有价证券数学建模竞赛C题答

1、西安铁路职业技术学院第一届数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了西安铁路职业技术学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果

2、赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西安铁路职业技术学院（龙首校区） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张玉辇 （组长） 2. 张斌 3. 崔超 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 6 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：西安铁路职业技术学院第一届数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注学院统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：学院评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：有价证券投资决策优化模型摘要针对有价证券投资的决策问题，我们在充分理

3、解题意的基础上，提出合理的假设并采用了连续线性规划模型对本题进行了讨论和求解，解决了以下问题。 对于问题一，该问题的目标是有价证券回收的利息为最高，要做的决策是投资计划，即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限等条件，按照题目所求，依据决策变量、决策目标和约束条件指定0-1变量建立0-1规划模型，并用LINGO软件求得应向市政1(X1=218.18万元）、政府1（X3=736.36万元）、市政2(X5=45.45万元)投资,才能获得最大收益(Z=29.84万元)。对于问题二，在引入借贷资金的情形下我们进一步假设约束条件，建立了连续性优化模型，并与

4、问题一进行比较得出借贷资金利息比收益金额还要高，所以对于问题二用借贷资金投资是不划算的。对于问题三的税前收益发生的变动，我们又建立了线性规划模型，解得在第一种情形下投资对象不变；在第二种情形下应向市政1(X1=336万元)、政府2（X4=648万元）、市政2(X5=16万元)投资，所得的收益为（Z=29.42万元）。关键字： 证券投资 0-1规划 决策目标 连续线性规划 加权算术平均值一 、问题重述某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：一.政府及

5、代办机构的证券总共至少需购进400万元;二.所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；三.所购证券的平均到期年限不超过5年；表1 证券信息证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政（1）294.3B代办机构2155.4C政府（1）145.0D政府（2）134.4E市政（2）524.51. 若该经理有1000万元资金，应如何投资？2. 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？3. 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？二、模型假设1、假设证劵

6、税收政策、信用等级、到期年限、到期税前收益在投资年限内稳定不变；2、假设该经理投资不会受到年限过长而导致资金周转困难的影响；3、假设各证劵的风险损失率为零，无相互影响，且投资不需要任何交易费；4、假设所借贷资金的利率不变（利息等于所给的利率乘上借贷资金再乘上借贷时间）。三、符号说明符号说明单位Xi投资证劵的金额（i=1,2,3,4,5）（万元）YJ是否投资证券（j=1,2,3,4,5）（万元）Z投资之后所获得的总收益（万元）F借贷金额（万元）T借贷时间（年）S贷款利息（万元）R利润变化量（万元）表2四、问题分析根据现有的投资方式，为解决投资方案问题，运用0-1规划和连续性规划模型，根据客观条件

7、，来确定各种投资方案。利用线性规划模型，得到最优投资方案来解决已提出的问题，使该经理的投资获得最大的收益。问题1：在前面假设成立的条件下，由题目给出的限制条件（市政证券的收益可以免税；其他证券的收益按50%的税率纳税，即政府及代办机构的证券总共至少需购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4,所购证券的平均到期年限不超过5年）假设Xi (i=1,2,3,4,5)分别为证券A、证券B、证券C、证券D、证券E的投入资金,所获得的纯利润为Z，假设税前收益为年收益。对于平均信用等级和平均到期年限则需用加权算术平均值的算法求得，即用各个信用等级乘以相应的权值，然后相加，所得之和再除以所有的权之和

8、。然后建立0-1规划模型，利用LINGO软件求解。问题2：该题又引入了借贷资金，我们假设借贷资金为F万元,借贷时间为T=1。由问题2知借贷利率为2.75%，则借贷利息为0.0275F，因此需要用总利润减去借贷利息所得到的值才为该经理的纯利润。再与借贷利息相比，可以得出投入100万元所得的收益。问题3：需要分两种情形，第一种情形，在假设成立的条件下，同问题1一样，只是把A证券的税前收益增加为4.5%，同样可以得到线性优化模型。第二种情形，在假设成立的条件下，同问题1一样，只是把C证券的税前收益减少为4.8%，同样可以得到线性优化模型。五、模型的建立与求解模型建立：对于问题1：在前面假设成立的条件

