正交多项式相关

1、上的正交多项式由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量满足方程组：，而当i为规范正交时，该方程组的解立即可以写为：                       。正交多项式的性质假设0(x),1(x),是空间上的幂函数系1,x,x2,经正交化手续得到的正交多项式系，则它有如下性质（1）n(x)是n次

2、代数多项式；（2）任一不高于n次的多项式都可以表示成;（3）n(x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即以下假设是n的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。定理1 ，其中：，。证明 由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即 （1）其中cj是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有上式左端当s=0,1,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。于是，当s=0,1,k-2时，上式变为令s=0，上式变为从而c0=0。同理，当s依次为1,k-2时，可推出cs=0。于是（1）式可简化为 （2）下面我们来确定ck,ck-1，在（2）式两边

3、乘以并积分，得 （3）由于，代入（3）式两端得同理，用乘（2）式两端并积分，可得将ck,ck-1代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。如果设k(x)的首项系数为k，则对规范正交系0(x),1(x),可以得到如下递推关系（4）注：（4）式可通过令代入定理1得到。定理2 n次正交多项式n(x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。证明 令n1,假定n(x)在(a,b)不变号，则这与正交性相矛盾。于是至少有一个点x1(a,b)使n(x1)=0，若x1是重根，则n(x)/( x - x1)2是一n-2次多项式，由正交性知但另一方面有从而推出x1只能是单根。今假设n(x)在(a,b)内只有j个单根

4、x1, x2, xj(j<n)，则n(x)( x- x1) ( x- x2) ( x- xj)=q(x)( x- x1)2 ( x- x2) 2 ( x- xj) 2现将上式两端乘以(x)并积分，则对于左端来说，由于(x-x1)(x- x2)(x- xj)的次数小于n，因此积分值等于零；但对右端来说，由于q(x)在(a,b)不变号，所以积分值不为零。由这个矛盾推出j=n。定理证毕。定理3假设a=x1<x2<<xn=b是正交多项式n(x)的n个根，那么在每个区间( a, x1) ,( x1, x2) (xn,b)内都有n+1(x)的一个零点。常用的正交多项式自然，根据(x)的不同选择，我们可以构造许许多多的正交多项式，这只要分别利用施密特正交化过程就可以完成，然而在这些正交多项式类中，真正有用的是如下几个具有代表性的正交多项式系。其一是勒让德（Legendre）多项式，它是L2-1,1上的正交多项式，并且可以表示成如下形式：（5）由于是2n次多项式，所以Pn(x) 是n 次多项式，其最高次项系数与单项式的系数相同。可以证明勒让德多项式具有如下性质：（1）（2）Pn(x)=(-1)n Pn(-x).（3）其二是