0（n为奇数）（n为偶数）当r=1时，T2n当r#1时

23、，T2n=-36(n-1)=6n9,T2n1=6n3=lim卫=1nF.1c-c6(r2-r2n)=-3a3a5，a2ni=-3*21-rT2n1=一3,a3,a51M,a2n1'a2n136(r2-r2n2)1-r2T2nT2n1-39r2-6r2n-39r2-6r2n2当0<r<1时，lim上-=1n"T2n1-39rt-39r2-6r2n当r>1时，lim'=lim39：62而nFn1nE=-39r-6r2n二lim-n:-39r2一-62nr2-6r212r综合得：lim工n-n“T2n11(0<r<1)1”(r1)28、在xOy

24、平面上有一系列点P（X1，Y1）,F2（X2，Y2）,|,Pn（Xn，Yn”|l,对每个自然数n，点Pn位于函数y=x2（x0）的图象上，以点Pn为圆心的圆R与X轴都相切，且圆Pn与圆Pn书又彼此外切，若x1=1，且xn书xn（nwN）.一1口(1)求证：数列一卜是等差数列；xn12111(2)记Sn为数列/一的刖n项和，试判断万程：sin一十sin+1=Sn是否有解?Ixn.1xnxnxn(3)说明理由。解：(1)由已知设圆Pn:(xxn)2+(yx2)2=x2,(xnA0)Pn1：(x-xn1)2(y-x21)2=x：1,函1.0),、2,22、2,22、211(xn-xn1)(xn-xn

25、1)=他口xn1)=*n-*n1=2*口*口1一一一二2(nN)xn1xn1,二数列一卜是等差数列xn19(2),一=1+2(n-1)=2n-1=Sn=n2xnsin2-xn11-22sin1=Sn=sin(2n-1)(2n-1)sin(2n-1)1=nxnxn当n=1时,sin21sinl1=12=sin21sinl=0,；sin102),/-sin1+sin1#0,，1、,x=-(n-)<-1,2sin2(2n-1)(2n-1)sin(2n-1)132n,2n1=n2,1,2=n=22-3-21sin33sin33=0=sin3=-0.141122,211.1,-.sin十sin一+1=Sn无解。xnxnxn29、函数f(x)是这