202X年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量基本定理课件2苏教版选修2_1

1、3.1.3 3.1.3 空间向量根本定理空间向量根本定理共线向量定理共线向量定理.,),0(,abababa使充要条件是存在实数共线的与对空间任意两个向量 问题问题1 1abab共线向量定理说明，任意一个向量可以用与它共线向量定理说明，任意一个向量可以用与它共线的一个非零向量来线性表示，而且这种表共线的一个非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的示是惟一的平面向量根本定理平面向量根本定理aaONOMOC 问题问题2 21eBCNM2e1e2e对向量对向量 进行分解进行分解：a2211eeAO,21ee基底21,ee基向量如果 是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对

2、实数 使21,21,eea2211eeaa1eBNM2eAOC平面向量根本定理说明，任意一个平面向量可以平面向量根本定理说明，任意一个平面向量可以用与它在同一平面内的两个不共线的非零向量来用与它在同一平面内的两个不共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的线性表示，而且这种表示是惟一的平面向量平面向量根本定理根本定理共线向共线向量定理量定理二维二维一维一维？ab2211eea2211eeaDD1A1AB1C1CB 问题问题3 3在如图所示的长方体中，你能用向量在如图所示的长方体中，你能用向量,表示向量表示向量,吗？吗？ABAD1AAAC1ACADABAC11CCACAC1CCADAB1AA

3、ADAB空间任一向量都能用三个不共面的向量来线性表空间任一向量都能用三个不共面的向量来线性表示吗示吗? ? 问题问题p2e1e3eOABCPABPppOPeOCeOBeOA,321OCPP/OABPOBAP/,/,321ezOCzPPeyOByBOexOAxAOOCzOByOAxPPBOAOOP321ezeyexpp2e1e3e请尝试通过平面向量根本定理来类似地说出空间请尝试通过平面向量根本定理来类似地说出空间向量根本定理向量根本定理平面向量基本定理平面向量基本定理空间向量基本定理空间向量基本定理平面内平面内不共线不共线平面内的任一向量平面内的任一向量有且只有一对实数有且只有一对实数基底基底基

4、向量基向量 21,ee321,eeea21,2211eea,21ee21,ee321ezeyexp空间中空间中不共面不共面p空间任一向量空间任一向量),(zyx存在惟一的有序实数组存在惟一的有序实数组321,eee基底基底321,eee基向量基向量如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在惟一的有序实数组 ,使321,eeep),(zyx321ezeyexp空间向量的根本定理空间向量的根本定理321,eee基底基底321,eee基向量基向量(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.不共面321,eee(1)0,321中不能有e

5、ee(3)如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示 ,kjiijk存在性存在性证明：证明：设设 不共面不共面，321,eee过点作过点作OpOPeOCeOBeOA,321过点过点 作直线作直线 ，交平面，交平面 于点于点 ；POCPP/OABP在平面在平面 内，过内，过 点作直线点作直线 分别与直分别与直线线 相交于点相交于点OABPOABPOBAP/,/OBOA,BA,根据向量共线的条件，存在三个确定的实数根据向量共线的条件，存在三个确定的实数 ，使，使zyx,321ezOCz

6、PPeyOByBOexOAxAO所以所以OCzOByOAxPPBOAOOP所以所以321ezeyexpOABCPABPp惟一性惟一性假设还存在 且不妨设 使zyx,xx 321ezeyexp321ezeyex321ezeyex那么即0)()()(321ezzeyyexx因为xx 0 xx321exxzzexxyye所以从而 共面，与已知矛盾321,eee因此是惟一的zyx,a1eBNM2eAOC平面向量平面向量根本定理根本定理共线向共线向量定理量定理二维二维一维一维PpPOABCAB空间向量空间向量根本定理根本定理三维三维？ab2211eea321ezeyexp根据向量共线的条件，存在三个确定

7、的实数根据向量共线的条件，存在三个确定的实数 ，使，使zyx,321ezOCzPPeyOByBOexOAxAO所以所以OCzOByOAxPPBOAOOP所以所以321ezeyexp推论：设是不共面的四点，则对空间任一点都存在惟一的三个有序实数使 CBAO,Pzyx,OCzOByOAxOPCOBAPPPOBOAODOCOBOADDODDODODMOM3121OCOBOAOM313131解：(1)(2) 可得 所以 由OMEMCD例例1 1 如图，在正方体如图，在正方体 中，点中，点 是是 与与 的交点，的交点， 是是 与与 的交点，的交点，MBDACOADBEABODDO CE(1)用向量用向量 表示向量表示向量OBOA