棱柱棱锥棱台复习课82128

1、棱柱、棱锥、棱台复习课董建钢教学目标1.理解棱柱(斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体等)、棱锥(一般棱锥、正棱锥)、棱台(一般棱台、正棱台)的有关概念；2.理解并掌握棱柱、棱锥的一般性质，掌握正棱柱、正棱锥、正棱台(尤其是正方体、正四面体)的性质；3.能够运用直线与平面的有关知识分析、论证多面体中的线面关系，并能熟练的进行有关棱柱、棱锥、棱台中侧棱、高、斜高、侧棱与底面、侧棱与侧棱、侧面与底面所成角的有关计算；4.掌握棱柱、棱锥、棱台的侧面积与全面积的计算；5.会解决棱柱、棱锥、棱台的对角面和平行于底面的截面等有关问题，能熟练的解决其各种截面中直角三角形的有关计算，能有意识地将立体几何的计算问

2、题转化为平面几何图形中的有关计算.教学重点和难点重点是能够熟练的将直线与平面的有关知识运用于棱柱、棱锥、棱台几何体中.难点是将立体几何的有关计算转化为平面几何图形中的有关计算.教学设计过程一、复习提问(用投影仪出示下列命题)例1  回答下列命题中条件是结论的什么条件(要求用充分非必要、必要非充分、充要条件作答)(1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(2)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.(3)底面是正多边形的棱台是正棱台.(4)有两个面平行且是相似的多边形，其余各个面都是等腰梯形的几何体是棱台.(该例题重点是检查学生对所学过的这三种几何体基本概念的理解与认识.故需找四名程度较差的学生作答

3、)讲评.(1)必要非充分条件.因这两个侧面可以是相对的两个侧面.(2)必要非充分条件.因正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.(3)必要非充分条件.因正棱台的侧面是全等的等腰梯形.(4)必要非充分条件.因棱台的各条侧棱相交于一点.例2  集合A=斜棱柱，B=直棱柱，C=正棱柱，D=长方体.下面命题中正确的是(   ).(A)CBD   (B)AC=棱柱   (C)CD=正棱柱  (D)BD(该例题重点是检查学生对所涉及到的这几个集合与集合中元素的理解与认识，所以在分析问题时只要用韦恩图把这几个集合间的关系清楚地表示出来即

4、可找到正确的答案C，如图1)二、应用举例例3  一个斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4.若其中一侧棱与底面三角形的两边都成45°角，求这个三棱柱的侧面积.师:请学生们回答在求棱柱的侧面积时，我们首先想什么?生:形状.(即是什么样的棱柱，是直棱柱还是斜棱柱)师:考虑完形状后干什么?生:找计算方法.若是直棱柱，利用公式S侧=C·L(其中C是底面周长，l为棱长)直接计算.若是斜棱柱，利用公式S=C直·L(C直是直截面的周长，l是棱长)求其侧面积.此外还可以求各侧面面积之和.师:下面我们按照上述两种方法分别计算这个棱柱的侧面积.解

5、法一:如图3，作A1H平面ABC于H.因为A1AB=A1AC，易证点H在BAC的平分线上.又ABC是正三角形.所以AHBC.由三垂线定理有BCA1A，又A1AB1B，因此BCB1B.故侧面B1BCC1是矩形.所以  S=2×5×4sin45°+5×4        =20+20.解法二:如图4，作BEA1A于点E，连接CE.则易证ABEACE.所以CEA1A.所以A1A截面BCE，故截面BCE为棱柱的直截面.BE=CE=.所以所求侧面积为S侧=CBCE·A1A=20

6、+20.例4  已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为60°，求它的高、侧棱长及相邻两侧面所成的二面角大小.师:正三棱锥有什么特征.生:顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心.(即内心、外心、重心、垂心)师:由此我们得知:这个正棱锥的高为顶点到底面射影的连线，故解决问题的关键是设出该棱锥的底面中心.解:如图.设点O为顶点在底面上的射影.因该棱锥为正三棱锥，所以O为底面正三角形的中心.连接SO、CO并延长CO交AB于D，连接SD，则CDAB于D，SDAB于D.(三垂线定理)所以SDC是侧面SAB与底面ABC所成二面角的平面角，即SDO=60°

7、.因为  ABC是正三角形，且AB=a.因此  CD=a,CO=A.故  SO=OD·tg60°=a.SC=a.作BESC于E，连接AE，显然ACEBCE，有AESC，故AEB是三棱锥S-ABC相邻两侧面所成二面角的平面角.因为  SD=a,BE·CS=SD·AB，因此  BE=AE=，所以  cosAEB=.所以该三棱锥S-ABC的高为，侧棱长为a，相邻两侧面所成的二面角为arccos. 讲评:一个三棱锥只要知道两个独立的条件，即两个独立的量(如此例中底面边长及侧面与底面所成的二面角60

