等离子体高等i

1、引言第 1 章 等离子体的流体描述1.1 等离子体的双流体模型1.1.11.1.21.1.31.1.4等离子体过程的时空尺度等离子体的“双流体”模型电子磁流体（E-MHD）近似Hall 磁流体（Hall-MHD）近似1.2 理想磁流体力学（MHD）方程组1.2.11.2.21.2.3磁流体理论的基本假设磁流体方程组磁流体方程组的守恒形式1.3 位力定理与变分原理1.3.2 位力定理1.3.2 变分原理第 2 章 理想磁流体平衡2.1 磁场与磁面2.1.12.1.22.1.32.1.4磁场的一般表示磁约束等离子体的力学平衡磁面和磁通函数磁“冻结”2.2 Z-箍缩与q-箍缩2.2.12.2.22.

2、2.32.2.4Z-箍缩q-箍缩磁镜环形约束与2.3 一维平衡与螺旋箍缩2.3.1 一维圆柱等离子体的平衡2.3.2 安全因子2.4 Grad-Shafranov 方程2.4.12.4.22.4.32.4.4（Tokamak）坐标系Grad-Shafranov 方程方程的解与磁轴平衡计算等离子体平衡第 3 章理想磁流体性3.1 能量原理3.1.1 基本3.1.2 能量原理3.1.3 dW 的最小化3.2 扭曲模与交换模3.2.13.2.23.2.33.2.43.3 一3.3.1 3.3.23.3.3磁流体不模式内模与外模边界条件几个例子定性，直柱螺旋箍缩的不性局域内交换模不性直柱的不性第 4

3、章 磁流体波4.1 线性磁流体（MHD）方程4.2 非磁化等离子体中的磁流体波4.2.1 离子声波4.2.2 离子声波的物理图像4.3 磁化等离子体中的磁流体波4.3.14.3.2快波与慢波的波，Alfvén 波与离子声波沿着磁场B04.3.3垂直磁场B0的波，磁声波4.3.4剪切与压缩 Alfvén 波附录：电子与离子的静电波电子 Langmuir 波离子声波 Debye第 5 章 均匀等离子体中的波（双流体理论）5.1 双流体模型5.2 静电波简介5.2.1静电波的色散5.2.2非磁化等离子体中的静电波5.2.3磁化等离子体中的静电波5.3 介电与色散5.3.1电磁波方

4、程5.3.2电导率与极化率5.3.3电导率的计算，左旋波与右旋波5.3.4介电5.3.5色散5.4 准静电波与准电磁波5.4.1准静电波与准电磁波5.4.2准静电模 ET << EL5.4.3准电磁模 ET >> EL5.5 电磁波概述5.5.1非磁化等离子体中的电磁波5.5.2平行磁场的电磁波5.5.3垂直磁场的电磁波：准电磁模5.5.4垂直磁场的电磁波：准静电模附录：电磁波模式（EM modes）主要第 6 章 带电粒子的动力学6.16.26.3磁场中带电粒子的导向中心运动导向中心运动的 Lagrangian 量导向中心运动的正则动力学第 7 章 等离子体的动理学描

5、述7.1 Vlasov 方程组7.1.17.1.2Liouville 定理Vlasov 方程组7.2 色散等离子体色散函数7.2.17.2.2静电波的动理学色散等离子体色散函数7.3 静电波与 Landau 阻尼7.3.1Vlasov 解7.3.27.3.3Landau 解Landau 阻尼7.4 Landau 阻尼的物理图像7.4.17.4.2Landau 阻尼的物理图像双流不性7.5 Van Kampen 模7.5.17.5.27.5.3初值Bohm-Gross 模Van Kampen 模第 8 章均匀等离子体中的波（动理学理论）8.1 导向中心坐标系8.1.1 方程的线性化8.1.2 导

6、向中心坐标系变换8.2 静电模的色散8.2.18.2.28.2.3Vlasov 方程Poisson 方程色散8.3 平行磁场的波：8.3.18.3.28.3.38.3.48.3.5左旋波与右旋波光学电磁波哨声波电子回旋波剪切 Alfvén 波8.4 垂直磁场的波：8.4.1 寻常波（O-波）8.4.2 非寻常波（X-波）8.4.3 高混杂波8.4.4 低混杂波8.5 有限 Larmor 半径（FLR）效应：Bernstein 波与回旋阻尼第 9 章 非均匀等离子体中的波9.1 多重尺度分析9.1.1 双时间尺度分析9.1.2 能量密度及能量流密度9.1.3 双时空尺度分析9.1. 4