9、下，由题目给出的限制条件（市政证券的收益可以免税；其他证券的收益按50%的税率纳税，即政府及代办机构的证券总共至少需购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4,所购证券的平均到期年限不超过5年）假设Xi (i=1,2,3,4,5)分别为证券A、证券B、证券C、证券D、证券E的投入资金,所获得的总利润为Z，假设税前收益为年收益。对于平均信用等级和平均到期年限则需用加权算术平均值的算法求得，即用各个信用等级乘以相应的权值，然后相加，所得之和再除以所有的权之和。我们建立了如下0-1规划模型：即 MaxZ=0.043X1*Y1+(0.0540.5)X2*Y2+(0.050.5)X3*Y3+(0

10、.0440.5)X4*Y4+0.045X5*Y5 X1+X2+X3+X4+X5<=1000S.tX2+X3+X4>=400(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5Xi >=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5 (指定0-1变量)模型整理得：Max Z=0.043X1*Y1+0.027X2*Y2+0.025X3*Y3+0.022X4*Y4+0.045X5*Y5X1+X2+X3+X4+X5<=1000S.t X

11、2+X3+X4>=4006X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0Xi >=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5 (指定0-1变量)模型求解：（LINGO程序见附录）应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=29.84万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表：表3五种证券类型最优投入的资金方法证券类型ABCDEZ投资金额 （万元）218.180736.34045.4529.84数值Y1Y2Y3Y4Y5投资对象10101由运算结果可以看出对于B证券和D证券不需要投资。对于B证券它的到期年限相对较

12、长而且还需纳50%的税率，相对于其他证券类型这显然是不理想的；对于D证券它的税前收益相对较低也是不理想的；而A证券和C证券信用等级、到期年限都是较低的税前收益也可以（A证券还可以免税）；E证券信用等级较低，但到期年限较短可以适量投资。所以我们认为这一优化模型是合理的。模型建立：对于问题2：该题又引入了借贷资金，我们假设借贷资金为F万元,借贷时间为T=1。由问题2知借贷利率为2.75%，则借贷利息为0.0275F，这样需要用总利润减去借贷利息所得值才为该经理的纯利润。我们建立了以下线性优化模型：即：Max Z=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.0440.5)

13、X4+0.045X5-0.0275F*T X1+X2+X3+X4+X5<=1000+FX2+X3+X4>=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0F<=100T=0 模型整理得： MaxZ=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.044*T X1+X2+X3+X4+X5<=1000+FX2+X3+X4

14、>=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0F<=100T=1模型求解：（LINGO程序见附录）应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=30.07万元，五种证券类型最优投入的资金方法和借贷资金如下表： 证券类型ABCDEF投资金额 （万元）240.000810.00050.00100.00表4五种证券类型最优投入的资金方法和借贷资金有结果可以看出，同问题一的运算结果一样对于B证券和D证券不需要投资。对于B证券它的到期

15、年限相对较长而且还需纳50%的税率，相对于其他证券类型这显然是不理想的；对于D证券它的税前收益相对较低也是不理想的；在增加资金投入的情况下A证券和C证券、E证券相对问题一的结果几乎是成比例增加的。因此，该模型也是合理的。比较问题1和问题2，当投资1000万元所得纯利润Z=29.84，当投资1100万元资金所得纯利润Z=30.07。即当多投资100万元时，利润多增加R=0.23万元。而借贷100万元所需要利息S=100*0.0275*1,即S>R，说明投入100万元所得的收益为负值该经理不应贷款投资。模型建立：对于问题3：第一种情形：在假设成立的条件下，同问题2一样，只是把A证券的税前收益

16、增加为4.5%，同样可以得到如下线性优化模型：即：Max Z=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型整理得： Max Z=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5

17、 X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型求解：（LINGO程序见附录）应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=30.27万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表： 表5五种证券类型最优投入的资金方法证券类型ABCDE投资金额 （万元）218.180736.36045.45第二种情形：在假设成立的条件下，同问题2一样，只是把C证券的税前收益减少为4.8

18、%，同样可以得到如下线性优化模型：即： Max Z=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.0480.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型整理得：Max Z=0.043X1+0.027X2+0.024X3+0.022X

19、4+0.045X5X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型求解：（LINGO程序见附录）应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=29.42万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表： 表6 五种证券类型最优投入的资金证券类型ABCDE投资金额 （万元）336.0000648.0016.00对于第一种情形由运算结果分析，在证券A的税前收益增加为4.5%的情

