考研数一真题及解析

1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )(1). 2x -x dx = 曲面x2 2y2 3z2 =21在点1, -2, 2的法线方程为 微分方程xy" 3y0的通解为无解，则1 2已知方程组 23'J a设两个相互独立的事件 A和B都不发生的概率为1-,A发生B不发生的概率与B发9生A不发生的概率相等，则 P(A)二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且

2、f '(x)g(x) - f(x)g'(x) ：0,则当 a ： x : b时，有()(A) f(x)g(b)f(b)g(x)(B) f (x)g(a) f (a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b)(D) f(x)g(x)f(a)g(a) 设S :x2 y2 z2二a2(z _0), S|为S在第一卦限中的部分，则有()(A) 11 xdS = 4 I ixdS(B) 11 ydS = 4 11 xdSsqss(C) 11 zdS = 4 ! xdS(D) 11 xyzdS = 4 ! xyzdSSSSSQ0设级数a Un收敛,则必收敛的级数为()n =1ooQO

3、ooO0n(A)迟(T)u n(B) ' Un2.(C) 7 (U2n -U2n).(D)、(Un 一 un 1)n吒nn ¥nmnm设n维列向量组 r,m(m ： n)线性无关，则n维列向量组 ，冷线性无关的充分 必要条件为()(A)向量组1,，可由向量组'1 ,厂m线性表示(B) 向量组-1,，-m可由向量组-：*，,-：im线性表示(C) 向量组>1,与向量组：1,:m等价.(D)矩阵A*,打与矩阵B十，f等价.(5)设二维随机变量 X，丫服从二维正态分布，则随机变量=X Y与 二X-Y不相关的充分必要条件为()(A) E(X)=E(Y).(B) E(X2

4、)-E(X)2 =E(Y2)-E(Y)f.(C) E(X2)=E(Y2).(D) E(X2 E(X)f = E(Y2lE(Y)2.(本题满分5分)求limx_012 ex4J+ex四、(本题满分6分)02zg具有二阶连续导数，求一ccy设z = f,y,°'+gi° ,其中f具有二阶连续偏导数,I y丿 V丿五、(本题满分6分)计算曲线积分Ixd暮-彎,其中l是以点1,0为中心，R为半径的圆周 R >1，L 4x y取逆时针方向.六、(本题满分7分) 设对于半空间x 0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有r2x11 xf (x)dydz - xyf (x)dzdx

5、 - e zdxdy = 0,其中函数f (x)在(0, +：)内具有连续的一阶导数，且Am f（x）=1,=求 f（X）七、(本题满分6分)求幕级数n =413n （-2）n的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体，F?是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点 到P距离的平方成正比(比例常数k=0),求球体的重心位置九、(本题满分6分)设函数f (x)在0,二 I上连续，且 ° f (x)dx = 0, ° f (x)cosxdx = 0,试证：在(0,二)内至少存在两个不同的点, 2,使f （ J = f2）=0.十、（本

6、题满分6分）设矩阵A的伴随矩阵,且ABA=BA+3E,其中E为4阶单-3位矩阵，求矩阵B .1然后将-熟练工支援其6卜一、（本题满分8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核2Xn, yn记成向有2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为5量.(1)求y与g丿的关系式并写成矩阵形式:Xnyn丿-10A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;2时，求1三十二、（本题满分8分）某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p 0 ： p : 1 ,各产品合格与否相互独立，当出现

7、一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X ,求X的数学期望E X和方差D X .十三、（本题满分8分）设某种元件的使用寿命X的概率密度为f (x；B)2e“xq0,其中二0为未知参数，又设 xx2，,人是X的一组样本观测值，求参数 二的最大似然估 计值.2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题【答案】【详解】=2x- ?dx= f J1(x1)2dx解法1：用换元积分法：设x_1=si nt，当x=0时,sint=1，所以下限取'；当x=12时,si nt =0 ,所以上限取0 .x X=sint所以 I0J /cost costdt由于

8、在区间/，函数cost非负，则02-27：- cos tdt 2 cos t:-204解法2:由于曲线y = 2x -x2 = 1 -(x-1)2 是以点(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆周，它与直线1X =1和y =0所围图形的面积为圆面积的，故答案是4x1【答案】y 2 z_2-46【详解】曲面方程F(x,y,z)=0在点(X0，y°,z0)的法矢量为:n =Fx(x°, y° ,Z0),Fy(x°, y°, Z0), Fz(X),y°, Z)令 F(x,y,z) =x2y2 3z2 -21,则有Fx' 1,-2, 2=