7、 群速度9.2 几何光学近似，光线方程9.2.19.2.29.2.39.2.4几何光学近似光线方程表示准粒子的 Hamiltonian9.3 截止与共振9.3.19.3.29.3.3均匀等离子体中的截止与共振非均匀等离子体中的截止与共振共振吸收9.4 线性模式转换9.4.1 与等离子体静电振荡共振的入射波9.4.2 与磁化电子等离子体波共振的入射波9.5 漂移波9.5.19.5.29.5.2磁化等离子体中的漂移运动离子静电漂移波低混杂漂移波不性引言等离子体科学技术是很多大科学工程及高技术产业的基础知识和重要手段，特别是在未来能源、空间开发、和高新技术等方面有着重要的应用。等离子体物理是聚变能源

8、研究的基础领域，空间等离子体研究是空间科学的前沿，等离子体推进技术是新一代平台的主要动力支撑，材料的等离子体处理与是先进材料和电脑生产的不可缺少的，在各种特殊条件下等离子体与电磁波的相互作用研究在国防、通信、纳米光学等领域都有着重要的应用，是“等离子体材料”科学开始崭露头角的重要方面。进入 21 世纪，中国的科学研究和技术进步随着的富强，正在经历一个飞速的发展。等离子体科学技术就显得格外重要。相比发达，中国的等离子体科学技术的科学研究和培养都处于一种落后的状态。正因为如此，这是一个年轻有作为的广阔天地。等离子体是包带电粒子的物质状态。通常人们称之为与物质的固态、液态、气态并列的物质的第四态。但

9、是这个提法是值得探讨的。首先，其它的几种物质的状态是可以在科学上严格定义的，而等离子体则没有这样的严格定义。我们知道，物质的状态可以由其“状态方程” p = p(n,T ) 来描述。这里 p ， n ， T 分别是该物质的压强、粒子（或原子）数密度、温度。这个状态方程可以一般地写作p = p(n 1+ g(T ) 。我们这里取适当的温度以略去玻尔兹曼（Boltzmann）常数kB （下同）。对于理想气体（Perfect Gas），g(T ) = 0 ，状态方程为 p = p(n 。如果 g(T ) << 1，但是不等于零，我们得到的是非理想气体（Imperfect Gas）。如果

10、g(T ) O(1) ，我们得到的是液体。如果继续升高温度使得 g(T ) >> 1，达到了液态固态相变的临界点，我们会得到（各向同性）的固体。当然，到了固体的状态之后，压强就被各向异性的应力所取代。而对等离子体这种“物质状态”来说，其状态方程中 g(T ) 可以从零一直变化到几百甚至更高（如等离子体晶体的状态方程）。早年的等离子体物理研究的对象基本上是“电离气体”（Ionized Gases）；而近年来发展的“强耦合等离子体”（Strongly Coupled Plasmas）研究，却主要以呈液态，甚至固态如等离子体晶体（Plasma Crystals）的等离子体性质为对象。且真

11、正的固体如金属，其很多重要的物理性质也可以用等离子体的图像来描述，比如具有等离子体频率等。即使就同一等离子体系统而言，也同样可以经历气态、液态、固态这样不同的状态，如 1990 年代以来被大量研究的所谓“复杂等离子体”（Complex Plasmas）。此外，“等离子体”这一中文词是基于“准电中性”（Quasineutrality）提出来的。但是近年来的等离子体物理研究对象又有所谓“非中性等离子体”（Nonneutral Plasmas），甚至“单分量等离子体”（One ComponentPlasmas，OCPs）即只有一种电荷成分的“等离子体”。子曰：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成”。

12、不得不承认，到目前为止，我们对“等离子体”（或者说 Plasmas）这类物质还没有一个科学意义上的比较严格的定义（“名不正”）。这无疑反映了这门学科的不成熟描述等离子体的理论，目前还处在发展的阶段，显得杂乱无章（“言不顺”）。论的特点，应该是简单、明了、完整。比如一个最小作用量原理就可以涵盖物理学的基础；一个各态历经假设，就可以搭起平衡态统计力学的架构。而等离子体物理理论缺少这样一个高屋建瓴的框架。所以等离子体物理的理论研究，应该首先从给“等离子体”这个被研究的对象一个比较好的定义出发。现代等离子体科学技术的发展使得等离子体物理研究的领域不断扩展。“等离子体”的定义应该涵盖这些新领域。基于这样

13、的出发点，我们可以将“等离子体”定义为：包含足够数量带电粒子的多粒子体系。不说“带电粒子组成的”，以涵盖“弱电离等离子体”；不具体说明电荷的种类或者“准中性”，以涵盖“单分量”以及“复杂”等离子体；“足够数量”，以保证“等离子体条件”的成立；不限定处于“非态”，以带电尘埃粒子“点阵”的情况。可以看出，等离子体主要有两条性质：带电性与多体性。前者的主要特征是长程相互作用，后者的主要特征是度。两者的结合，导致等离子体中运动模式的集体效应和多时空尺度的性质。研究这样的体系的，一种是连续介质的图像将其作为“连续电磁介质”来研究；一种是统计力学的图像将其作为“电磁环境下的多带电粒子体系”来研究。我们这门

