教学大纲(2005版)

1、工程数学教研室教学大纲2006.5目 录线性代数教学大纲2概率论和数理统计教学大纲5复变函数与积分变换教学大纲10数学物理方程与特殊函数数学大纲15线性代数教学大纲学时：40 学分：2.5教学大纲说明一、 课程教学目的和任务线性代数是工科院校学生的一门必修基础课，是学习自然科学、工程技术和企业管理所必备的基础知识和重要工具。其任务是使学生获得行列式、矩阵代数、线性方程组、线性变换及二次型等基本知识，掌握基本运算，培养逻辑思维、逻辑推理和运用矩阵代数解决某些实际问题的能力，为学习后继课程和工作打下必要的基础。二、 课程的基本要求1、理解下列基本概念n阶行列式 m×n矩阵 矩阵的秩及初等

2、变换 初等矩阵 n维向量组的线性相关及线性无关 向量的线性组合 向量组的极大无关组与秩 n维向量空间齐次线性方程组的基础解系 齐次与非齐次线性方程组的通解 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵与相似变换 正交矩阵与正交变换 二次型及标准形 合同变换与合同矩阵 二次型和对应矩阵的正定性2、掌握下列基本运算行列式的计算 矩阵的计算 逆矩阵的求法 线性方程组的解法 矩阵的特征值和特征向量的求法 用正交变换化二次型为标准形三、 与其它课程的联系和分工线性代数是高等学校理工科和经济管理学科有关专业的一门重要基础课，它不仅是其它数学课程的基础，也是物理、力学、电路、运筹等课程的基础。另外，由于计算机的飞速发展

3、和广泛应用，使许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量解决，这样，作为处理离散问题的线性代数成为大学生今后从事科学研究和工程设计必备的数学基础。四、 教学形式和学时分配章次内容课堂讲授学时数一行列式6二矩阵及运算6三矩阵的初等变换与线性方程组8四向量组的线性相关性10五相似矩阵及二次型10总学时数40五、 本课程的性质及适用对象工科类各专业必修教学大纲内容教学大纲内容第一章 行列式二阶与三阶行列式 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则教学提示：行列式是一种常用的数学工具，在数学及其它学科中有着广泛的应用。本章重点在于让学生了解行列式的性质及解线性方程组的克莱姆法

4、则，掌握行列式的常用计算方法。第二章 矩阵及运算矩阵的概念 单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 对称矩阵以及它们的性质 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念与性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随阵 分块矩阵及其运算教学提示：矩阵是线性代数的主要研究对象。它在线性代数与数学的许多分支中都有重要应用，许多实际问题可用矩阵表示并用有关理论得到解决。本章重点在于让学生掌握矩阵的运算规律及求逆矩阵的方法，要让学生了解矩阵常用的分块方法。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换 矩阵等价 矩阵的秩 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分

5、必要条件 用初等变换解线性方程组 初等矩阵教学提示：矩阵的初等变换是矩阵的一种重要运算。本章重点让学生掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、求逆矩阵、解线性方程组的方法，要让学生了解初等矩阵的作用。第四章 向量组的线性相关性向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组与向量组的秩 等价向量组 向量组的秩 与矩阵的秩之间的关系 向量空间简介 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解 用初等行变换求解线性方程组教学提示：向量组的线性相关与线性无关是线性代数的重要内容，在此基础上可讨论线性方程组的通解问题。本

6、章重点让学生掌握向量组的线性相关与线性无关的定义及有关的性质，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。第五章 相似矩阵及二次型向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 正交变换 方阵的特征值和特征向量的概念、性质和求法 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 二次型及矩阵表示 二次型的秩 合同变换与合同矩阵 二次型的标准形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 惯性定理 二次型和对应矩阵的正定性及判别方法教学提示：方阵的特征值与特征向量在工程技

7、术中经常用到。本章重点让学生掌握特征值与特征向量的概念、性质及求法，掌握方阵对角化的方法，会用正交变换把二次型化为标准形，掌握判别二次型及矩阵正定性的方法。建议选用教材和参考书目建议选用教材：线性代数（第三版），同济大学数学教研室编，高等教育出版社主要参考书： 线性代数辅导，胡金德等编，清华大学出版社 高等数学学习指导与解题训练（线性代数分册），刘学生等主编，大连理工大学出版社概率论和数理统计教学大纲学时： 56 学分： 3.5教学大纲说明一、 课程的目的和任务概率论与数理统计是研究随机现象的客观规律的一门数学学科。随着现代科学技术的发展，它已经被广泛应用于科学技术、工农业生产和国民经济建设的

