202X年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件4北师大版选修1_1

1、学习难点：学习难点：双曲线标准方程推导过程中的化简双曲线标准方程推导过程中的化简.学习目标：学习目标：1.了解双曲线的定义及几何图形；了解双曲线的定义及几何图形；2.掌握双曲线的标准方程的两种形式掌握双曲线的标准方程的两种形式；3.学会利用定义去求解双曲线的标准方程学会利用定义去求解双曲线的标准方程,并提高自身的运算能力并提高自身的运算能力.学学习重点：习重点：双曲线的定义和标准方程；双曲线的定义和标准方程；不同的条件下双曲线的标准方程的求法不同的条件下双曲线的标准方程的求法.问题问题1 1：椭圆的定义是什么？椭圆的定义是什么？平面内与两个定点平面内与两个定点F1,F2的距离的的距离的和和等于

2、常数（等于常数（大于大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆。问题问题2 2：椭圆的标准方程是怎样的椭圆的标准方程是怎样的? ?) 0( 1) 0( 122222222babxaybabyax或 ， ， 关系如何？关系如何？abc222abc问题问题3 3：如果把椭圆定义中：如果把椭圆定义中“距离的和改为距离的和改为“距离的差距离的差那么动点的轨迹会发生怎样的变化？那么动点的轨迹会发生怎样的变化？看图分析动点看图分析动点M满足的条件：满足的条件：根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的

3、的距离的差的绝对值差的绝对值等于常数等于常数（小于小于|F1F2|，且，且不等于不等于0）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做双曲线双曲线。这这两个定点两个定点F1，F2叫做双曲线的叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距两焦点间的距离离|F1F2|叫做双曲线的叫做双曲线的焦距焦距。通常情况下，我们把|F1F2|记为2cc0)； 常数记为2a(a0).问题问题4:4:定义中为什么强调常数要小于定义中为什么强调常数要小于|F1F2|F1F2|且不等于且不等于0 0即即02a2c02a2c,那么轨迹是什么？那么轨迹是什么？假设假设2a=0,那么轨迹是什么？那么轨迹是什么？此时轨迹为以此时轨迹为以F F1 1或

4、或F F2 2为端点的为端点的两条射线两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在此时轨迹为线段此时轨迹为线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线F1F2F1F2分分3种情况来看：种情况来看：二、双曲线标准方程的推导 建系建系1F2F使使 轴经过两焦点轴经过两焦点 ， 轴为轴为线段线段 的垂直平分线。的垂直平分线。x21,FF21,FFyxyO 设点设点设设 是双曲线上任一点，是双曲线上任一点，),(yxMM 焦距为焦距为 ，那么，那么 焦点焦点 又设又设|MF1|与与|MF2| 的差的绝对值等于常数的差的绝对值等于常数 。)0(2cc)0,(),0,(21cFcFa2 列式列式aMFMF

5、221即即aycxycx2)()(2222如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？aycxycx22222将上述方程化为： aycxycx22222移项两边平方后整理得： 222ycxaacx两边再平方后整理得： 22222222caxa yaca由双曲线定义知： ac22 即：ac 022ac设 2220bcab代入上式整理得： 222221xyaca两边同时除以 得：222aca)0,0(12222babyax化简化简这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2.类比椭圆的标准方程，请

6、思考焦点在类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴轴上的上的双双曲线曲线的标准方程是什么？的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax三三. .双曲线两种标准方程的比较双曲线两种标准方程的比较 方程用方程用“号连接。号连接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。0,0,22bababa , 。 222bac如果如果 的系数是正的，那么焦点在的系数是正的，那么焦点在 轴

7、上；如果轴上；如果 的系数是的系数是正的，那么焦点在正的，那么焦点在 轴上。即焦点跟着正的跑轴上。即焦点跟着正的跑2xx2yyOMF2F1xyF2 2F1 1MxOy双曲线的标准方程与椭圆的双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系标准方程有何区别与联系? ?定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系Fc，0Fc，0a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系四、双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a2c椭椭 圆圆双曲线双曲线F0，cF0，c22221(0)xyabab22221(0)yxa

8、bab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。cba, 22222222112142223141(0,0)42xyxyxyxymnmn 答案：) 0 , 6).(0 , 6(6, 2, 21cba )0 , 2).(0 , 2(2, 2, 22cba )6, 0).(6, 0(6, 2,23cba ) 0 ,).(0 ,(,4nmnmnmcnbma题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。),(0012222babyax因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为.191622 yx例例1、双曲

9、线的焦点、双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点，双曲线上一点P到两个焦到两个焦点的距离差的绝对值等于点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程，求双曲线的标准方程.根据条件，根据条件，|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=8，例题讲解解：解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为轴上，所以设它的标准方程为x故故 . 82 ,102 ac. 5, 4 ca即即那么那么. 91625222 acb例例2.已知双曲线的焦点是 ,且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程.) 6 , 0 (),6, 0 (21FF 解法一解法一:.3622

10、 ba)0,0(12222 babxay又因为双曲线经过点又因为双曲线经过点M(2,-5),. 12)5(2222 ba方程联立可求得方程联立可求得:.162022 ba因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为.1162022 xy由题意知由题意知, 6 c由题意知由题意知,双曲线的焦点在双曲线的焦点在 轴上轴上,所以设双曲线所以设双曲线的标准方程为的标准方程为y例题讲解例例2.已知双曲线的焦点是 ,且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程.) 6 , 0 (),6, 0 (21FF解法二解法二: 由双曲线的定义知由双曲线的定义知:,122 c2222652652)()(5125

11、.54 .52, 6 ac.16222acb双曲线的标准方程是双曲线的标准方程是:. 1162022 xy双曲线的焦点在双曲线的焦点在 轴上轴上y适时把定义作适时把定义作为解题工具是为解题工具是很重要的哦很重要的哦! !例题讲解212MFMFaQ 使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 例3A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如下

12、图，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，那么3402680PAPB 即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2双曲线的焦点为双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于到焦点的距离差的绝对值等于6 6，那么，那么 (1) a=_ , c =_ , b (1) a=_ , c =_ , b =_=_ (2) (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF1|=10, |PF1|=10, 那么那么|PF2|=_|PF2|=_354116922yx4或或16课堂稳固课堂稳固x2与与y2的系数的大小的系数的大小x2与与y2的系数的正负的系数的正负c2=a2+b20, 01222