《植树问题》专题研究

1、植树问题专题研究在小学数学应用题中，有这么一类问题：以植树为内容，研究植树的棵树，棵与棵之间的距离，和需要植树的总长度等数量间关系的问题，称为植树问题。它也属于典型应用题之一，有它独特的解答方法。为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。与此同类的问题还有锯木头、爬楼梯、敲钟等。同样可以用植树问题的解法来解。1、 线状路径的植树问题： 在线状路径上等距离植树，是把总距离按株距的长短平均分，有这样的多少段（叫做段数），就可以确定值多少棵树。一般来说，涉及总距离，株距，段数和植树

2、的棵树等量。在线状路径上等距离植树可以分为一下几种情况：在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都植树。数量关系式是： 棵树=总长÷棵距+1； 即：棵数=段数+1.例1：在一条长80米的小路旁种松树，每隔16米种一棵，两端都种，共可以种树多少棵？分析：这是在一段不封闭的直线上种树，首先应当先求出80米中包含了多少个16米，再根据“两端都种”，（即首尾都种）求出“共可以种树多少棵？”解：80米中包含了多少段？ 80÷16=5（段） 共可以种树多少棵？ 5+1=6（棵） 答：共可以种树6棵. 例2： 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(

3、包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离.分析: 这是在一段不封闭的直线上电杆间隔问题，如同植树问题。首先应先求出公路全长为40×(121-1)，再根据其数量关系：根数=总长÷根距+1，变换为：根距=全长÷（根数-1），然后就可以求出两根相邻水泥杆之间的距离。 解 公路的全长为多少米？ 40×（121-1）=4800 两根相邻水泥杆之间的距离是多少米？ 4800÷（51-1）=96 答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米。练习：1、从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数？2、 甲村到乙村

4、,原计划栽树175棵,相邻两棵树距离8米,后决定改为栽树117棵,问相邻两树应相距多少米?在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。数量关系式是：棵树=总长÷棵距1； 即：段数-1例3：在相隔50米的两座楼房之间种桃树，每隔5米种一棵，共可以种树多少棵？分析：这是在一段不封闭的直线上种树，两端因为有楼，所以都不种。这样，共种树的棵树，应当比段数少1。即在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。 解：50米中包含了多少段？ 50÷5=10（段） 共可以种树多少棵？ 10-1=9（棵） 答：共可以种树9棵. 例4：下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多

5、少？十个这样的铁环连在一起有多长？ 分析：如上图所示。此题类似于两端都不植树的问题，关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据其数量关系知，五个连在一起的“环扣”数为5-14(个)，然后求出重叠部分的长，接着就可以求出五个铁环连在一起的长。同理，十个铁环连在一起的长度。 解：五个连在一起的“环扣”数是多少？ 5-14(个) 重叠部分的长为多少？ 6×（5-1）=24（毫米） 五个铁环连在一起的长是多少？ 4厘米=40毫米 40×5-24=176（毫米） 十个铁环连在一起的长度是多少？ 40×10-24=346（毫米）答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十

6、个铁环连在一起的长度为346毫米。练习：3、有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆？4、 一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆,每辆车长4米,前后两车相隔5米,问这列车队共长多少米?在封闭线路上植树。数量关系式是：棵树=总长÷棵距。 即：棵树=段数例5：人民公园环湖路长6900米，沿湖边每隔15米种一棵树，每3棵树之间安放一条长椅供游人休息。求共要种树多少棵？安放椅子多少条？分析：这是在封闭曲线上植树可直接用公式：“棵树=总长÷棵距”求解。而“每3棵树之间安放一条长椅”，正好是每隔一段棵距放一条椅子，椅子数正好是棵树的一半。解：共要种树多少

7、棵？ 6900÷15=460（棵） 安放椅子多少条？ 460÷2=230（条）答：共要种树460棵，安放椅子230条。 例6： 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵?分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,首先可以求出四周共可以种多少棵柳树，再求出相邻柳树间，每隔3米种杨树，每段可种杨树的棵树。最后可求出共种的杨树棵树。 解：四周可种多少棵柳树？ 2430÷9=270（棵） 相邻柳树间，每隔3米种杨树，每段可种杨树多少棵？ 9÷3-1=2（棵） 总共可种杨树多少棵？ 2

8、5;270=540（棵） 答:水库四周要种杨树540棵. 练习：5、公园的一个湖的周长是1800米,在这个湖的周围每隔20米种一棵柳树.然后在每两棵柳树之间每隔4米种一棵迎春花,需要柳树多少棵、迎春花多少棵? 6、明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少? 在方正形路上植树：如果每个顶点都要植树，数量关系式是：棵数=（每边棵数-1）×边数，由此可以推出在此种路径下等距离植树的数量关系为：棵树=边长÷棵距+1。 例7：一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后，每

