§14.1.1　直角三角形的三边关系(第1课时)

1、.1直角三角形的三边关系 第1课时探究直角三角形的三边关系课前知识管理1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：假如直角三角形的两直角边分别是，斜边是，那么.图形说明：如图，正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个单位面积.由此得出正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积.即假设正方形A的边长为那么其面积为，正方形B的边长为，其面积为，正方形C的边长为，其面积为，由此可推出：.说明：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所

2、以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三边之间的数理关系，是直角三角形的一个重要性质，运用勾股定理进展计算时，一要注意勾股定理的适用条件，二要注意公式的灵敏变形.适用条件：勾股定理适用的前提条件是 三角形；公式变形：根据公式可知，在直角三角形中，任意两条边长，可求出第三条边的长.在计算时要会灵敏变形，还常常与平方差公式和完全平方公式结合使用，比方：，.本卷须知：运用勾股定理求边长，要分清斜边和直角边，假设没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解.名师导学互动典例精析：知识点1：直接运用勾股定理例1、在ABC中，C=90，1假设a=8，b=6，那么c=

3、_；2假设 c=20，b=12，那么a=_；3假设ab=34，c=10，那么a=_，b=_.【解题思路】在ABC中，C=90，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一.【解】根据题意可得a2+b2=c2.1假设a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c0，所以c=10；2假设c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202122=20+122012=328=162，a0，所以a=16；3假设ab=34，可设a=3x，b=4x，所以3x2+4x2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2x

4、0，所以a=3x=6；b=4x=8.【方法归纳】综合上述解法可以发现，形即ABC为直角三角形与数a2+b2=c2的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.对应练习：在ABC中，C=90，1假设a=3，b=4，那么c=_；2假设a=6，c=10，那么b=_.知识点2：勾股定理的简单应用例2、智能机器猫从平面上的O点出发.按以下规律行走:由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到,由向西走36厘米到,由向南走48厘米到,由向东走60厘米到,由向北走72厘米到，问:智能机器猫到达点与O点的间隔 是多少厘米?【解题思路】如下图,当智能机器猫到达点时,相对O点,向东走了12-36+60=36厘米,

5、向北走了24-48+72=48厘米【解】因=362+482,即=60所以, 点到O点的间隔 为60厘米【方法归纳】应用勾股定理要注意两点：一是前提条件为直角三角形，非直角三角形的三边之间没有这样的关系；二是解题时要注意区分斜边与直角边，不可乱用.对应练习：如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，那么水管的长为 A 45cm B 40cm C 50cm D 56cm知识点3：利用勾股定理求线段和例3、直角三角形ABC中，CAB=90，AC=AB=，D为BC中点，E是AB上任意一点，且EFAD，EPBD，试确定EF+EP的值.【解

6、题思路】由EFAD，EPBD，联想到连结DE，从而将三角形ABD的面积分割为两部分，通过面积相等关系确定EF+EP的值.【解】连结ED，在直角三角形ABC中，CAB=90，AC=AB=，故有BC=；D为BC中点，所以AD=BD=.因，故有+=，EF+EP=.【方法归纳】将三角形面积巧妙的分割为假设干小三角形面积，从而求得相应线段之间的关系，这里表达出“割补的数学思想方法.对应练习：在RtABC中，斜边AB=2，那么= .知识点4：利用勾股定理求面积例4、如图，ABC中，B90，AB7，BC=24，P是A，C的平分线的交点，PDAB于D，PEBC于E，求.【解题思路】显然四边形BEPD是矩形，作

7、PFAC于F，连结PB，易证，所以四边形BEPD是正方形，它的边长可由三角形的面积求得.【解】设PD=PE=PF=m，得，即由勾股定理知，所以，故.【方法归纳】求不规那么四边形图形面积通常把四边形分割成三角形来求解.对应练习：如图，在四边形ABCD中，AB2，CD=1，A60，B=D=90，求四边形ABCD的面积.知识点5：利用勾股定理探究规律例5、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此作下去，有：1假设记正方形ABCD的边长a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，an，那么a2，a

8、3，a4的值各为多少？2根据以上规律写出an的表达式【解题思路】利用勾股定理求斜边的长，依次可求出a2，a3，a4，再比较它们的值，即可写出an【解】1因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC=1，B=90，所以在RtABC中，AC=， 同样可求得AE=2，HE=，即a2=，a3=2，a4=；2an=n为正整数【方法归纳】将图形与数字有机结合，擅长发现和总结规律，是解题的关键对应练习：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题2+1=2，S1=；2+1=3，S2=；2+1=4，S3=；1请用含nn是正整数的等式表示上述变化规律；2推算出OA10的长；3求S12+S22+S32+S102的值易错

