N角星的尖角度数之和

1、N角星的尖角度数之和有一道这样的数学题：如图所示，为五角星图案，图、图叫做蜕变的五角星试回答以下问图1（1）在图中，试证明A+B+C+D+E=180°；（2）对于图或图，还能得到同样的结论吗？若能，请在图或图中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由 这道题实际并不难，只要利用三角形内角和定理及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的知识就可以解答。解答过程如下：1.证明: 如图。设BD、EC的交点为F，AC、BD的交点为G； BFC=B+E,DGC=A+D;A+B+C+D+E=BFC+DGC+CBFC+DGC+C=180°A+B+C+D+E=180°2，能；

2、如图，设蜕变前的五角星为ABCDF,连结BC;证明一: 在 FBC中， F+FBC+ FCB=180 °F+1+2+3+4+5+6=180 ° EBC中E+EBC ECB=180 ° E+1+2+3+4=180 °F+1+2+3 +4+5+6=E+1+ 2+3+4 F+1+2+3+4=E+1+2图2GABCDEF图FE51234ABCD6图GH E+ EBD+ECA= F+ FBD+ FCA A+ D+E+EBD+ECA=A+ D+F+FBD+FCA=180 °证明二:设BD、AC的交点为G，AC、BE的交点为H； HGD=1+BHD,BHD=

3、E+2;A+EBD+ACE+D+E=A+1+2+D+E=A+AGD+D=180°作为一道数学题，本应到此为止。但解答完之后，感觉好像发现了点儿什么，所以，就对N角星图案做了一下对比研究。你还别说，还真就发现了很多有意思的内容。首先说一下由第一个问题引发的思考：五角星的五个尖角之和为180度，那么，六角星、七角星会怎么样？八角星、九角星呢？N角星呢?为了说明这个问题，先要介绍一下一个概念：芒星。芒星是由几个完全的等腰三角形（有时是正三角形）和一个正多边形组成的平面图形。等腰三角形的个数与正多边形的边数相等。任何芒星都可以一笔画出，并且起笔点和结束点在同一位置。由五个等腰三角形和正五边形

4、组成的图形叫“五芒星”（俗称：五角星）。由六个等腰三角形和正六边形组成的图形叫“六芒星”依此类推。另外，还要说明一下多边形的有关概念。同一平面内的若干条线段首尾顺序相接而组成的封闭图形叫做多边形。周界不自交的多边形叫做简单多边形；简单多边形应满足三个条件：1.顶点与顶点不重合；2.任何顶点都不在其他边内；3.不相邻的边也不相交。非简单多边形叫做星形多边形。比较发现，芒星和星形多边形并不是一回事。芒星并不都是星形多边形，星形多边形也并不都是芒星。为了能够看出规律，我们不妨把两种图形或者图案都叫做多角星，图形也好，图案也罢，它有几个尖角（小于平角的角）我们就叫它几角星。我们试着列举一些简单的多角星

5、图案（形），分别计算出它们各自的尖角度数之和，看看能不能发现规律。边数最少的正多边形应是正三角形，三芒星的图案如图3所示，其三个尖角之和为1800。其次是四芒星，图案如图3，四个尖角之和为3600。 3 3 五角星就有两种：如图4所示左边为5400、右边为1800.图4.六角星两种、七角星三种如下：图下是其尖角度数之和。 7200 3600 1800 5400 9000八角星三种，九角星四种：图下是其尖角度数之和。 3600 7200 10800 12600 9000 5400 1800十角星四种： 14400 10800 7200 3600十一角星有五种，十二角星有五种；十三角星六种，十四角

6、星六种，。设多角星的尖角个数为N，观察上述列举结果可知，若N为奇数，则N角星有（N-1）种，其尖角度数之和分别为1800,3×1800，（N-2）×1800.若N为偶数，则N角星有（N-1）种，其尖角度数之和分别为2×1800,4×1800，（N-2）×1800.按此规律推算，二十九角星应该有14种，其尖角度数之和分别为1800,3×1800，27×1800。三十角星也应该有14种，其尖角度数之和分别为2×1800,4×1800，28×1800。 以上说的N角星都是指正N角星,因为正N角星相邻各