9、2x| 1, -2, 2 二 2,Fy' 1,-2, 2= 4y|1, -2, 2-8,Fz' 1, -2, 2= 6z|1, -2, 2= 12.所以曲面在点(1,-2,2)处的法线方程为:x 1y 2 z-2.即-812x1-4【答案】y =C2x【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于yJf(x, y')型的微分方程.【详解】令p二y'，有ydp 原方程化为:dx3p=0, =虫 3卫=0dxdx x分离变量:dpdx两端积分：= -3In p = -3ln x+G px从而|p =6呵怦=eC£nx uefeC1 xC因记C2二eC1 0是大

10、于零的任意常数，上式可写成p 2 ；xC记C二C2，p 3，便得方程的通解 p = C3X，x即 dy =C3X= dy =C3x"dx，其中C3是任意常数dx对上式再积分，得：y = C3X dx C2 C4,xC5所以原方程的通解为：C1 y= 1 C2x【答案】1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有_1 21j211 123a+2:3->0-1a1a-2-:0 一L0a 2_3t121:1T 0-1a:100 (a-3)(a+1) a-3一3,根据方程组解的判定，其系数矩当a = -1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为 阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解当a = 3时，

11、系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2,由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增 广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解(5)【答案】2 3(由代B独立的定义：P(AB) = P(A)P(B) A 【详解】由题设，有 P(AB) = ,P(AB) =P(AB) 9因为A和B相互独立，所以 A与B，A与B也相互独立于是由p(Ab= FT AB)有 P(A)P(B) =P(A)P(B)即有 P(A) I1P(B) I - U-P(A) P(B),可得 p(a)=P(B) , P(A)=P(B)从而 p(AB)=p(A)p(B)=p(A)】i_p(A)f J,-92解得 P(A) .3二、选择题

12、(1)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数题设中已知f (x)f'(x)g(x) - f(x)g'(x) : 0,想到设函数为相除的形式.g(x)【详解】设 F(x)仝，则 F(x)'(x)g(x)2-f(x)g'(x) gg(x)g2(x)则 F(x)在 a ： x : b 时单调递减，所以对 -a ： x ： b，F(a) F(x) F(b)，即f(a) f (x) f(b) g(a) g(x) g(b)得 f(x)g(b) f (b)g(x), a ： x : b，(A)为正确选项【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇

13、偶性和对称性的性质有：若f (x, y,z)关于x为奇函数 若f (x, y, z)关于x为偶函数性质1设f(x,y,z)在分块光滑曲面 S上连续，S关于yoz平面对称，则°f(x,y,z)dS 二 2 f(x,y,z)dSS ，其中 S = S ' x _°.性质2：设f (x,y,z)在分块光滑曲面 S上连续，S关于xoz平面对称，则°若f (x, y,z)关于y为奇函数.f (x,y,z)dS 二 2 f (x,y,z)dS若f (x, y, z)关于 y为偶函数S性质3：设f (x,y,z)在分块光滑曲面S上连续，S关于xoy平面对称，则0若f (

14、x,y,z)关于z为奇函数! f (x, y, z)dS 二 2 11 f (x, y,z)dS 若f (x, y, z)关于 z为偶函数sL s其中 S =S - z _0.【详解】方法1直接法：本题中S在xoy平面上方，关于yoz平面和xoz平面均对称，而f(x, y,z)=z对x, y 均为偶函数，则性质1性质2zdS = 2 zdS = 4 zdSsS -x _0S1又因为在S,上将x换为y , y换为z， z换为x， S1不变(称积分区域S1关于x, y,z轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有4 zdS =4 xdS =4 ydS.选项(C)正确.S1 S

15、方法2:间接法(排除法)曲面S关于yoz平面对称，x为x的奇函数，所以 xdS=0，而 xdS中x_0且 s'S；仅在yoz面上X = 0，从而 xdS - 0， (A)不成立S1曲面S关于zox平面对称，y为y的奇函数，所以.ydS = 0 ,而 xdS 0，所SS'以(B)不成立曲面S关于zox平面对称，xyz为y的奇函数，所以iixyzdS = 0,而 d 0，SS1所以(D)不成立0设级数7 Un收敛，则必收敛的级数为()n =1(B)v Un2.n A(D) v (Un -Un 1).n =±n Un® -1n m nQO(C)、(U2n4 -U2