8、各个领域中。目前，概率论与数理统计已经成为我国高等院校理工科及经济类各专业一门必修的基础理论课之一。通过本课程的学习使学生掌握处理随机现象的基本思想和方法培养学生应用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。二、 课程的基本要求 通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本理论、基本概念及基本方法。从而使学生应用概率统计的原理和方法解决随机现象中的实际问题的能力得到培养和提高。为科研和生产打下必要的基础。三、 与其它课程的联系和分工 在学习本课程之前必须学习高等数学课程。本课程是数学学科的一门重要的分支同时也是数学中的其它分支如模糊数学等的基础理论课。对于理工科以及经济类的专业它是自动控制、

9、通信中的信号分析以及经济管理中的统计决策、经济预测、质量控制等相关课程的基础理论课。四、 教学形式与学时分配：章 节内 容课堂教学时数一随机事件及其概率10二随机变量及其分布8三多维随机变量10四随机变量的数字特征8五大数定律及中心极限定理2六样本及抽样分布定理6七参数估计6八假设检验6五、 本课程的性质及适应对象：全校理工科及经济类各专业必修。教学大纲内容第一章 随机事件及其概率1 理解随机事件及样本空间的概念，掌握随机事件间的关系及运算。2 了解概率的统计定义及公理化定义。理解古典概率和几何概率的定义。会计算古典概率和几何概率。3 掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算。4 理解条

10、件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。会用这些公式进行概率计算。5 理解事件的独立性概念，掌握用事件独立性进行概率计算理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。教学提示：本章介绍了概率论和数理统计的研究对象和任务，这一章的重点是关于计算概率的一系列定理和公式，如概率加法定理、概率乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式等。第二章 随机变量及其分布1. 理解随机变量及其概率分布的概念。理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量有关的概率。2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布及其应用。3. 理解连续型随机变量及其概率密度概

11、念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用。4. 会求离散型随机变量的函数的概率分布；会求连续型随机变量的函数的概率密度和分布函数。教学提示：本章首先引入了随机变量的概念，随机变量的本质就是随机试验的结果的数量化。在介绍两种类型的随机变量的概念后重点应放在如何利用随机变量解决实际问题以及几种常用的随机变量及其分布上。第三章 多维随机变量及其分布1. 理解二维随机变量的概念、性质、及其两种基本形式：离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘及条件分布；连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度及条件密度。会利用二维随机变量的概率分布求有关事件的概率。2. 理解随机

12、变量独立性概念，掌握离散型及连续型随机变量独立的条件。3. 了解二维均匀分布和二维正态分布；掌握二维随机变量的函数的概率分布的求法；熟练掌握两个随机变量之和的概率分布的求法。教学提示：本章的难点在于求二维随机变量的边缘分布。尤其是对于连续型随机变量当联合分布函数（或联合概率密度函数）是分块定义的时候，如何由联合分布求相应的边缘分布则是重点。其次利用随机变量的独立性根据边缘分布求联合分布也是较为重要的内容之一。第四章 随机变量的数字特征1 理解数学期望和方差的概念。掌握它们的性质和计算方法。2 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的数学期望和方差。3 会根据随机变量的

13、X的概率分布求其函数的数学期望；会根据随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。4 了解相关系数和协方差的概念，掌握它的性质与计算。了解独立性和不相关之间的关系。教学提示：应着重讲清随机变量的数学期望及方差的定义、性质及其计算法，而随机变量函数的数学期望的计算方法尤为重要。因方差的计算方法及数学期望的性质等都是根据这一点得出得。对于几种常见分布的数字特征应要求熟记。第五章 大数定律及中心极限定理1. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律及辛钦大数定律的条件及结论，理解其直观意义。2. 掌握棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理、列维-林德贝格中心极限定理的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事

14、件的概率。教学提示：大数定律是概率论中有关阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，它是频率稳定性的定量描述，同时也是引入概率的统计定义的理论基础。而中心极限定理则说明了独立随机变量和的极限分布是正态分布这样一个重要的结论。而应用中心极限定理近似计算独立同分布随机变量和取值的概率则是本章的重点。第六章 样本及抽样分布1. 了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值与样本矩及样本方差的概念。2. 掌握正态总体的抽样分布，了解产生变量、t变量和F变量的典型模式；理解标准正态分布、分布、t分布、F分布的分位数，会查相应的数值表。教学提示：在引出样本的概念之前可阐明抽样的意义。对于样本应着重指出表征

