湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析6：导数与单调性的综合考查

1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析6:导数与单调性的综合考查一、小题共io题321. 函数f(x) x 3x 1是减函数的区间为()A(2,)E(,2)C(,0)D(0,2)2. 在函数y x3 8x的图象上，其切线的倾斜角小于 一的点中，坐标为整数的点的个数4A. 3 B. 2 C. 1 D. 03. 对于R上可导的任意函数fx，假设满足x 1f (x) 0，那么必有A.f 0+ f 2 2f 1B. f 0+ f 2 2f 1C. f 0+ f 2 2f 1D. f 0+ f 2 2f 14. 设a 0, f(x) ax2 bx c,曲线y f (x)在点P x0,f(x)处切处的倾斜角

2、的取值范围为, 4，那么P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围 A 0, L B . 0, C . 0,| 吕 | D . 0,1 b 1 |a2a2a2a25与直线2x y 40的平行的抛物线y x的切线方程是A. 2x y 30 B. 2x y 30 C . 2x y 10 D . 2x y 106. 设f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函 数和偶 函数，g(x) 0,当x 0时，f (x)g(x) f(x)g (x) 0,且 f( 3) 0,那么不等式 f(x)/g(x) 0 的解集是 A . ( 3,0)(3,) B . ( 3,0)(0,3)C . (, 3)(3,) D .

3、 (, 3)(0,3)7. 函数f(x)=x(x 1)(x 2) (x 100)在x 0处的导数值为A.0B.100C.200.100 !&过点一1, 0作抛物线y x2x 1的切线，那么其中一条切线为A2xy 2 0B 3xy 30Cx y 10D x y 10小题答案：题号12345678答案DDBBDDDD9 .设函数f (x) (x a)(x b)(x c) , a、b、c 是两两不等的常数，那么.0f (a) f (b) f (c)1 210.解析：曲线y 和y x在它们的交点坐标是(1, 1),两条切线方程分别是y= x+2x3和y=2x 1，它们与x轴所围成的三角形的面积是3 .

4、4二解答题1: y=x2+2x和C： y= x2+a，如果直线I同时是C1和C2的切线，称I是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段Ia取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；n假设C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分解：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，总分值12分,2I解：函数y=x2+2x的导数y =2x+2,曲线C1在点P X1,X1 +2x1的切线方程是：2 2y (x1+2x1)=(2x 1+2)(x X1),即 y=(2x 1+2)x x1函数y= x2+a的导数y = 2x,曲线C2在点

5、Q x2, x 2 +a的切线方程是即 y ( x 2 +a)= 2x2(x X2).y= 2x2x+x 2 +a .x1 1x2如果直线I是过P和Q的公切线，那么式和式都是I的方程，x12 x22 a2消去 X2得方程 2X1 +2x2+1+a=0.11假设判别式 =4 4X 2 1+a=0时，即a=时解得X1 = ,此时点P与Q重合.2 211即当a=时C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为y=x -.241n证明：由I可知 .当a0 ,取足够小的负数时有f (x) 0 ,所以曲线y = f (x)与x轴至少有一个交点结合f (x)的单调性可知:5当f (x)的极大值27a 0即a

6、(1, +8)上。(1, +s)时，它的极大值也大于0,因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(上。.当 a (3舟)U (1,+)时，曲线 y= f (x)与x轴仅有一个交点。6.湖南卷设t 0,点P t ,0是函数f (x)ax与g(x) bx2 c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.;I用 t 表示 a, b, c;n假设函数 y f (x) g (x)在1, 3上单调递减，求t的取值范围.解：I丨因为函数f(x)，g(x)的图象都过点t，0，所以f(t) 0，即 t3 at0.因为 t0,所以 a t2. g(t) 0,即 btc 0,所以cab.又因为f (x

7、)， g(x)在点t，0处有相同的切线，所以f (t) g (t).而 f (x) 3x2 a, g (x) 2bx,所以3t2 a 2bt.t2代入上式得b t.因此c abt3.故all解法y f (x)g (x) x312x tx2 t3, y 3x2t2, b t ,2tx t2t3.(3x t)(xt) 0时，函数yf (x) g(x)单调递减0，假设t假设t 0,那么t意，函数y f(x) g(x)在一1 ,(3xt)(xt).调递减，(1,3)t(t, 3).所以t3.又当9 t 3时，函数y f (x)g(x)在1，3上单调递减.所以t的取值范围为(，93,).解法二：y f