9、条边上都有16棵树，求每棵树之间相距多少米？分析：沿正方形的四周种树，看似在封闭线路上植树。但由于四个角上都种上了树，是每边都种了16棵树，实际上是等同于在不封闭直线上种树，每边实际分成了（161）段。这样就可以用“边长÷（161）”求出棵距。当然，也可以用：“周长÷（16×44）” 求出棵距。解1： 1200÷4÷（161）=20(米)解2： 1200÷（16×44）=20(米) 答：每棵树之间相距20米。练习：7、有一个正方形池塘,在它四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都有5棵,问池塘四周共种树多少棵?2、 在面状区域

10、上的植树问题 在一个平面区域里等距离，等株距植树的问题，一般是先算出每一棵树所占的面积：行距×株距，就可以求出植树的棵树，其数量关系是：棵树=总面积÷（行距×株距）。 例8：长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米这个苹果园共种苹果树多少棵？ 分析： 这道题就是一个在平面区域里等行距、等株距植树的问题。根据题意，可以先算出长方形地的面积，再求出一共能种多少棵树。还有一种方法，先算出一行能种多少棵树，在算出能种苹果树多少行，最后这块地共种苹果树多少棵。 解法一： 一行能种多少棵？ 84÷2=42(棵) 这块地能种苹

11、果树多少行？ 54÷3=18(行) 这块地共种苹果树多少棵？ 42×18=756(棵) 如果株距、行距的方向互换，结果相同：(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵) 解法二： 这块地的面积是多少平方米？ 84×54=4536(平方米) 一棵苹果树占地多少平方米？ 2×3=6(平方米) 这块地能种苹果树多少棵？ 4536÷6=756(棵) 当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种方法。练习8、在一块

12、长方形地里种植，这块地长150米，宽120米，按行距3米，株距2.5米种植，如果成活率为96，这块地里成活多少棵树苗？3、 锯木头问题锯木头问题也属于植树问题，可得到：木头锯成的段数=锯的次数+1，由此可以得出其数量关系为：锯完所需时间=次数×每锯一次的时间；每段木头的长度=木头原来的总长÷段数。例9：一个木工锯一根长19米的木料，他先把一头损坏部分锯下1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条，每根短木条多少米？分析：这是植树问题的同类问题锯木头问题。这道题实际上是将一根长18米的木料锯了5次，锯成了6段，求每段木头的长度，可用总长÷锯的次数。解、实际上锯的总长度是

13、多少？ 19-1=18（米） 共锯成了多少段？ 5+1=6（米） 每段短木条的长度多少米？ 18÷6=3（米）答：每段短木条的长度3米.例10：有一个工人把12米的圆钢锯成3米长的小段，锯断一次要5分钟，共需要多少分钟？分析：这道题首先可以求出共锯了多少段，要锯多少次，然后再求需要多少分钟，根据锯完所需时间=次数×锯一次所需的时间。解、共锯了多少段？ 12÷3=4（段） 要锯多少次？ 4-1=3（次） 共需要多少分钟？ 3×5=15（分） 答：共需要15分钟。练习9、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？10、有2根木

14、料，打算把每根锯成3段，每段锯开一处需要3分钟，全部锯完需要几分钟？4、 敲钟问题敲钟问题是植树问题的应用，同样可以用植树问题的解法来解，可得到：敲钟次数=间隔数+1.由此也克得到其数量关系为：总时间÷间隔数=每个间隔数。其与“在不封闭直线上的植树”情况相似。例11：有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在要敲12下，那么，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多少秒？分析：这是植树问题的应用，可以看作是在不封闭直线上的“种树”。首先，需要求出两响之间的间隔；然后，再求需要的时间。（433）是“敲响第一下到

15、最后一下”的总时间，（61）是“敲响第一下到最后一下”的间隔数，总时间÷间隔数=每个间隔数（即两响之间的间隔）。然后，按照“在不封闭直线上的种树”的公式，求出一共需要多少秒？解：两响之间的间隔是多少秒？ （433）÷（61）=8（秒） 敲响12下，一共需要多少秒？ 8×（121）+3=91（秒）答：敲响12下，一共需要91秒。练习11、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12点钟敲12下，多少秒敲完？5、 爬楼梯问题爬楼梯问题也是植树问题的一个延伸。根据植树问题的解题方法可得到：间隔数=终点楼层-起点楼层。由此也可得出其数量关系为：所需时间=走每段楼梯所用的时间×段数。 例12：父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。 分析：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，可先算出儿子踏过的台阶数和父亲踏过的台阶数。由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，再算出共重复踏了的台阶数。最后求得父子俩共踏了台阶个数。 解：儿子