15、总体的随机变量X与表征样本的n维随机向量之间的关系。关于正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布则是本章的重点。第七章 参数估计1. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念。2. 掌握矩估计法和最大似然估计法。3. 掌握估计量的无偏性，了解估计量的有效性和一致性（相合性）概念。4. 了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学提示：在介绍点估计的概念以后。对于矩估计法和极大似然估计法的重点应放在阐明构造未知参数的矩估计量和极大似然估计量的原理上。关于正态总体的均值和方差的置信区间主要根据抽样分布定理结合标准正态分布、分布，分布以及分布的分

16、位数来构造的。第八章 假设检验1. 理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。2. 掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。3. 了解拟合检验。教学提示：本章的重点是阐明假设检验的基本思想，可结合实例讲解有关正态总体的均值和方差的假设检验主要是确定原假设和备择假设、构造检验统计量和决定拒绝域这三个关键性的步骤这样才能做到思路清楚。建议选用教材：概率论和数理统计，合肥工业大学数学教研室编，合肥工业大学出版社主要参考书：概率论和数理统计（第二版） 浙江大学 盛骤、潘承毅 编，高等教育出版社应用概率统计大连理工大学，东南大学，合肥工业大学，概率统计教材编写

17、组编,上海科学技术出版社概率论和数理统计辅导合肥工业大学数学教研室编复变函数与积分变换教学大纲学时： 40教学大纲说明一、 程的目的和任务复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关专业课和扩大数学知识面打下必要的数学基础。二、 程的基本要求 在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念

18、和方法解决实际问题的能力.三、 与其它课程的联系和分工 复变函数中的许多概念和方法是高等数学中的实变量函数在复数领域的推广和发展，因此在学习本课程之前必须学习高等数学课程。本课程是数学学科的一门重要分支，同时也是数学中的其它分支如微分方程、积分变换等的基础理论课。积分变换与复变函数有着密切的联系,积分变换也是复变函数的后继课程之一 。 对于理工科类专业的学生来说它们是电磁学、热学、弹性理论、流体力学等相关课程的基础理论课。四、 教学形式与学时分配：章 节内 容课堂教学时数第一部分：复变函数一复数和复变函数4二解析函数5三复变函数的积分6四级数6五留数5六共形映射4第二部分：积分变换一傅立叶变换

19、5二拉普拉斯变换5五.课程的性质及适应对象：计算机与信息学院、精密仪器学院、电气工程学院等必修。教学大纲内容第一部分：复变函数第一章 复数和复变函数1 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。2 了解区域的概念。3 理解复变函数的概念及其几何意义映射。4 知道复变函数的极限和连续的概念。 教学提示：鉴于复数表示法及其运算在中学已学过，区域概念在高等数学中已讲过，在此可仅作扼要复习。复变函数在部分内容上类同于一元函数，因此在类同部分不必详讲，而在与一元部分不同的内容上要讲透。第二章 解析函数1 理解复变函数的导数及复变函数解析的概念。2 熟练掌握函数解析的充要条件。3 了解指数函数、三角函数、对数函

20、数及幂函数的定义及它们的主要性质（包括在单值域中的解析性）。教学提示：解析函数是本课程的重点，因而一定要讲透。尤其是要使学生明白解析来自于导数但又不同于可导函数，解析与可导有联系又有区别；明白解析函数具有一般函数不具备的性质。第三章 复变函数的积分1 理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。2 理解柯西积分定理；掌握柯西积分公式、高阶导数公式；知道解析函数无限次可导的性质。3 了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。教学提示：复变函数的积分是本课程的另一个重点。积分中的重点是三个定理：柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。第四章 级数1

21、 理解复数项级数的收敛、发散及绝对收敛等概念。2 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法。知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质。3 了解泰勒定理。4 掌握函数的麦克劳林级数展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。5 了解罗朗定理。6 掌握用间接法将在圆环域内解析的简单函数展开为罗朗级数方法。 教学提示：解析函数的泰勒级数与实变数函数的泰勒级数相似，因此本章的重点是罗朗级数。在讲述求泰勒级数展开式时应强调既可用直接展开法也可用间接展开法，而函数在圆环域内的罗朗级数展开式一般采用间接展开法而不采用系数公式：来进行直接展开，因为此积分不易计算。相反却利用罗朗级数的系数来计

22、算积分：第五章 留数1 了解孤立奇点的分类（不包括无穷远点）。会判别奇点的类型和极点的级数。2 理解留数的概念，掌握极点处留数的求法。3 理解留数定理。4 掌握用留数求围道上的积分的方法，会用留数求一些实积分。教学提示：本章的重点是留数定理，留数定理在理论上有着重要意义。留数定理为我们计算复变函数的围道积分和某些实变量函数的积分提供了一个全新的方法。第六章 共形映射1 了解解析函数导数的几何意义及保角映射的概念。2 掌握分式线性映射的性质及分式线性映射的保角、保圆及保对称性。3 知道及（为有理数）的映射性质。4 会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的保角映射。教学提示