16、n).n =±【答案】D【详解】方法1：直接法由7 un收敛，所以V Un1也收敛由收敛级数的性质（如果级数7 un、nJngn 4QOoovn分别收敛于s、匚，则级数7 un _Vn也收敛，且其和为s_；）知nJnJcooQco三,：Un - Un -t Un '二 Un .1 选项(D)成立. nnn£方法2:间接法找反例：(A):取 Un =(-1ln1 n，级数V un收敛,n 4旳u00、(-1)n(-1)n nnnJ1nln(1 n)是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果:QOZn=1匚 收敛(n 1)ln p(1 n)发散(1、n： ：: : 1(

17、B):取Un -，级数7 un收敛，V U,八，发散;*nn 1nn：1n(C):取 Un(J)"od，级数7 Un收敛，但n AU2n d ' ' U2n丄丄2n1 2n4n112n(2 n -1) nQO由比较审敛法的极限形式知，级数 '、' （U2nj -U2n）发散n A【答案】（D）【详解】用排除法（A）为充分但非必要条件：若向量组-：»,-：£可由向量组：1,厂m线性表示，则一定可推导，：m线性无关，因为若,，'m线性相关，则r：S,-：m : m,于是m 必线性相关，矛盾但反过来不成立，如当 m =1时，r =

18、（1,0）T, 1 =（o,1）T均为单个非零 向量是线性相关的，但r并不能用 打线性表示（B）为既非充分又非必要条件：如当m = 1时，考虑1 =（1,0）T, ：1 r（0,1）T均线性无关，但并不能由«1线性表示，必要性不成立；又如 =（1,0）丁，宫=（0,0）T,可由6线性表示，但'-1并不线性无关，充分性也不成立(C) 为充分但非必要条件：若向量组 1,，与向量组：1,：m等价，由1,，线 性无关知,r 、，, '-m二r宀，：m二m,因此：仆，：m线性无关，充分性成立；当 m =1时，考虑M =(1,0)T, ' (0,1)T均线性无关，但：1与

19、»并不是等价的，必要性不成立(D) 剩下(D)为正确选项事实上，矩阵A二,：m与矩阵B二-1-, -m等价？r A =r B ? r九，：m ：4,，m l=m,因此是向量组 ，：m线性无关的充要 条件 【答案】B.【详解】'和不相关的充分必要条件是它们的相关系数由协方差的性质：cov(aX bY,Z) =acov(X,Z) bcov(Y,Z)故 Cov ,=Cov X Y,X -丫= Cov X,X -Cov X,Y CovY,X -Cov Y,Y二Cov X,X -Cov Y,Y =D X -D Y可见 Cov ，十0= D X -D Y=0= D X i=D Y-E(X

20、2I.E(X)Ne(Y2I.E(Y)2(由方差定义 DX =EX2_(EX)2)故正确选项为(B).1三【分析】由于极限中含有e°与x ,故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在【详解】lim30 f1f12+exsinx=lim2+exsin x+44|xxJ十ex)J十exJ二十1 ；1lim 0 +2+exJ +exsin x+Ixl=limo+2 exJ+exsin x+x= 0 1=1左极限与右极限相等，所以12 ex4sin xJ+ex+|x|四【详解】根据复合函数的求导公式，有.:zfy f2' - g'

21、;y f2'IF22g'-氛x爲也+f；2&y+叫5宀停舟 tr 1、.1 (yFr (1 f2 12+ giJ2-2< y丿x Ix丿Ix丿五【详解】方法1:(复连通条件下的封闭曲线积分 )设：(1) L1与L2是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向，(2)在L1与L2所包围的有界闭区域 D1与D2的内部除一些点外，P(x, y)与Q(x, y)连续并具有连续的一阶偏导g =沪:x;y则P(x, y)dx Q(x, y)dy = :| P(x, y)dx Q(x, y)dy解：以点1,0为中心，R为半径的圆周的参数方程是：x =1 Rcosv,y二Rsin

22、v ,逆时针方向一周为从t =0到t =2二，代入曲线积分II 4x y由于分母很繁，计算不方便由曲线封闭，可以考虑使用格林公式，但在L所包围的区域内部有点0(0,0)，该点处分母为0，导致被积函数不连续，格林公式不能用记 P = -n , Q =4x + y4x2 y2FP,且 P(x, y)与 Q(x,y)满足-= exy2 4x2jQ2 2 24x y(x, y) =(0,0) 作足够小的椭圆:L- ；I。,？二,。取逆时针方向)，y = ；si nt于是L与Li及函数P(x,y)与Q(x,y)满足 分析”中所述定理的一切条件,xdy - ydx4x2 y2而后一积分可用参数法计算xdy