14、课程就是从这两个方面来讲述等离子体物理的理论。在课程的前半部分（第 1-5 章），我们主要等离子体的流体理论；然后介绍等离子体的动理学描述（第 6-8 章），最后我们讨论非均匀等离子体中的波的性质（第 9 章）。而等离子体物理的非线性理论，我们会在另外一门课程（离子体物理 II）中讲述。第 1 章 等离子体的流体描述我们知道，自然界中的等离子体都是大量带电粒子（常常也中性粒子成分）组成的多粒子系统。空间等离子体，在用典型的空间尺度（比如地球半径）度量的体积内，可以有 1026 个或的粒子；而等离子体的特征密度大约在 1010-1014/cm-3 的范围内，所以在典型的尺度（立方米）下可以有 1

15、016-1020 个或的粒子。对于这样大量粒子组成的体系，即使是用最快的超级计算机追踪几十亿个（109-1010）粒子的运动，也只是其中微不足道的一部分。因此，我们一般使用“连续”的模型来描述等离子体，即或者把等离子体作为在真实空间的连续介质，或者作为相空间连续“”的介质。前者就是所谓等离子体的流体描述。而后者则是等离子体的动理学描述。【当然，利用“巨粒子”模型（比如一个“巨粒子”代表 10n 个粒子，n>1），并做一定的近似（比如回旋动理学近似），我们可以对等离子体进行粒子模拟。即使如此，这种模拟也是“平均场”意义上的，即利用了 PIC（Particle in Cell）方法。这种处理

16、放在专题课程中讲授，在这个课程里不详述。】1.1 等离子体的双流体模型等离子体是包含大量带电粒子的多粒子体系。一般意义上的等离子体（即所谓conventional plasmas）主要由带正电的离子和带负电的电子组成。由于这些带电粒子之间的长程库仑（Coulomb）相互作用，等离子体呈整体电中性，即总的正电荷与负电荷相等。因此，除特殊的非中性或者复杂等离子体（一般是强耦合的）之外，我们可以用带负电的电子流体和带正电的离子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。1.1.1 等离子体过程的时空尺度研究物理时首要的是讨论时空尺度：找到我们所研究的特征时空尺度，确定在这个时空尺度范围内适用的

17、理论模型。经典的宏观（大空间尺度）、低速（慢时间尺度）下的力学与相对论（快时间尺度）、量子力学（小空间尺度）的适用范围就是典型例子。在等离子体中着很多的运动模式，我们无法、也没有必要同时考虑所有这些运动模式。那么哪一种（或者几种）运动模式是主导的、起着决定作用的？要回答这个，就要进行时空尺度分析：我们关心的是哪个时空尺度下的物理，在这个时空尺度下哪几种主要运动模式？所以，对于等离子体这样的大量运动模式的体系来说，时空尺度分析尤其重要。等离子体的流体理论从本质上来说是一种与流体力学相类似的连续介质的理论，主要考虑的是宏观的大尺度：其特征长度 LH （或 L0 ）一般可以看所研究的等离子体区域的大

18、小，比如柱形等离子体的横截面的半径。而特征时间尺度t H （或者特征频率wH 1 / t H ）则可以用一个特号穿越这一尺度的时间来表征，即特征尺度 LH 与特的速度VH 之比，号在等离子体这一介质中t H = LH / VH 。在一般流体力学理论里，这个特号的速度显然是流体中的= (g p / rm )，这里g 是比热系数， p 是流体压强， r 是流体质量密度。1/ 2m声速cs但是在等离子体的流体理论中，如果我们主要关心离子的运动（或者等离子体流体元的运动），那么信号的特征速度是离子声速（在非磁化等离子体中）或Alfvén 速度（在磁化等离子体中），对应的特征时间是离子运动的特

19、征频率（如Alfvén 频率、“离子等离子体频率”、离子回旋频率等）决定的时间尺度。而对于电子的响应来说，这一特征频率可以高到电子的等离子体频率或者回旋频率（取决于我们研究的具体）。一般来说，等离子体的流体近似主要是由空间尺度的特性来表征：适用于带电粒子的回旋半径远远小于等离子体的特征空间尺度的物理（尽管在一些特殊的模型处理中，所研究的特征尺度可以接近甚至达到带电粒子的回旋半径）。当然，如果所研究的等离子体可以看一个驱动（driven）系统，那么其特征时间尺度应该由驱动频率给出。1.1.2等离子体的“双流体”模型基于流体力学的图像及其近似，或者从统计物理的速度空间分布函数及其满足的方

