数学分析课本(华师大三版)习题及答案第十七章

1、第十七章 多元函数微分学一、 证明题1. 证明函数 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x+y.5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=,其中f为可微函数,验证+=.7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明:

2、sec x + secy=1.8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos-v sin, y=u sin+v cos之下.+是一个形式不变量,即若g(u,v)=f(u cos-v sin,u sin+v cos).则必有+=+.(其中旋转角是常数)9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:Fx(0,0)与Fg(0,0)10.若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是:+=KF

3、(x,y,z).并证明:Z=为二次齐次函数.11.设f(x,y,z)具有性质f=(x,y,z)(t>0)证明:(1) f(x,y,z)=;(2) +=nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=其中(i,j=1,2,n)的导数都存在,证明=13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c为常数);(2) graqd(u+v)=grad u+grad v(,为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明;若(i=1,2)则f(x,

4、y)常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y施用中值定理,证明对某 (0,1),有=.16.证明:函数u=(a,b为常数)满足热传导方程:=17.证明:函数u=(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:+=0.18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:+=0.则函数V=f(,)也满足此方程.19.设函数u=,证明:=.20.设fx,fy和fyx在点(x0,y0) 的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),21.设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有fxy(x0

5、,y0)= fyx(x0,y0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=;(4) Z=ln(x+y2); (5) Z=exy; (6) Z=arctg;(7) Z=xyesin(xy); (8) u=;(9) u=(xy)z; (10) u=.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsin; 求fx(x,1).3. 设考察函数f在原点(0,0)的偏导数. 4. 证明函数Z=在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x4+y4-4x2y2在点(0,0),(1,1)

6、;(2) Z=在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xeyx+e-z+y8. 求曲面Z=arctg在点处的切平面方程和法线方程.9. 求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm高h=40c

7、m. 若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f在区域D=a,b×c,d上连续(1) 若在intD内有fx0,试问f在D上有何特性?(2) 若在intD内有fx=fy0,f又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.15. 测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=算出的比重d的相对误差限和绝对误差限.16.求下列复合函数的偏导数

8、或导数:(1) 设Z=arc tg(xy),y=ex,求;(2) 设Z=,求,;(3) 设Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求;(4) 设Z=x2lny,x=,y=3u-2v,求，；(5) 设u=f(x+y,xy),求,;(6) 设u=f,求,.17.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数.19.求函数u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3,)处的梯度以

9、及它们的模.20.设函数u=ln,其中r= 求u的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式=1.21设函数u=,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设r=,试求:(1)grad r; (2)grad .23.设u=x3+y3+z33xyz,试问在怎样的点集上grad u分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L是R2上的一个确定向量,倘若处处有fL(x,y)0,试问此函数f有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x4+y44x2y2,所有二阶偏导数;(2) Z=ex(cos y+x sin y),所有二阶偏导数;(3) Z=xln(xy),

10、;(4) u=xyzex+y+z,;(5) Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数；(7)Z=f(x+y,xy,),zx, zxx, Zxy.26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止);(2) f(x,y)=在点(1,1)(到三阶为止);(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x2xyy26x36+5在点(1,2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axyx3y3 (a>0);(2) Z=x2+5y26x+10y+6;(3)

11、 Z=e2x(x+y2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=,+；(2) Z=,;(3) Z=sinx+singsin(x+y),29.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n个点的坐标分别是,.试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.32.设 u=求(1)ux+uy+uz; (2)xux+yux+zuz; (3)uxx+uyy+uzz.33.设f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明fx+fy+fz=(x+y+z)2.2. 求函数在原点的偏导数fx(0,0)与fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 证明: (1) (2) .4. 设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试