23、 - ydx1 l 4x2 y2zzcost ； cost - ； si nt(-si n t)22dt1 2z2dt 皿4x2 y2方法 2：记 P =Jy o ,Q 召右，贝=0 , (x,y) = (0,0).在 L 内加 L,:4x + yexcy椭圆4x2 +y2 = g2的顺时针方向，则xdy - ydx xdy - ydxL Li 4x2 y2Li 4x2 y2D 0dxd八 L1 4x2 y2xdy ydx (D 由 L 与 Li 所围)1 1 2 2 2 xdyydx = p JJ2dxdy( D1 : 4x +y < ® )；L1； D1六【详解】由题设条件

24、，可以用高斯公式：2 x0 xf (x)dydz-xyf (x)dzdx-e zdxdy=土 川 xf '(x) + f (x) - xf (x) -e2x dv其中Q为S所围成的有界闭区域，当S的法向量指向0外时，土”中取 竿”；当S的法向量指向门内时，“ ”中取“-”.由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数2x即 xf'(x) f(x)-xf(x)-e =0,(x0)变形后得f '(x) +|_ _1 |f(x>-e2x,(>0) lx丿x2x这是一阶线性非齐次微分方程,利用一阶线性非齐次微分方程3 P(x)y =Q(x)的通解公式:dx(x)dxd

25、x C_P(x)dxP (JQ(X)e其通解为Rl)dx f(x)=ex2xe e x1 dxdx Cx-e2x xedx C =e xx ex C由于lim丄f (x) = lim0 十I*e2x +Cex=1,故必有 xirme2x Cex 二0 ,(否则不能满足极限值为1)，即C 1 =0,从而C = - 1.因此f(xe- ex -1 .x七【定义概念】幕级数cO人-na“xn=0|3n (-2)n n3n 1(-2)n 1 (n 1)二 limx ；：討(n。31 (qQ=匚其中an,an .1是幕级数"anXn的相邻n=0两项的系数，则该幕级数的收敛半径 P0PR= P

26、= 00P =i开区间(-R,R)叫做幕级数的收敛区间【详解】所以收敛半径为R = 3，相应的收敛区间为-3,3 .当x =3时，因为3n1 1 1,jm13n (-2)nn_1+2fn '32n:1且丄发散，由比较审敛法的极限形式，所以原级数在点x =3处发散;n $ n当x = -3时，由于(-3)1 心)+丫3n (-2)n n 3n - (2)n2n3n - (-2)nnn1(2)n 一一1 n 3n - (2)nod1送（_1 ）丄是收敛的又因n 4n再由&n -1收敛,3根据比较审敛法知qQ J收敛于是三I n1 3(-2)n(-3) n分别考虑两个级数，级数2 n

27、nn2J>3 丿."G3n+(-2)n n( 2-n 13 丿1+ -I 3丿收敛，所以原级数在点 x = - 3处收敛所以收敛域为-3,3）.八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点P0作为坐标原点，相应的有两种求解方法X方法1记所考虑的球体为则球面方程为：2 2 2 2x+y +zR，点P的坐标为（R,0,0 ），设Q的重心位置为Q,以Q的球心为坐标原点 0,射线0P。为正x轴建立直角坐标系,（x,y,z）,由对称性，得y =0,z = 0,设丄为门上点（x,y,z）处的密度，按

28、题设-k X _R 2 y2 z2，则! xdVIII X k x R 2 y2 z2 dV2 y2 z2 dVx二.JdVk x-R。Q LMk（x-+y2+z21dV! k x2 y2 z2 R2 dV - 2k i zdVQQ二k 11 ix2 y2 z2 dV k iii R2dV-0（利用奇函数的对称性）QQ二 R5R4 k= 8k02 02 .0r r sin dr §（利用奇偶函数的对称性轮换对称性-球体体积公式）-至sin d R2 0 0r4dr 坐二 R53二 8kf 5、f2sin Qd® J0cI5 /0（牛-莱公式）=8k 25-cos5.0二 R

29、5（牛-莱公式）5= 4R_.4_r5531522kx x-R y二 kiii x（x2y2Q其中第一个积分的被积函数为z2 dV又由于关于x, y,z轮换对称,z2 R2） -2kRGx2dVQz的奇函数，i 对称于xOy平面，所以该积分值为零, 所以.z2dV 二x2dV!：y2dVQQQ从而z2）dVE:&0d2 fg 古R5于是111 kx x - R i 亠 y2 z2 dV - -2kRR5 -坐二 R6豈-1515 RR故x.因此，球体Q的重心位置为（，0,0）44方法2:用Q表示所考虑的球体，O表示球心，以点 P选为原点，射线P0O为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为