20、程如 Vlasov 方程、或者 Fokker-Planck 方程等（取决于碰撞项的形式）出发，我们得到等离子体的“双流体”方程组：对统计力学方程取速度的零阶矩，我们可以得到：连续性方程¶na¶t+Ñ × (n) = 0 ；(1-01)uaa对统计力学方程取速度的一阶矩，在“流体”各向同性条件下我们可以得到：动量方程（力平衡方程）æ ¶uaö =+ u×Ñun ma a çaa ÷¶tèøéE + ua ´ B ù - 

21、9;n= -Ñp + n q(1-02)n m u 。aa a êëúûab a a acb（Markov）过程近似即( f0 - f ) / t ºn ( f0 - f ) 形式的碰这里我们使用了类撞项；且a = i, e 代表带电粒子的种类。对a 类粒子来说：na 是粒子数密度，ma 是粒子质量，qa 是粒子电荷，ua 是流体速度， pa = na Ta 是其理想气体近似下的分压强；而nab 是a 类与b 类粒子之间的碰撞频率（当a = b 时为自碰撞）。其中，由系统中a 类粒子的分布函数 fa (x, v, t) 的速度各阶矩，

22、可以得到粒子数密度（分布函数的速度零阶矩）na (x, t) = ò dv fa (x, v, t) ，和这种粒子的流体速度（分布函数的速度一阶矩）ua = ò dvvfa (x, v, t) / ò dv fa (x, v, t) = ò dvvfa ( ,x t) ，及其压强（分布函数的速度的对角项）p = 1 mdv ( v - u (x, t)2a òf (x, v, t) ，aaa2等等。我们看到，统计力学方程取速度零阶矩得到的连续性方程中包含有分布函数速度一阶矩ua 的项Ñ×(na ua ) ；统计力学方程取速度

23、一阶矩得到的力平衡方程中pa 的项-Ñpa ；可以继续推下去，得到统计力学方程包含有分布函数速度取速度 N 阶矩得到的方程中会包含有分布函数的速度 N +1阶矩的项；等等。这构成一个“不封闭链”（Hierarchy）。也就是说，相比需要计算多粒子系统的单粒子、双粒子、三粒子、直到所有粒子的分布函数的统计力学的，流体描述并没有任何“简化”！所以我们需要对统计力学方程的速度各阶矩的“不封闭链”做截断。这个截断我们称为：状态方程¶pa¶t+ u ×Ñp = -g p Ñ × u ；(1-03)aaaa这里我们用的是“绝热”状态方程

24、近似。此外还有：库仑定律（Poisson 方程）Ñ× E = 4p å na qa ，(1-04)a安培（Ampere）定律Ñ´ B = 4p J +¶pæ + 1 ¶E ö ，æE ö1 4åaº(1-05)nq uç÷a a a ç÷c ¶tc ¶tcèøcèø（Gaussion）定理Ñ× B = 0 ，(1-06)（Fayraday）定律&#

25、209;´ E = - 1 ¶B 。(1-07)c ¶t其中E ， B ， J 分别是“平均场”（自洽场）意义下的电场强度、磁感应强度、和等离子体电流密度。关于状态方程，我们以后会进一步讨论。这里我们只是指出：参数g 的取值决定等离子体的热力学过程，如“等温”过程对应g = 1；“不可压缩”（相当于“等容”）过程对应g ®¥ ；其它的g 值对应各种“绝热”过程。当然，“等压”过程（即 p = 常数）也可以是“不可压缩”的（ Ñ × ua = 0 ），但此时g 值的选取具有任意性；而且在“等压”条件下力平衡方程里不出现分布函数

26、的速度项（压强梯度项），流体方程组已经是“封闭”的。1.1.3 电子磁流体（E-MHD）近似一般来说，双流体模型是描述等离子体宏观（大于粒子回旋半径的尺度）运动的工具。特别值得指出的是：这个理论模型在高频波段也可以应用，甚至在回旋半径的尺度上也可以得到一些有用的结果。但是，由于电子与离子质量之间超过三个数量级的差别，在具体计算双流体模型的时候，会遇到所谓“刚性”：即电子已经完全改变了运动状态，离子还基本没有动！这使得我们在计算离子时空尺度下的物理时，耗费大量的计算机时间。而且由于程序编码（code）本身的精度，即使经过长时间运算看到了离子的运动，其结果很可能或者是有很强的数值不性、或者是很难令

