考研数三(1987-1997年)历年真题

1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)若函数f (x)11 x2(1)设 y f (lnx)ef(x),其中 f 可微，则 dy 2 1 1.1 x o f (x)dx ,则 o f(x)dx 差分方程yt 1 yt t2t的通解为_ 2 2 2 若二次型f(X1,X2,X3) 2X1 X2 X3 2x2 2X3是正定的,则t的取值范围是_ . 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32)而X1,L ,X9和笔丄，丫9分别是来自总体 X和丫的简X I X单随机样本，则统计量U 9服从 布(2分),参数为.A2

2、 L 丫92、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的 字母填在题后的括号内)(1)设函数f (X)COSX2sin t2dt,g(x)0 时,f (x)是 g (x)的(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小若 f( X) f(x)(x ),在(,0)内 f (x)0 ,且 f (x)0 ,贝y 在(0,)内有(A) f (x)0,f (x)0(B) f (x)0, f (x)0(C) f (x)0,f (x)0(D) f (x)0, f (x)0(3)设向量组i, 2, 3线性无关，则下列向量组

3、中，线性无关的是(A)12 ,23 ,31(B)12,23,1223(C)1 2 2,2 2 33 ,331(D)1 2 3,2 13 222 3,3 1设A, B为同阶可逆矩阵，则(A) AB BA(C)存在可逆矩阵C,使CT AC B(5)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布PY11，则下列各式中成立的是21(A)PXY2(C)PXY0 145 25 3()(B)存在可逆矩阵P,使P 1AP B(D)存在可逆矩阵 P和Q ,使PAQ B1P X 1 P Y 1, P X 12()(B) P X Y 11(D) P XY 1-4三、（本题满分6分）在经济学中，称函数1Q（x） A K x （

4、1 ）Lx X为固定替代弹性生产函数，而称函数Q AK L1为Cobb-Douglas生产函数（简称C D生产函数）.试证明：但x 0时,固定替代弹性生产函数变为C D生产函数，即有lim Q（x） Q .x 0四、（本题满分5分）f（x,y,z）有连续偏导数,yy（x）和z z（x）分别由方程exy y0 禾口 ex xz-J.0所确定，求一.dx五、（本题满分6分）一商家销售某种商品的价格满足关系p 70.2x（万元/吨）,x为销售量（单位：吨）,商品的成本函数C 3x 1（万元）.（1）若每销售一吨商品，政府要征税t （万元）,求该商家获最大利润时的销售量;(2) t为何值时，政府税收总

5、额最大六、(本题满分6分)设函数f (x)在0,)上连续、单调不减且f (0) 0，试证函数1 x-otnf(t)dt,若x 0, F(x) x 00,若 x 0,在0,)上连续且单调不减(其中n 0).七、(本题满分6分)2从点R(1,0)作x轴的垂线，交抛物线y x于点Q(1,1);再从Q!作这条抛物线的切线与 x轴交于F2,然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列的点R,Q!；P2,Q2；L ；Pn,Qn；L .(1) 求 OR ；(2) 求级数 Q,P Q2F2 LQnPn L 的和.其中n(n 1)为自然数，而MM?表示点M!与M?之间的距离八、(本题

6、满分6分)设函数ft在0,)上连续，且满足方程f(t) e"f(：、. x2 y2 )dxdy,求 f (t).x2 y2 4t22九、(本题满分6分)设A为n阶非奇异矩阵为n维列向量,b为常数记分块矩阵tA0 ,Q其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵(1)计算并化简PQ ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是tA 1 b.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3 ；矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是i ( 1, 1,1)T, 2(1, 2, 1)T.(1)求A的属于特征值3的特征向量;求矩阵A.(本题满分7分)11假设随机变量 X的绝对值不大于1

7、; PX 1-,PX 1;在事件84 1 X 1出现的条件下，X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比试求X的分布函数 F (x) PX x.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行假设一游客在早晨八点的第 X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差1996年全国硕士研究生