30、x2y2z2 =2Rz,设Q的重心位置为（x, y, z），由对称性，得x = 0, y = 0 ,设为l】上点（x, y, z）处的密度，按题设- k |x2 y2 - z2所以!>JdVkz X2 y2 Z2 dVz 二in'-dV hi k x2 y2 z2 dV因为-2Rcos门 x2y2z2 dV= 4 02dS2d0r2 r2 sin dr = 32二 R515zx2y2 z2Q2Rcos :dV =4 2d 2dr5sin cos dr“00 0二64 二 R63”82COS7sin ：d =- R603故z=5R.因此，球体Q的重心位置为（0,0,坐）.44九【证

31、明】方法1令F(x)二f (t)dt,0 乞 x 乞二，有 F (0) = 0,由题设有 F (二)=0 又由题设 ：f (x)cosxdx = 0，用分部积分，有二 F(x)cosx0 o F (x)sin xdx 二 o F (x)sin xdx由积分中值定理知，存在三(0,二)使0= 0 F(x)sinxdx = F( )sin(二-0)因为：(0,二),si n =0，所以推知存在-(0,二)，使得F)= 0.再在区间0,与二上对F(x)用罗尔定理，推知存在(0, )，2 (.)使F ( i) =0,F ( 2) =0，即 f ( J ",f( 2) =0IT方法2：由f (

32、x)cx 0及积分中值定理知，存在(0,二)，使f( J=0.若在区间(0,二)0内f (x)仅有一个零点1，则在区间(0, 1)与(1,二)内f(x)异号不妨设在(0, i)内乂兀兀亠f (x) >0，在(J 町内 f (x) c0.于是由 J0 f (x)dx = OJ0 f (x)cosxdx= 0，有JIT迟丁迟0= o f(x)cosxdx- p f (x)cos 曲 二 o f (x)(cosx-cos 1)dxi二f (x)(cosx-cos Jdx 亠 i. f (x)(cosx-cos 1)dx0 1当 0 ：X ：: 1 时，cos( cos， f(X)(COSX-C

33、OS ) 0 ；当 1 ： x ：:二时， cosx ： cos，仍有 f (x)(cosx-cos J 0，得到：0 0.矛盾，此矛盾证明了 f (x) 在(0,二)仅有1个零点的假设不正确，故在 (0,二)内f(x)至少有2个不同的零点十【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘 A，再左乘A*，尽量不去计算 A，【详解】 方法1：由AA=A A=|Ae,知A=|A ,因此有8 = A =|A ,于是|A| =2，所以 A*A=2等式 ABA BA4 3E 两边先右乘 A，得ABA，A = BA，A 3EA再左乘 A*，得A* A B

34、 A1 A *A BA A 3* A E A化简=|A|BE 二 A*BE 3A*A= 2B = A*B 3| A|E=2B 二 A B 6E二 2E-A B=6E,'I=60-1Of00-6（由初等变换法求得）方法2: A =2（同解1），由AA = A A =AE,* A* A.A = A(A) =2( A) =2（由初等变换法求得），可见A-疋，由 A-E BA=3E,因此1_2B =3方法3:由题设条件ABA4000160100-10-1E为逆矩阵=3 A-E000312一一 04rBA"1 3E ,知：A-E , B均是可逆矩阵，且A,而101000-2010010

35、0014°0603006001001得 A-E BA =3E.A4 A-E-4_1 -1=3 E-A,e a*I |a|A =8，得 A = 2 故/* A,L A"2 E _ A*、E -=3 < 2丿< 2丿其中n = 4,B =36 2E - A其中*2E-A -所以卜一【详解】0【00-6* -J2E - A10|11(1)由题意，一x60 10 00 6 0 0)=6-10 106 0 6 003 0-6_I0 3 0 -1一10 600000B = 6 2E - A*n - Yn是非熟练工人数,2 15 6XnYn是年终由非熟练工人5变成的熟练工人数，-Xn是年初支援其他部门后的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列6出等式(1)，根据年终非熟练工人人数列出等式得可见521Xn6Xn 5 6Xn Yn3(1)Yn 1Xn Yn5 16yn丨_9Xn1 F和1“10Xn2535YnYn(1)Yx1一103Xn十5/ 、'9_2 '/'sXn +105XnJn十3<Yn><105丿即Yn_ 5_9101<10把，口 2作为列向量写成矩阵的形式(1, 2)，因为其行列式4-111(l, 2)= 5 = 0矩阵为满秩，由矩阵的秩和向量的关系可