27、人相信。而为了程序编码引进的各种耗散，往往带来人为的非物理的效应。即使进行纯理论的推导，也有过程繁杂、且得到的物理图像不清晰的。所以我们经常要做进一步的近似。因为“刚性”是由于电子、离子惯性的显著不同引起的，即me / mi << 1，所以我们采取的最低阶近似是， me / mi ® 0 。这可以有两种方式。第式是：我们在主要考虑电子运动时，可以认为离子响应是“无穷慢”的，所以可以取me有限但是mi ®¥ 。或者说离子可以看保持总体电中性的“背景”。将这一近似带入离子的方程（1-02），a = i ，因为方程的右边是有限的（忽略碰撞项），得到dui /

28、 dt = ¶ui / ¶t + ui ×Ñui = 0 。(1-08)这样就解决了离子质量远大于电子质量引起的“刚性”。这个模型适用于研究时空尺度在“电子惯性尺度”的小空间变化范围（大约在电子“趋肤深度” d = c / w 的数量级，其中w= (4p n e / m )是电子的等离21/ 2epepeee子体频率）和快时间尺度（大约在电子的等离子体频率或回旋频率Wce = eB / mec 的。容易证明， d = (b / 2)1/2 r ，这里b = 8p nT / B2 是电子等离子数量级）的eeeee e体比压，而 r = u/ W 是电子回旋

29、半径（其中电子热运动速度u= (T / m )1/2 ）。etheetheee但是在理论研究中，人们往往会做进一步的简化：即更进一步近似地完全忽略离子的运动，而假设J = -neeue 。这一假设性中是“严格”的，即满足离子的连续性方程以及运动方程（1-08）；但是在非线性过程中是一种“选择”。考虑这一假设，则在忽略（1-05）中的位移电流项的流体近似下（相当于不考虑光学电磁波这样的快尺度效应），容易得到Ñ× J = -eÑ×(neue ) = 0 。(1-09)将上式代入（1-01）后可以看到，电子密度在这一近似下不随时间变化。（Tesla）数量级的“

30、环向场”对于等离子体来说，因为，电子是处处强磁化的，可以进一步引入电子“不可压缩”假设 Ñ× ue = 0 。这直接导致电子密度也不随空间变化的结果！即电子密度近似地为常数。【应该看到，这大大限制了模型的应用范围。所以除非磁场很强，我们一般建议用（1-09）而非电子的“不可压缩”假设Ñ×ue = 0 。】A / c ，对（1-02）取引入电子流体的“正则动量”，并考虑在上面引入的“不可压缩”电子流体假设下电子密度是空间均匀的，容易得到：¶ (Ñ´ P ) = Ñ´(u ´(Ñ´

31、; P ) -nm Ñ´ u 。(1-10)eeeei ee¶t这里可以定义Ñ´ Pe º e为“广义涡旋”（Generalized Vorticity）。从J = -neeue 与（1-05），得到ue = -cÑ´ B / 4p ene ；及) - en ei¶e= Ñ´(u´ d 2Ñ2B ；(1-11a)eee¶tc其中， = -e(1- d 2Ñ2 )B / c 。(1-11b)ee这组方程（1-11）被称为电子磁流体（Electron

32、 Magnetohydrodynamics，一般简称 Electron MHD 或 E-MHD）方程。如果空间特征尺度远大于电子趋肤深度，有d 2Ñ2 << 1， » -eB / c ，并忽略ee碰撞，电子磁流体方程简化成¶B = Ñ´(u ´ B) 。(1-12)e¶t（Ohm）定律（1-20）有相同的形我们会发现，这个方程与后面理想磁流体式，只是那里的“磁流体”速度u 被这里的电子流体速度ue 所取代。这就是为什么人们称（1-12）为“电子磁流体”（E-MHD）方程。其物理特性是：只有电子流体元“冻结”在磁力

33、线上；特征速度是“电子 Alfvén 速度”（即 Alfvén 波的惯性是电子质量提供的）。【如前面提到的，这个模型假设了电子流体的不可压缩性，导致电子密度的常数分布，限制了模型的应用范围。在很多情况下，比如空间等离子体中磁零点附近的物理过程，因为磁场很弱，不可压缩电子流体的假设并不成立。在这些情况下，我们还是要使用（1-09）。但这时对（1-02）取时并不能消去电子压强梯度项。所以在数值计算时，我们或者可以直接使用原来的双流体模型；或者需要发展考虑电子压强梯度的电子流体运动方程。】1.1.4Hall 磁流体（Hall-MHD）模型实现me / mi ® 0 近似

34、的另式是：在考虑较低的离子响应频率的时，因为离子运动的时间尺度远远长于电子运动的时间尺度（通常在 40 倍以上，对于回旋运动来说则大于 103 倍），所以我们主要考虑离子运动，而认为电子响应是“瞬时”的。即在me / mi ® 0 这个近似中，取me ® 0（即电子响应“无穷快”），但是mi有限。我们保持其它方程不变，只是近似地把（1-02）中电子的质量趋于零，得到：E + ue ´ B = - Ñpe-hn eu ，(1-13)eecn ee这里h º 4pn / w2 是所谓的“Spitzer 电阻”。显然如果我们在常数电子密度和无碰epe