8、76;)，就可以求出其它的各个量，计算中充分利用正棱锥的性质、通过高、侧棱、侧棱在底面上的射影所组成的直角三角形、以及高、斜高及斜高在底面上的射影所组成的直角三角形、沟通了正棱锥的高、侧棱、斜高、底面的边长之间的关系，从而也沟通了立体图形向平面图形转化的桥梁，体现了化归与转化的基本思想.例5  正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.师；正棱台是什么样的图形?它是怎样形成的?生:上下底面是相似的正多边形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧棱相交于一点.正棱台是由正棱锥被平行于底面的截面截得的.师:通过上面的分析，解决该问题通常有两种方法.

9、其一是从图形特征来解.(见解法一)其二是由锥、台之间的关系来解!称之为“还台为锥”.解法一:如图7，设O1，O为上下底面正三角形的中心，连接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO交AB于D.连接D1D.易证A1O1B1C1，ADBC，D1DBC，过A1，D1分别作A1E底面ABC，D1F底面ABC，易证E、F在AD上.因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面的45°的二面角，所以D1DA=45°.因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD=b,A1D1=a.所以  A1E=O1O=D1F=FD=×b-×a=

10、 (b-a).AE=×B-×a= (b-a).所以  tgA1AE=.解法二:如图8，延长AA1，BB1，CC1，则AA1，BB1，CC1相交于一点S.显然点S在DD1的延长线上.由解法一得知，SDA为二面角S-BC-A的平面角，故SDA=45°.所以  在RtSOD中，SO=OD，因为  AO=2·OD，所以  tgSAO=.讲评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质解决棱台问题时是一种快捷方便的方法.三、课堂练习练习1  正三棱锥的高为h，侧面与底面成60°的二面角

11、，求它们全面积.解:如图9，作三棱锥V-ABC的高VO，过VA和VO的平面交底面ABC于AD，交侧面VBC于VD.因为O是底面正三角形的中心，所以ADBC.因此由三垂线定理得VDBC.故VDA就是侧面与底面所成角的二面角的平面角，即VDA=60°.所以在RtVOD中，有OD=VO·ctg60°=h,VD=2·DO=h.又在RtABD中，有AD=3·OD=3h，AB=AD·CSC60°=2h，所以  S全=S底+S侧=AB·sin 60°+ (3·AB)·VD= (2h)

12、15; +×6h×h=3h.讲评:抓住O是底面正多边形的中心这个关键，由已知元素h，(侧面与底面所成的二面角)通过解直角三角形求出其它元素，最后代入面积公式进行计算.练习2  正三棱锥V-ABC的底面边长和高都是4，它的内接正三棱柱的侧面是正方形，求棱柱上底面A1B1C1截棱锥所得的三棱台ABC-A1B1的面积略解:如图10设棱长为x,则O1O=x，A1O1=x.因为A1O1AO=VO1VO，所以x=2.因此棱台的斜高为，上底面边长为2，所以=3× (2+4)× =78. 四、小结深刻理解棱柱、棱锥、棱台的基本概念和各元素之间的关系，

13、对于特殊的柱、锥、台中计算、证明问题需借助“立体几何”第一章中有关线面，面面间关系以及涉及的几何体本身的性质和定义来解决，对于平行于底面的截面性质定理及其应用，必须注意各元素间的关系以及<棱锥中特征直角三角形的利用.它们是将空间中的问题转化为平面图形问题的桥梁.关于棱台的截面问题通常是“还台为锥”，利用棱锥的截面性质来解决，同时还要注意利用公式及棱台中特征直角三角形和直角梯形.它们是联系关系式中未知量与题目中所给几何图形中的元素间关系的纽带.五、作业(1)斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=10cm，BC=12cm,A1到A，B，C三点的距离相等，AA1=13cm,求斜三棱柱的全面积.(2)如图11，正四棱锥的棱长均为a，(I)求侧面与底面所成角的大小；()求相邻两侧面所成二面角的余弦值.(3)如图12，棱台上、下底面面积为a2,b2,过高的两个三等分点作平行于底面的两个截面，求两个截面面积.(4)如图13，正三棱锥V-ABC的底面边长和高都是4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积.课堂教学设计说明学习完棱柱、棱锥、棱台这几种几何体之后，由于涉及到的基本概念、基础知识较多.它包括了柱、锥、台的