数值分析学习小结

1、第2章 线性方程组的解法 -学习小结一、 本章学习体会本章主要学习的是线性方程组的解法。而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=

2、b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。二、本章知识梳理针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法 ，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，

3、只经过有限次运算得不到精确解。我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。2.1 Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。顺序Gauss消去法消元过程：对于K=1,2,3,n-1执行(1) 如果akk(k)=0,则算法失效，停止计算；否则转（2）(2) 对于i=k+1,k+2,n计算mik=aij(k)akk(k)aij(k+1)=aij(k)-mikaikk (j

4、=k+1,k+2,n)bi(k+1)=bi(k)-mikbkk回代过程：xn=bn(n)ann(n)xk=bk(k)-j=k+1nakj(k)xjakk(k) (k=n-1,n-2,1)综上：顺序Gauss消去法的数值稳定性是没有保证的。列主元Gauss消去法1.消元过程对于K=1,2,3,n-1执行（1） 选行号ik，使得aik(k)=maxkinaik(k)（2） 交换akj(k)与aikk(j=k,k+1,n)以及bk(k)与bik(k)所含的数值。（3） 对于i=k+1,k+2,n计算mik=aij(k)akk(k)aij(k+1)=aij(k)-mikaikk (j=k+1,k+2,

5、n)bi(k+1)=bi(k)-mikbkk回代过程：xn=bn(n)ann(n)xk=bk(k)-j=k+1nakj(k)xjakk(k) (k=n-1,n-2,1)经验证，列主元Gauss消元法有很好的数值稳定性。2.2直接三角分解法三角分解法的思想：系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。Doolittle(杜利特尔)分解L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵定理：矩阵A=aijn×n(n2)有唯一的能进行Doolittle(杜利特尔)分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0（1）A的

6、Doolitte分解的计算公式对于k=1,2,n计算ukj=akj-t=1k-1lktutj (j=k,k+1,n)lik=aik-t=1k-1litutkukk (i=k+1,k+2,n;k<n)解的计算公式：y1=b1yi=bi-t=1i-1lityt (i=2,3,n)xn=ynunnxi=yi-t=i+1nuitxtuii (i=n-1,n-2,1)（2）选主元的Doolitte分解法：定理：若矩阵ARn×n非奇异，则存在置换矩阵Q，使得QA可做Doolitte分解，QA=LU，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。只有矩阵A非奇异，则通过对A 做适当的行变换就可以进

7、行Doolitte分解，而不必要求A的前n-1个顺序主子式不为0.进行选主元的Doolitte分解法具体算法如下：1）做分解QA=LU对于K=1,2，n 执行2）计算中间量si=aik-t=1k-1litutk i=k,k+1,n选行号ik,使得sik=maxkinsi,令Mk=il若ik=k,则转下一步，否则交换lkt与likt(t=1,2,k-1)、akt与aikt(t=k,k+1,n)以及si与sik所含的数值，转下一步计算ukk=skukj=akj-t=1k-1lktutj (j=k+1,n;k<n)lik=aik-t=1k-1litutkukk (i=k+1,k+2,n;k&l

8、t;n)3）求Qb对于K=1,2，n-1 执行t=Mk交换bk与bt所含的数值4）求解Ly=Qb和Ux=yy1=b1yi=bi-t=1i-1lityt (i=2,3,n)xn=ynunnxi=yi-t=i+1nuitxtuii (i=n-1,n-2,1)Crout(克劳特)分解L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵推论：矩阵A=aijn×n(n2)有唯一的能进行Crout(克劳特)分解分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0A的Crout(克劳特)分解的计算公式对于k=1,2,n计算lik=aik-t=1k-1litutk (i=k,k+1,n)ukj=akj-t=1k-1

9、lktutjlkk (j=k+1,k+2,n;k<n)解的计算公式：y1=b1l11yi= bi-t=1i-1lityt lii(i=2,3,n)xn=ynxi=yi-t=i+1nuitxt (i=n-1,n-2,1)三角分解法解带状线性方程组定理：（1）A=aijn×n是上半带宽为s，下半带宽为r的带状矩阵（2）A的前n-1个顺序主子式均不为零则A有唯一的Doolitte分解A=LU，其中L是下半带宽为r的单位下三角矩阵，U是上半带宽为s的上三角矩阵。（1）作分解A=LU对于k=1,2,n计算ukj=akj-t=max(1,k-r,j-s)k-1lktutj (j=k.k+1

10、,min(k+s,n)uik=aik-t=max(1,i-r,k-s)k-1litutklkk (i=k+1,k+2,mink+r,n;k<n)（2）求解Ly=b,Ux=yy1=b1yi=bi-t=max(1,i-r)i-1lityt (i=2,3,n)xn=ynunnxi=yi-t=i+1min(i+s,n)uitxtuii (i=n-1,n-2,1)2.3迭代法迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。迭代法的一般形式及其收敛性（1）一般形式： G为迭代矩阵（2）向量顺序的收敛：（1

11、）按坐标收敛；（2）按范数收敛。（3）矩阵序列的收敛（4）迭代公式的收敛性1.向量序列的收敛（极限）（1）定义：设向量若（按坐标收敛），则称序列收敛于X*，记为.（2）向量序列收敛的充要条件（3）矩阵序列的极限若则称为矩阵序列的极限，记作：迭代收敛的条件（1）谱半径（2）迭代收敛的充要条件（3）迭代收敛的充分条件（4）迭代终止的条件迭代（1）分量形式（2）矩阵形式（3）Jacobi迭代矩阵A=D-（-L-U）迭代（异步迭代法）（1）分量形式（2）矩阵形式（3）GS迭代矩阵A=(D+L)-(-U)逐次超松弛迭代法（SOR迭代）（1）分量形式（2）计算公式（3）矩阵形式（4）SOR迭代矩阵>1, 逐次超松弛迭代法<1, 逐次低松弛迭代法=1, GS迭代法 三、本章思考题Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、逐次超松弛迭代法三种迭代方法，各有其优缺点以及适用范围，能否将三种方法有机结合，从而得到一个新的算法，使其适用范围和计算精度有所提升？思路：使用类似加权平均的