9、警示例6、在RtABC中，a=3，b=4，求c错解：由勾股定理，得.错解分析：这里默认了C为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当ba时，B可以为直角，故此题解答遗漏了这一种情况正解：假设C为直角，那么有；假设B 为直角，那么有.例7、RtABC中，B=90，求.错解：由勾股定理，得错解分析：这里错在盲目地套用勾股定理“，殊不知，只有当C=90时，才成立，而当B=90时，勾股定理的表达式应为.正解：B=90，.课堂练习评测考点1：利用勾股定理比较线段大小1、如图，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式： A. B. C. D. 考点2：利用勾股定理计算线段长度2、如图是一张直角三角形的纸

10、片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么BE的长为 A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm3、如图，和都是边长为4的等边三角形，点、在同一条直线上，连接，那么的长为 A. B. C. D.4、如图，ABC中，C=90，AC=3，点P是边BC上的动点，那么AP长不可能是 A2.5 B3 C4 D5 5、，在ABC中，A= 45，AC= ，AB= +1，那么边BC的长为 考点3：利用勾股定理作线段6、如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格只用没有刻度的直尺在这个“田字格中最多可以作出长度为的线段_条.考点4：勾股定理的

11、简单应用7、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的间隔 是多少千米？课后作业练习一、填空题：1在ABC中，C=901a=24，b=32，那么c=_2c=17，b=15，那么ABC面积等于_3A=45，c=18，那么a2=_2直角三角形三边是连续偶数，那么这三角形的各边分别为_3ABC的周长为40cm，C=90，BC：AC=15：8，那么它的斜边长为_4直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，那么它的斜边上的高为_，两直角边分

12、别为_二、选择题5在RtABC中，其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为 A2 B4 C2 D6直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为 A6cm B5cm Ccm7如下图，ABC中，CDAB于D，假设AD=2BD，AC=5，BC=4，那么BD的长为 A B C1 D8如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，那么CN的长为 A B C D三、解答题9如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个面积是2的直角三角形；一个面积是2的正方形.10如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为81求底边BC的长；2SABC11在图中，

13、BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF的面积12如下图，为得到湖两岸A点和B点间的间隔 ，一个观测者在C点设桩，使ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间间隔 是多少？四、探究题13小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？14如下图，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合求：1折叠后DE的长； 2以折痕EF为边的正方形面积15、铁路上A、B两站视为直线上两点相距25 km，C、D两村庄视为两个点DAAB于A，CBA

14、B于B，DA15 km，CB10 km，如今要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的间隔 相等，那么E站应建在距A站多少千米处？16、某校把一块形状为直角三角形的废地开拓为生物园，如下图，ACB=90，AC=80米，BC=60米，假设线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？17、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形.1直接写出单位正三角形的高与面积.2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？3

15、求出图中线段AC的长可作辅助线.4求出图中四边形EFGH的面积.14.1.1对应练习答案：1.提示：1；2.答案：1c=5；2b=8.2.答案：B.3.答案：84.解：延长BC交AD的延长线于E，那么ABE和CDE均为直角三角形.因为A=60，所以E=30.又，CD=1，所以AE=2AB=4，CE=2CD=2，由勾股定理得，所以 .5.答案：12+1=n+1，Sn=；2OA10=课堂练习作业参考答案：1、答案：C 2、答案：B3、答案：D 4、答案：A 5、答案：26、答案：87、答案：10参考答案：一、114 260 3162 26 8 10 317cm 44.8 6和8 二、5D 6D 7

16、A 8B 三、9提示：面积是2的直角三角形，两条直角边分别是1和4，或2和2；面积是2的正方形边长是.答案：10答案：因为ADBC于D所以在RtABD中，由勾股定理可得AD2BD2AB2 ，即 BD21006436 所以BD6，所以BCBD212 等腰三角形，底边上的高平分底边即“三线合一，SABCBCAD12848平方单位.11169厘米2 1212米 四、13解：矩形相邻两边分别为am，bm，根据题意可得：，a+b2=a2+b2+2ab=196，即a+b=14，那么矩形周长为28米.14提示：设DE长为xcm，那么AE=9-xcm，BE=xcm，那么在RtABE中，A=90，x2-9-x2=32，故x+9-xx-9+x=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，连BD即BD与EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，以EF为边的正方形面积为144cm215、答案：如图，假设设AEx，那么BE25x因为DAAB于A，在RtADE中，由勾股定理得AD2AE2DE2，因为CBAB于B，所以在RtECB中 EB2BC2CE2，因为DECE 所以DE2CE2，所以AD2AE2EB2BC2