35、撞的假设下对这个方程取，就得到（1-12）；或者说，这个模型就是电子磁流体（EMHD）模型在尺度远大于电子趋肤深度条件下的近似。利用“准电中性”条件ni » ne ，可以得到ue = ui - J / nee ，其中J = ni eui - neeue 是等离子体电流。这个方程可以重新写为：E + ui ´ B = J ´ B - ÑpeJ ´ BÑp+h(J -n eu ) »- +hJ 。(1-14)eiicn ecn e n ecn e eeee必须注意到：这里我们还用到了ue >> ui 的条件。明显地，

36、 ue >> ui 要求电子运动（Hall）效应。所以我们称这个近似模型为与离子运动的分离，即所谓磁磁流体的广义定律（Hall MHD Generalized流体模型；这个方程则称为Ohms Law）。实际上，方程中的J ´ B / neec 明显地就是我们在电磁学课程里熟知的电场项。在无碰撞近似下，利用归一化条件：4p aJ ® J ，uiBpenecE® u ，® B ，® p ，® n® E ，ieeVBpnV BcBA000A 00其中归一化常数n0 ， p0 ， B0 是特征数密度、压强、磁场； a 是

37、特征长度（“宏观”流体尺度的数量级），即aÑ® Ñ ；V = B / (4p n m )1/2 是相应的特征 Alfvén 速度；A00 i可以得到ddbE + ui ´ B = i J ´ B - 0 i Ñpe 。(1-15)nene这里b = 4p p / B2 是特征等离子体 beta（比压）； d = c / w a 是归一化离子“惯000ipi性尺度”，其中离子等离子体频率w= (4p n e2 / m )1/2 。piii经过对方程中各项的时空尺度分析我们知道，这个模型适用的空间尺度是离子“惯性尺度” di =

38、 c / wpi （ >> de ）。这与前面的讨论是一致的：即方程（1-15）的有量纲形式（1-13）就是电子磁流体（EMHD）模型在尺度（离子惯性尺度）远大于电子趋肤深度条件下的近似。1.2 理想磁流体（ideal MHD）方程组如果根据所关心的物理，可以近似认为所研究的等离子体不仅整体呈电中性，而且在“非常小”的局部（这里的“小”只是相对于我们所研究的大尺度而言，但是仍是“流体尺度”，即远大于带电粒子的回旋半径）也呈电中性，则我们可以把这个局部取做流体元，即有ne = ni = n 。于是上面（1-04）的右边等于零，而（1-02）的不荷粒子的方程相加可以消去小尺度下（即流体

39、元尺度）的电场。这可以在很多情况下使得到进一步简化。这个图像，我们称为磁流体（magnetohydrodynamics, MHD）近似（或称“磁流体力学”、“磁流体动力学”近似）。这一节里，我们详细讨论这一近似下的等离子体模型。1.2.1 磁流体理论的基本假设前面讨论等离子体的流体近似时分析了宏观、慢尺度的流体的特征时空尺度。我们在这里进一步讨论等离子体的磁流体理论对时空尺度的基本假设。时间尺度的假设：分布（local Maxwellian distribution）局域热力学平衡（局域假设：taa , tab<< 1 / wH = t H ，这里taa （tab ）是相同（不荷的

40、带电粒子间“短程”相互作用的平均时间。（这里“短程”相互作用区别于长程的库仑相互作用。）也就是说，要求粒子间有较高的碰撞频率，即在磁流体特征时间里等离子体处于局域热力学平衡。而高碰撞频率假设的一个直接结果就是等离子体压强的各向同性，即 p 是标量，压强的非对角部分趋于零。空间尺度的假设：忽略有限 Larmor 半径（Finite Larmor Radius, FLR）效应：wH << Wci << Wce ， re / LH << ri / LH << 1。这里， Wce = eB / mec 与Wci = eB / mic 分别是磁场中电子和质

41、子的回旋频率。也就是说，磁流体模式的特征时间远远长于带电粒子的回旋周期，从而这些周期运动在长时间平均下可以忽略；同时带电粒子的回旋半径远小于等离子体的特征空间尺度，在大尺度下这些小尺度运动可以被平均（或者严格说，被“平滑”）掉。等离子体假设：单流体（准电中性）假设（即“德拜（Debye）球”内有大量粒子）：<< L ， w<< w ， Þ å na qa ® 0 。n-1/ 3 << lDHHpea这里lD = (T / 4p ne )是所谓德拜2 1/2长度（或者“德拜球”半径）。这一假设比较复杂，一般来说，等离子体假设保证了