7、顶点所连线段组成的图形都是正多边形，只要画出N角星的外接圆，然后数出每一个尖角的两边与圆的两个交点之间的其他尖角的顶点个数，再利用圆周角的知识很容易求出N角星的尖角度数之和，所以上述结论不证自明。如果N角星发生了蜕变，即不再是正N角星了，或者说N角星的顶点不一定共圆了，那么，上述结论是否还成立？这时应怎样求N角星的尖角度数之和？这是由前述蜕变的五角星问题引发的第二个思考。由于N角星数量众多，且随着N的增大，尖角个数相同的N角星的种类也会越来越多，所以不能一一列举。下边仅以七角星为例，说明一下多角星尖角度数之和的求法。七角星有三种，其中最简单的一种其实就是简单的七边形，利用三角形内角和的知识很容

8、易求出其内角和为9000。其次是如下图（1）所示的七角星：借鉴本文开始的问题（1）中五角星的几个尖角度数之和的求法可以求出来其尖角的度数和为1800。还有一种就是下图（2）所示的七角星。由于此时七角星发生了蜕变，再用圆周角的知识就求不出来了。五角星的那种尖角度数和的求法也不能用了。不过，只要按照AD、DG、GC、CF、FB、BE、EA的顺序添加辅助线，就会得到七个以尖角的顶点和这个角的两边与其他尖角的边的交点为顶点的三角形，同时得到一个与图（1）类似的七角星。（1）图七角星尖角度数之和为1800，所以图（2）七角星的尖角度数之和由图可知为：×（7×180-180）0=540

9、0。当N3时，任意N角星不外乎两大类：一类是有公共边的两角的另外两边相交，另一类是不相交。求各种N角星的尖角度数之和，相交的可以用图（1）的方法，不相交的可以用图（2）的方法。由上述计算过程可知，任意N角星或者说蜕变N角星与正N角星的尖角度数之和相等，仍然满足上述规律。这是为什么？实际上，这一现象的背后隐藏着一个简单的规律，还以七边形为例；蜕变以后的七角星非常复杂，但复杂的事实背后总隐藏着简单普遍的规律。物理学中有个控制变量法。即物理学中对于多因素（多变量）的问题，常常采用控制因素（变量）的方法，把多因素的问题转化成多个单因素的问题，而只改变其中的某一个因素，从而研究这个因素对事物的影响；先分

10、别对每一个因素加以研究，最后再综合解决；这种方法叫控制变量法。它是科学探究中的一种重要思想方法，被广泛地运用在各种科学探索和科学实验的研究之中。现在我们不妨拿来一用。如图（3），假设正七角星的顶点A蜕变到A的位置，而其他顶点不动；从图中明显能够看出，在CAF蜕变到CAF的同时，ACF和AFC也在蜕变，但无论怎样蜕变，总有1=3+5，2=4+6；CAF-CAF=5+6.也就是说，无论点A处在什么位置，只要不在ACF的外部，都有CAF+ACF+AFC=C AF+AFC+ACF, 所以七个尖角的度数总和并没发生变化。 实际上即使点A退化到了图（4）、图（5）所示的位置时，也很容易证明七个尖角的度数之

11、和并没有发生变化；因为ACF和ACF的内角和始终相等，都等于180°。其他顶点发生蜕变时，情形一样。最后的结论是，任意N角星的尖角度数之和与与其对应的正N角星的尖角度数之和相等。要求任意N角星的尖角度数之和，只需求出与其对应的正N角星的尖角度数之和。而一般情况下，利用圆周角的有关知识，正N角星的尖角度数之和是比较好求的；这也算体现了数学中的化归思想吧。数学的殿堂总是那么绚烂多彩，引人入胜。复杂的事实背后总隐藏着简单普遍的规律。同时，看似简单问题的背后也往往透视着高深莫测的科学原理。作为一名教师，我的一贯看法是做数学题是为了学好数学，但学好数学并不是单单为了做数学题。数学从它诞生的那天起，就紧紧伴随着人类的生活、生产。一道新型的数学问题