23、：保角映射是本课程的难点必须注意。讲授此内容时，特别要讲清楚保角映射的概念以及几个映射的特性：分式线性映射具有保角、保圆、保对称性，即能将圆（或直线）映射成圆或直线；指数映射将条形域映成角形域。第二部分 积分变换第一章 傅立叶变换1 正确理解傅立叶变换的概念。2 知道傅立叶变换的存在定理，会用定义求一些简单的函数的傅立叶变换。3 掌握傅立叶变换的性质。4 了解函数的描述性定义及函数的傅立叶变换式（广义傅立叶变换）。5 了解卷积概念，会用定义求一些简单的卷积，能正确应用卷积定理。教学提示：本章的重点是傅立叶变换及其逆变换的概念，及傅立叶变换的微分性质和积分性质。傅立叶变换的性质除了线性、位移、微

24、分、积分性质外，还有对称性、相似性及象函数的微分性等可写出结论，其证明可作为习题。第二章 拉普拉斯变换1.理解拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念。2.了解拉普拉斯变换的存在定理。3.掌握拉普拉斯变换的性质。4.会求一些简单函数的拉普拉斯变换及其逆变换。5.了解卷积概念，会用定义求一些简单的卷集。6.了解拉普拉斯变换的一些简单应用。教学提示：本章的重点是拉普拉斯变换及其逆变换的概念、性质及其求法。因为拉普拉斯变换比傅立叶变换的应用更加广泛，所以求拉普拉斯变换及其逆变换的方法应予以加强。建议选用教材：复变函数（第四版）西安交通大学高等数学教研室 编，高等教育出版社;积分变换 南京工学院数学教研组

25、编，高等教育出版社。主要参考书：复变函数胡家延 彭旭麟 编著，高等教育出版社;积分变换(第二版)上海交大编, 高等教育出版社.数学物理方程教学大纲学时： 32 学分： 2教学大纲说明一、 课程的目的和任务数学物理方程是指自然科学和工程技术的各部门分支中出现的一些偏微分方程。学生通过这门课程的学习可以掌握数学物理方程中一些基本问题的解决方法，能为学习后继课程和进一步开拓知识面提供必要的基础。二、 课程的基本要求通过本课程的学习，学生要掌握三个典型方程定解问题的常用解法，了解贝塞尔（Bessel）函数，及勒让德（Legendre）多项式的概念、简单性质及它们在解数学物理方程中的作用，为学习有关后继

26、课程和进一步扩大知识面提供必要的基础。三、 与其它课程的联系和分工 高等数学是本课程必要的基础课，部分内容还需要用到线性代数，复变函数，及积分变换的知识。本课程是数学学科的一门重要分支同时它也是数学中的如微分几何等课程的基础理论课。对于理工科类专业的学生它是电磁学、热学、弹性理论、流体力学等相关课程的基础理论课。四、 教学形式与学时分配：章 节内 容课堂教学时数一一些典型方程和定解条件的推导3二分离变量法7三行波法和积分变换法6四拉普拉斯方程的格林函数法5五贝塞尔函数6六勒让德多项式5五、 课程的性质及适应对象：计算机与信息学院、土木建筑工程学院等必修教学大纲内容第一章 一些典型方程和定解条件

27、的推导1 知道三个典型方程（弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程）的推导过程。2 知道三种定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法。3 了解偏微分方程的一些基本概念（解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次）以及齐次线性方程的迭加原理。教学提示：对典型方程的导出及定解条件的建立不是本课程的重点，因此只要求学生了解方程及定解条件的建立过程，及定解条件的正确提法即可。 第二章 分离变量法1 熟练掌握有界弦的自由振动问题和有限长杆的热传导问题的分离变量解法。2 掌握圆域内的拉普拉斯（Laplace）方程狄里赫莱(Dirichlet)问题的分离变量解法。3 会用固有函数法解非齐次方程的定解问题。4 会用辅助函数和迭加原理处理非齐次边界条件。教学提示：分离变量法是本课程的核心内容之一，它的理论依据则是固有值的确定，固有函数系的完备性及迭加原理。对于齐次线性方程的齐次边界条件或周期性边界条件的定解问题它总是满足上述条件的。常见的固有值及固有函数可综合一些介绍给学生。对于非齐次方程及非齐次边界条件的定解问题，除常规方法即边界条件齐次化，然后利用迭加原理分解成定解问题来处理外，