正四面体截面个数

1、正四面体的截面个数上海市嘉定一中徐泼立体几何中基于特殊多面体的习题与试题已屡见不鲜。正四面体正是这样一个基 本的几何体。本文就正四面体的截面个数问题做一些初浅的探讨。（一）与距离有关的截面问题例1：到正四面体四个顶点距离都相等的平面的个数是 。解：第1种情况，取AB、AC、AD的中点E、F、G,则平面EFG满足条件。像这样 三顶点在截面的一侧而第四个顶点在截面的另一侧的截面共有4个。（如图1）第2种情况，取 AB、AC、CD、BD的中点H、I、J、K，则易证明平面 HIJK是 满足条件的截面。像这样其中有两个顶点在截面的一侧而另外两个顶点在截面的另一 侧的截面共有3个。（如图2）故符合题意的截

2、面个数为 7。AD图1AD图2拓展：1）考虑题中A、B、C、D四个点如果不是正四面体的四个顶点也有同样的结论。故对此题稍作推广，即可得：到空间不共面的4个点A、B、C、D距离相等的平面个数为7个。2） 另外，可将此题第 1种情况理解为空间不共面的 4个点A、B、C、D中，三 个点到截面距离相等，另外一个点到截面的距离与前三个点到截面的距离之比为1:1。 于是考虑可作另一种推广，如例 2。例2：正四面体的四个顶点 A、B、C、D，考虑具有如下性质的平面:A、B、C、D中有三个点到:距离相等，另外一个点到 :-的距离是前三个点到:的距离的两倍，这 样的平面o的个数是。图3解：第种情况，截面平行于底

3、面。如图3，在AB、AC、AD上各取点E、F、G，使得AE : EB=AF : FC=AG :GD=2 :1。易证明截面 EFG满足条件。像这样的截面共有 4个。 另外，如图4，可以在AB、AC、AD的延长线上分别取点H、I、J，使得AB : BH=AC : CI=AD : DJ=2: 1。易证明截面 HIJ满足条件。像这样的截面也共有 4个。所 1种情况中，满足条件的截面共8个。2种情况，截面不平行于底面，其中三点在截面的一侧，第四点在截面的另一以在第 第 侧。图5如图5，在BC、CD上分别取中点 K、AC上取点 M，使得 AM :MC=2 : 1。截面OPQ与截面RST都满足条件。A、B、

4、C,A、C、D,B、L,在容易证明截面 KLM满足条件。同样如图6、图 以上三种情况都是 A、B、D三点在截面的同侧。C、D在截面的同侧时也各有三个截面。所以，第 件的截面。第3种情况，截面不平行于底面，其中两点在截面的一侧，另外两点在截面的另 一侧。乙同理，还有当2种情况中，共有3 4=12个满足条图9D如图 8，取 BC、CD 中点 V、X，在 AB、AD 上分别取点U、Y，使得AU :UB=AY :YD=2 :1。易证点 A到截面UVXY的距离与 B、C、D到该截面的距离之 比为2:1。图9、10、11中的截面分别表示点 B、C、D到截面的距离是其余三点到截 面距离的两倍。所以，当棱 A

5、C与BD在截面的两侧时，共有 4个满足条件的截面。在第3种情况中，除了棱 AC与BD在截面的两侧，还有 AD与BC在截面异侧， AB与CD在截面异侧，共三种情形。故第3种情况中，共有满足条件的截面个数为4 3=12 个。综上所述，共有满足条件的截面32个。拓展：1）如果题中A、B、C、D四个点不是正四面体的四个顶点也有同样的结论。2） 空间不共面四点 A、B、C、D中，三个点到截面距离相等，另外一个点到截面的距离与前三个点到截面的距离之比若为k: 1 （k>1），或改为m:n（不妨设m>n>0），则也应有同样结论。（二）与角有关的截面问题例3：过正四面体ABCD的顶点A作一个

6、形状为等腰三角形的截面，且使得截面与底 面BCD所成角为75，则满足要求的不同截面个数为解：设点A在底面BCD内的射影为点 0。在正四面体中易求得侧棱与底面所成的角的大小为V3arccos，3侧面与底面所成1面角的大小为 arccos。3图12C图13第1种情况，截面与棱平行。如图12，等腰三角形 AEF中，AE=AF。如图所示，截面AEF与底面BCD所成二面角的平面角为 .AHO。由于OH<OD，于是就有.AHO >. ADO =arccos 3，那么.AHO就可以取到75。像这样的截面共有33个。如图13，等腰三角形AEF中，AE=AF。如图所示，截面AEF与底面BCD所成二1

7、面角的平面角为 ZAHO。由于OH<OG，于是就有.AHO AGO = arccos ，那3么.AHO就可以取到75 。像这样的截面也共有 3个。图14第2种情况，如图14,等腰三角形 AEC中，AE=EC。作OH垂直于EC垂足为H。由三垂线定理可得AH也垂直于EC。于是乙AHO即为截面AEF与底面BCD所成1 面角的平面角。由 OCG>. OCH，得 OG>OH，则有.AHO> AGO= arccos。3那么.AHO就可以取到75。像这样的截面共有 6个。第3种情况，如图15，等腰三角形 AEF中，AE=AF，但截面与棱不平行。取 EF中点H，则EF与AH垂直。截面AEF与底面BCD所成二面角的平面角即为 AHO。 由于 H点在底面三角形BCD 的内部，于是就有OH<OD ，则4