42、所谓等离子体参数l << 1。g = 1/ n3D这时等离子体是弱耦合的。即等离子体中的粒子之间的关联可以忽略不计。我们常常进一步假设弱耦合等离子体可以看“无碰撞”的。但是我们发现，关于磁流体近似的时间尺度假设局域分布的假设对于“无碰撞”的理想（ideal）等离子体（其平均时间t ee , tii , t ei >> t H ）来说的不是一个好的假设。因此，我们还需要进一步讨论粒子间“碰撞”（collision）和关联（correlation）之间的，以及长程碰撞的“集体”（collective）效应和短程碰撞之间的。我们会在讲述等离子体的统计描述之后进一步讨论这些。当

43、然，我们通常研究的等离子体基本上是非相对论的，所以还适用非相对论假设：Þ 1 ¶E ® 0 。w / k L /t V<< cHHtypicalc ¶t而相对论等离子体（比如激光等离子体中的相对论流）的流体描述，我们会在专门的课程里进一步讨论。1.2.2 磁流体方程组如果利用准中性近似：ne = ni = n ，我们可以定义小的等离子体元的“单流体”物理量：等离子体质量密度rm º n (mi + me ) » nmi ，等离子体流体速度u = ni miui + nemeue= u + me u » u ，nm

44、 + n mieimi ie ei等离子体压强p = n (Te + Ti ) ，等离子体电流J = ne(ui - ue ) 。将（1-01）、（1-02）分别对不荷分量求和得到连续性方程¶n +Ñ × (nu) = 0 ，(1-16)¶t动量方程（并利用安培定律）nm æ ¶u + u ×Ñu ö = -Ñp + J ´ B = -Ñp + (Ñ´ B) ´ B 。(1-17)i ç÷4p¶èt

45、8;c而如前面讨论的，电子的动量方程（1-02）（a = e 时）可以写成E + ue ´ B = - Ñpe - n eme um æ ¶uö ，-+ u ×Ñueeçe ÷eee¶tcneeèø的一般形式；这里n e了电子自碰撞n ee 及电子离子碰撞n ei ；或者写成E + u ´ B = J ´ B - Ñpeme æ ¶+ u ×Ñö J+hJ +ç÷ene

46、2;2cnecneètø-n eme u - me æ ¶+ u ×Ñö u 。e ç ¶te÷eèø定律，其中h ºn m / ne2 为经典的等离子体这个方程我们一般称为广义e eSpitzer 电阻率。一般来说电流主要是电子携带的，可以忽略最后两项得到常用的广义定律E + u ´ B = J ´ B - Ñpeæ ¶me+ u ×Ñö J 。+hJ +(1-18)çe&#

47、247;ne¶2cnecneètø忽略离子的运动并假设电子不可压缩，对这个方程取，我们得到电子磁流体方程（1-11）；忽略电子质量，则得到磁流体模型的广义定律（1-14）。而所谓理想磁流体近似则是：1）在“无碰撞”近似下忽略方程右边的电阻项；2）在大尺度磁流体近似下忽略方程右边其它各项（电场项由离子惯性尺度、电子压强梯度项由“离子声回旋半径”、电子惯性项由电子趋肤深度表征）；从而得到理想磁流体的E + u ´ B = 0 。定律(1-19)c定律（1-07）得到带入¶B = Ñ´ (u ´ B) ；(1-20)&#

48、182;t加上状态方程¶p + u ×Ñp = -g pÑ × u ，(1-21)¶t我们得到完整的理想磁流体（ideal MHD）方程组（1-16-17），（1-20-21）：关于 8个未知函数n ，u ， p ， B 的 8 个方程。这 8 个变量是在n ，u ， p 这 5 个流体变量之外加上磁场的三个分量。所以称“磁流体”。1.2.3 磁流体方程组的守恒形式流体中物理量的守恒定律可以写成¶G + Òòò ds × f = 0¶t的形式。其中G º ò

49、;òò dvg ， f 是 g 的“通量”。则这个守恒定律的微观形式是¶g +Ñ × f = 0 。¶t从磁流体方程组出发，对于数密度n ，有连续性方程¶n +Ñ × (nu) = 0 ，(1-22)¶t对应的“数密度流”为nu ；对于动量密度 ru » nmiu ，有动量方程¶(ru) + Ñ × T = 0 ，(1-23)¶t对应的“动量密度流”为图 1.01：守恒定律的微观形式æB2 öBBT º ruu +

50、ç p +÷I -；8p4pèø1B2p对于能量密度（绝热状态下） w ºru +2，有能量方程8pg -12¶w + Ñ × S = 0 ，(1-24)¶t对应的“能量密度流”为g p ö u + B ´(u ´ B)S º æ 1 ru2 +。ç 2g -1 ÷4pèø1.3 位力定理与变分原理在磁流体近似下，等离子体具有一般力学体系的性质，即满足所谓“位力”定理和变分原理。我们在这一节里讨论这些重要性质。1.3