8、(x) g(x) x3 t2xtx2t3, y3x2 2txt2(3x t)(x t)因为函数yf(x)g(x)在一1, 3上单调递减，且 y(3x t)(x t)是一1,上的抛物线,所以y |x 1y |x 30,0.即(3t)(9 t)(31 t)t) 0.0.解得t9或 t3.所以t的取值范围为(，93,).327安徽卷设函数f x x bx cx(x R)，g(x) f (x) f (x)是奇函数。I求b、c的值。n求g(x)的单调区间与极值。解析:I f x3 xbx2 cx,2 f x 3x 2bx c。从而g(x)f(x) f(x)3.2x bx2cx (3x 2bx c)=x3

9、 (b3)x2(c 2b)xc是-一个奇函数,所以 g(0)0得c 0,由奇函数定义得b 3 ；n由I知 g(x) x3 6x，从而 g (x) 3x2 6，由此可知，(，2)和(.2,)是函数g(x)是单调递增区间；( 2. 2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在x、2时，取得极大值，极大值为4、2 , g(x)在x , 2时，取得极小值，极小值为 4.2。328 .北京卷函数f (x) ax bx cx在点沧处取得极大值5，其导函数y f(x) 的图象经过点(1,0) , (2,0)，如下列图.求：Ix0的值；na,b,c的值.解析：解法一：I由图象可知，在3 1上f (x) 0.在

10、 (1,2)上f (x) 0 .在 (2,) 上f (x)0,故f (x)在(,1),(2,)上递增，在(1,2)上递减，因此f(x)在x 1处取得极大值，所以x01.2(n ) f (x) 3ax 2bx c,由 f(1)0, f (2)0, f (1)5,3a 2b c 0,得 12a 4b c 0,解得 a 2,b9,c12.a b c 5,解法二:(I )同解法一.(n)设 f(x)m(x 1)(x22) mx3mx2m,又f(x)23ax 2bx c,所以am3m 3 32,bm, c2m, f (x)xmx2mx.3232由 f (1)5,即m 3m2m 5,得 m6,所以a2,b

11、9,c 12.3 29.湖南卷函数f(【x) ax3 3x21 ?I讨论函数f (x)的单调性；an假设曲线y f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共 点，求实数a的取值范围.2 2 2 解 I由题设知 a 0, f (x) 3ax 6x 3ax(x ).令 f (x) 0 得 x1 0, x2 -.aa当ia0 时，2 假设x (,0)，贝y f (x)0，所以f (x)在区间(，)上是增函数；a22假设x (0,-)，贝U f (x)0 ,所以f(x)在区间(0,)上是减函数；aa假设x (2,)，那么f (x) 0 ,所以f(x)在区间(2,)上是增函数；-)上

12、是减函数;ai i当 a v 0 时，假设x (,-)，那么f (x) 0 ,所以f (x)在区间( a假设x (0,-)，贝U f (x)0 ,所以f(x)在区间(0,2)上是减函数；aa22假设x ( ,0)，那么f (x)0，所以f (x)在区间(,0)上是增函数；aa假设x (0,)，那么f (x) 0 ,所以f (x)在区间(0,)上是减函数由I的讨论及题设知，曲线y f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数yf (x)在x0, x处分别是取得极值f (0)1,f (2)-41 .aaaa2a因为线段AB与x轴有公共点，所以f (0)f(-)0.即(冷 -1)(1-)0aa

13、2 aa.所以(a 1)(a 23)(a 4) 0.故(a 1)(a 3)(a 4)0,且a0.a解得 10,f(x)在(s,+s)为增函数.所以a=(ii)假设 =12 8a20,f(x)在(一g，+ g)为增函数， 所以 a2|，即 a (g， 26)U ( 26,+g)(iii)假设 12 8a20,即一aO,f(x)为增函数；当 x (xi,x2i 0 且 X2W i0 得 a.3 2a2，解得 K avy由 X2W 1 得 3 2a2 3 a,解得fa0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围.解法一：令 g(x) = (x+ 1)ln(x+ 1) ax,对函数 g(x)求导数：gx) = In(x+ 1) + 1 a 令 gx) = 0，解得 x= ea 1 1,5 分(i) 当aw 1时，对所有x0, gx)0，所以g(x)在0,+ 8上是增函数，又 g(0) = 0,所以对 x0,都有 g(x)g(0),即当a 0，都有 f(x)?ax. 9分(ii) 当 a 1 时，对于 0v xv ea1 1, gx) v 0，所以 g(x )在(0, ea 1 1)是减函数，又g(0) = 0,所以对0vxv ea 1 1,都有g(x)v g(0),即当a 1时，对所有的x0,都有f(x) ax成立.综上，a的取值范围是8, 1.12分解法二：令g(x)= (x+