特征值与特征向量定义与计算

1、特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量， 称为A的特征多项式，记 ¦(l)=| lE-A|，是一个P上的关于 l 的n次多项式，E是单位矩阵。 ¦(l)=| lE-A|=ln+a1ln-1+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。 特征方程 ¦(l)=| lE-A|=0的根 (如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。 以A的特征值 l0代入 (lE-A)X=q ，得方程组

2、(l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。因为 |l0E-A|=0，(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0) ，X(0) 称为A的属于 l0的特征向量。所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。     一. 特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得： l0E-AX=q 即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根 是特征多项式 |l0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根 l1, l2, ln，为A的n个特征根。 当特征根 li (I=1,2,n)求出后，(liE-A)X=q 是齐次方

3、程，li均会使 |liE-A|=0，(liE-A)X=q 必存在非零解，且有无穷个解向量，(liE-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵 的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值 l1=l2=-2，有单特征值 l3=4 对于特征值 l1=l2=-2，解方程组 (-2E-A)x=q 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量) 分别令自由未知量 得基础解系 所以A的对应于特征值 l1=l2=-2的全部特征向量为 x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零) 可见，特征值 l=-2的特征向量空间是二

4、维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数£特征根的重数。 对于特征值 l3=4，方程组 (4E-A)x=q 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=2 得基础解系 所以A的对于特征值 l3=4 得全部特征向量为 x= k3 x3   例2.       求矩阵 的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A有单特征值 l1=1，有2重特征值 l2=l3=0 对于 l1=1，解方程组 (E-A) x = q 得同解方程组为 同解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 所以A的对应于特征值 l1=1的全部特征向量

5、为 x=k1x1 (k1¹0) 对于特征值 l2=l3=0，解方程组 (0E-A)=q 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 此处，二重根 l=0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。 所以A的对应于特征值 l2=l3=0 得全部特征向量为 x=k2x3   例3   矩阵 的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A的特征值为 l1=1, l2=i, l3=-i 对于特征值 l1=1，解方程组 (E-A)=q ，由 得通解为 令自由未知量 x1=1，得基础解系 x1=(1,0,

6、0)T，所以A的对应于特征值 l1=1得全部特征向量为 x=k1x1 对于特征值 l2=i，解方程组 (iE-A)=q 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 x2=(0,i,1)T，所以A对应于特征值l2=1的全部特征向量为 x=k2x2 (k2¹0)。 对于特征值 l3=-i，解方程组 (-E-A)x=q，由 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 x3=(0,-i,1)T，所以A的对应于 l3=-i的全部特征向量为 x=k3x3 。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。 特征向量只能属于一个特征值。而特征值 li的特征向量却有无穷多

7、个，他们都是齐次线性方程组 (liE-A)x=q 的非0解。其中，方程组(liE-A)x=q的基础解系就是属于特征值li的线性无关的特征向量。   性质1. n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1，l2，, ln(包括重根)，则    证第二个式子： 由伟达定理，l1l2ln=(-1)nan 又 |lE-A|=ln+a1ln -1+an-1l1+an 中用 l=0 代入二边，得： |-A|=an， 而 |A|=(-1)nan= l1l2ln，   性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向

8、量。 证： 可见 是A-1的一个特征根。 其中 l¹0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若li=0, |A|= l1l2ln=0，A奇异，与A可逆矛盾。   性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 lm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证：1) Ax=lx，二边左乘A，得：A2x=Alx=lAx=llx=l2x， 可见 l2 是 A2 的特征根； 2) 若 lm 是 Am 的一个特征根，Amx= lmx， 二边左乘A，得：Am+1x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1x， 得lm+1是Am+1的特征根 用归纳法证明了lm 是 Am 的一个特征根。   性质4. 设 l1，l2，, lm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于li 的特征向量( i=1,2,m)，则 x1,x2,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。 性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。 性质4可推广为：设 l1，l2，, lm为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,x1,k1