51、.1 位力定理上面给出的磁流体方程组是一组偏微分方程。我们知道，偏微分方程只有在一定边界条件（初始条件可以看成时域边界条件）下才有确定的解。物理上说就是要有“约束”条件。这里我们就讨论等离子体的最基本的“约束”。对于一个有限系统，如果可以达到平衡态，则总的平均动能 K 和总的平均“位力”（virial） U º r × F 之间满足2 K + U = 0 。(1-25)这个被称为“位力定理”。对多粒子力学体系（量子的或经典的）来说，这里说的平衡是总的“力学平衡”；对统计力学体系来说，这个平衡同时也指“热力学平衡”。这个定理在经典力学和量子力学里都成立，我们这里需要讨论这个定

52、理对等离子体的应用。在磁流体理论中，从上一节关于能量密度的表示，容易得到K = 1 ru2 +pg -1U = B2 / 8p + U(1-26)，。ext2则“位力定理”可以写成B22 pru2+ g -18+ U= 0 。(1-27)pext< 0这告诉我们保持等离子体力学平衡唯一可能就是外加一个很大的、负的Uext来平衡B22 pru2+ g -18+> 0 。p这对应于：（1）一个外加的势场（势阱），比如太阳的自身引力场、约束尘埃等离子体的外加负电场、或者惯性聚变过程中 X 光产生的光压等，来提供< 0 ；Uext（2）外部线圈产生的外加磁场提供一个边界约束（比如各种

53、磁约束位形）；（3）或者最简单的，由一个容器的“硬壁”（hard wall）提供一个无穷高势< 0 。Uext垒1.3.2 变分原理下面我们讨论磁流体理论的变分原理。变分原理是物理学的理论基础：（1）变分原理是物理规律更清晰、更普遍的形式，方便几何的应用（如图 1.02：等离子体的“约束”形式哈密顿量（Hamiltonian）的结构、对称性、度规等）；（2）变分原理自然保证不变量的全域守恒性质；（3）变分原理是物理的和很多其它的度领域处理多体的基石。经典力学中的变分原理是所谓“最小作用量原理”：对一个系统的量（Lagrangian） L(q, q&) ，物理规律满足d ò

54、; dtL(q, q&) = 0 。方程（Lagrangian Equation）由此可以直接得到系统的d ¶L - ¶L = 0 。(1-28)dt ¶q&¶q作用量 L(q, q&) 可以写成一般地，系统的L = K -U 。在磁流体理论中，我们利用前面的能量密度表示，可以得到系统的作用量1pB2L =ru +2- 。(1-29)g -18p2然后利用系统的方程，就可以得到磁流体方程组。关于变分原理的应用，我们在后续课程里还要深入讨论。附录 1：磁流体方程组的（Galilean）协变性因为这是流体力学课程中已经有的内容，一般等

55、离子体物理的教科书里都不提。（假设学生已经学过了流体力学）。但是现在大学物理系很少有给本科生开流体力学课的，而且磁流体方程组中还有磁感应方程（1-20）。所以在这里简单讲一下这个。这个可以归结成为流体力学中对时间全微分的协变性。对坐标系(x, t) 做变换：x - V0t ，u ® u¢(º dx¢ / dt¢) = u - V0 ，则在原坐标系(x, t) 中对时间t 的偏微分等于在新坐标系(x¢, t¢) 里t¢ 时刻的、“动”到时间t 时刻位置的、对时间t¢ 的“全微分”，即有¶¶

56、;¶=- V ×；¶t¶t¢0¶x¢而对于空间坐标则仍有¶¶=。¶x¶x¢于是，相应的对时间全导数d¶¶¶x=+ u ×dt¶t的变换是d¶¶¶¶¶¶¶d=+ u ×=- V ×+ (u¢ + V ) ×=+ u¢×=。0x¢¶t¢¶x¢dt

57、2;dt¶t变换适用的非相对论条件下（V0 << c ），磁场的变换可以证明，在可以近似为B ® B¢。则理想磁流体（ideal MHD）方程组（1-16-17），（1-20-21）是协变的。附录 2：等离子体流体理论模型的洛仑兹（Lorentz）协变性但是值得注意的是：因为洛仑兹力的，对其它各种流体模型的方程要用洛仑兹变换。事实上，在考虑了电磁相互作用的情况下，这个变换应该是低速条件下的“近似洛仑兹变换”。在非相对论条件（V 2 / c2 << 1 ）下，可以得到以速度 V 运动的坐标系（ x¢,t¢ ），00与“”坐标系（ x, t ）之间的变换是：x - V0t ，u ® u¢