20、况下，对于X1，X3,X5的投入金额没有发生变化，只是总收益有所增加，所以该投资方案不需要改变。对于第二种运算结果分析，在证券C的税前收益减少为4.8%的情况下，对于证券投资的种类发生了变化，投资对象变为了X1(市政)、X4(政府2)、X5(市政2)，所以投资方案应改变。 六、模型的优缺点优点：1.本文采用的方法，针对投资选择可能出现的情况建立了3个数学模型，所采用的方案能够对于实际的投资选择给出相应优化，本方案具有较强的通用性。 2.本方案也具有一般性，针对生活中的连续优化问题也得到了推广，如解决农业种植、渔业养殖的优化问题。3.所建线性规划模型简单易懂，方便使用。缺点：1.本文并未考虑到在

21、金融危机发生的条件下能解决问题的方案。2.本文没有对月税前收益予以考虑。七、模型扩展仿照文中思路，该模型可容易扩展到更多的选择对象，可以应用于资本市场、风险管理，也可以解决如奶制品的生产与销售、农业种植、渔业养殖的优化问题。对于借贷资金也可以扩展到分期借贷和小额借贷的情况。对于在信用等级、到期年限、到期税前收益等因素发生变化时，解决思路相类似，但模型和求解都更复杂，可作进一步研究。 八、参考文献1、肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安：西北工业大学出版社,2008.112、姜启源等编，数学模型，第3版，北京：高等教育出版社,2003.83、Zhdkjz/16696.html源程序附录对于模型1

22、： LINGO程序如下：Max=0.043*x1*y1+0.027*x2*y2+0.025*x3*y3+0.022*x4*y4+0.045*x5*y5;x2+x3+x4>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;BIN(y1);BIN(y2);BIN(y3);BIN(y4);BIN(y5);运算结果：Rows= 10 Vars= 10 No. integer v

23、ars= 5 Nonlinear rows= 1 Nonlinear vars= 10 Nonlinear constraints= 0 Nonzeros= 35 Constraint nonz= 23 Density=0.318 No. < : 3 No. =: 0 No. > : 6, Obj=MAX Single cols= 5 Local optimal solution found at step: 6 Objective value: 29.83636 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X1 218.1818 0.0

24、000000 Y1 1.000000 2.045455 X2 0.0000000 0.0000000 Y2 1.000000 0.0000000 X3 736.3636 0.0000000 Y3 1.000000 0.0000000 X4 0.0000000 0.0000000 Y4 1.000000 0.0000000 X5 45.45455 0.0000000 Y5 1.000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 29.83636 0.6181818E-03 2 336.3636 0.0000000 3 0.0000000 0.00

25、00000 4 -0.4547474E-12 0.0000000 5 -0.2273737E-12 0.0000000 6 218.1818 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000 8 736.3636 0.0000000 9 0.0000000 0.0000000 10 45.45455 0.0000000对于模型2：LINGO程序如下：Max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-t*f*0.0275;x2+x3+x4>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000+f;6*x1+6*x2-4*x3

26、-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;f<=100;t=1;运算结果：Rows= 6 Vars= 6 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 29 Constraint nonz= 20( 11 are +- 1) DensitZ=0.690 Smallest and largest elements in abs value= 0.220000E-01 1000.00 No. <

27、 : 4 No. =: 0 No. > : 1, Obj=MAX, GUBs <= 2 Single cols= 0 Global optimal solution found at step: 10 Objective value: 30.07000 Variable Value Reduced Cost X1 240.0000 0.0000000 X2 0.0000000 0.3018182E-01 X3 810.0000 0.0000000 X4 0.0000000 0.6363640E-03 X5 50.00000 0.0000000 T 1.000000 0.000000

28、0 F 100.0000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.07000 1.000000 2 410.0000 0.0000000 3 0.0000000 0.2983636E-01 4 0.0000000 0.6181818E-03 5 0.0000000 0.2363636E-02 6 0.0000000 0.2336364E-02 7 0.0000000 -2.750000对于模型3：第一种情形：LINGO程序如下：Max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4

29、>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;运算结果：Rows= 5 Vars= 5 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 25 Constraint nonz= 18( 9 are +- 1) DensitZ=0.833 Smallest and largest elements in abs value= 0.220000E-01 1000.00 No. < : 3 No. =: 0 No. > : 1, Obj=MAX, GUBs <= 1 Single cols= 0 Global optimal solution found at step: 6 Objective value: 30.27273 Variable Value Reduced Cost X1 218.1818 0.0000000 X2 0.0000000 0.3436364E-01 X3 736.3636 0.0000000 X4 0.0000000 0.2727279E-03 X5 45.45