第十三章能量方法

1、F13-1 概概 述述F13-2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算F13-3 线弹性固体应变能的普遍形式线弹性固体应变能的普遍形式F13-4 互等定理互等定理F13-5 卡氏定理卡氏定理F13-6 虚功原理虚功原理F13-7 单位载荷法单位载荷法莫尔积分莫尔积分F13-8 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法固体力学中把与功和能有关的一些定理统称为固体力学中把与功和能有关的一些定理统称为能量原理能量原理.对构件的组合变形计算及超静定结构的求解，能量原理对构件的组合变形计算及超静定结构的求解，能量原理都有重要作用都有重要作用.w弹性固体在外力作用下变形，在该力的作用点引起相应弹性固体在外力作

2、用下变形，在该力的作用点引起相应的位移，外力作功；另一方面，弹性固体因变形而储存的位移，外力作功；另一方面，弹性固体因变形而储存了应变能，具备了作功的能力了应变能，具备了作功的能力.w若外力从零开始缓慢地增加到最终值，在弹性固体变形若外力从零开始缓慢地增加到最终值，在弹性固体变形中的每一时刻其均处于平衡状态，动能和其他能量的变中的每一时刻其均处于平衡状态，动能和其他能量的变化皆可不计化皆可不计.由功能原理知，弹性固体的应变能由功能原理知，弹性固体的应变能V在数值在数值上等于外力所作的功上等于外力所作的功W，即，即V=W .w是可逆的，即当外力逐渐解除时，它又可在是可逆的，即当外力逐渐解除时，它

3、又可在恢复变形中释放出全部应变能而对外作功恢复变形中释放出全部应变能而对外作功.w超过弹性范围，塑性变形将耗散一部分能量，超过弹性范围，塑性变形将耗散一部分能量，它不能全部再转变为功它不能全部再转变为功.w大小与外力对其作功的秩序无关大小与外力对其作功的秩序无关.w不满足线性叠加原理不满足线性叠加原理.WV当杆件横截面积为当杆件横截面积为A(x)、轴力为、轴力为FN(x)时，时，dx微段内的应变能微段内的应变能)(2)()(2xEAdxxFxVdN2lFNEAlFN22整个杆件的应变能整个杆件的应变能lNxEAdxxFV)(2)(2应变能密度应变能密度)()()(xdVxVdxvdxxAxEA

4、dxxFN)()(2)(2Ex2)(22)()(xx2)(2xE若作用在圆轴上的外力若作用在圆轴上的外力偶矩从零开始缓慢增加偶矩从零开始缓慢增加到最终值到最终值.在线弹性范围在线弹性范围内，扭转角内，扭转角 与外力偶矩与外力偶矩Me成直线关系且满足成直线关系且满足IGlMPe扭转应变能为扭转应变能为WV2MeIGlMPe22当横截面积为当横截面积为A(x)、极惯性矩、极惯性矩为为IP(x)、扭矩为、扭矩为T(x)时，时，dx的的微段内的应变能微段内的应变能)(2)()(2xIGdxxTxVdP整个圆轴整个圆轴的应变能的应变能lPxIGdxxTV)(2)(2Mel Me OMe)()(2)()(

5、2xIxGAxTxvP应变能应变能密度为密度为Gxv2)(22)()(xx2)(2xG若作用在梁若作用在梁B端的外力偶端的外力偶矩从零开始缓慢增加到最矩从零开始缓慢增加到最终值终值.在线弹性范围内，在线弹性范围内， B端的转角端的转角 与外力偶矩与外力偶矩Me成直线关系且满足成直线关系且满足弯曲应变能为弯曲应变能为WV2MeEIlMe22当横截面积为当横截面积为A(x)、惯性矩为、惯性矩为I(x)、弯矩弯矩M(x)时，时，dx微段内的应变能微段内的应变能)(2)(2xEIdxxMVd整个梁的整个梁的应变能应变能lxEIdxxMV)(2)(2上述关系亦可近似适用于剪切上述关系亦可近似适用于剪切弯

6、曲长梁弯曲长梁.)()(2)(2xIxEAxMv应变能密度应变能密度EIlMeMeBAlMe OMe2FV其中：其中：F广义外力广义外力.拉压时表示集拉压时表示集中力、扭转或弯曲时表示力偶矩；中力、扭转或弯曲时表示力偶矩； 与广义外力与广义外力F相对应的广义位移相对应的广义位移.拉压时表示轴向线位移拉压时表示轴向线位移l、扭转或、扭转或弯曲时代表角位移弯曲时代表角位移.OA【例【例13-1】轴线为半圆的平面线弹性曲杆在】轴线为半圆的平面线弹性曲杆在A端受垂端受垂直于轴线所在平面的集中力直于轴线所在平面的集中力F作用作用.求求A端垂直位移端垂直位移.R m【解】【解】1）求）求 截面的弯矩截面的

7、弯矩M( )和扭矩和扭矩T( )sin)(RFM)cos1 ()(RFTd n3）求）求A端垂直位移端垂直位移 A022)(EIRdMV022)(IGRdTP2）求整个杆的应变能）求整个杆的应变能VVWIGRFEIRFP4343232IGRFEIRFFPA43423232IGRFEIRFPA23233F【例【例13-2】试导出线弹性梁剪切弯】试导出线弹性梁剪切弯曲时的弯曲应变能和剪切应变能曲时的弯曲应变能和剪切应变能.dxy xyhbOzy【解】【解】1）x截面上距中性轴为截面上距中性轴为y处的正应力和剪应力分别为处的正应力和剪应力分别为IyxMyx)(),(IbySxFyxzS)()(),(

8、*2）与正应力和剪应力对应）与正应力和剪应力对应的应变能密度分别为的应变能密度分别为Eyxv2),(21Gyxv2),(22IEyxM2222)(bIGySxFzS22*222)( )(3）体积为）体积为dV=dAdx的的单元体与正应力和剪应单元体与正应力和剪应力对应的应变能分别为力对应的应变能分别为dAdxIEyxMdVv22212)(dAdxbIGySxFdVvzS22*2222)( )(dA4）梁的弯曲应变能）梁的弯曲应变能VdVvV11VdAdxIEyxM2222)( lAdxdAIEyxM2)(222lAdxdAyIExM)(2)(222ldxEIxM2)(2VdVvV22VzSdA

9、dxbIGySxF22*222)( )( lAzSdxdAbIGySxF2)( )(22*22a）正应力对应的应变能）正应力对应的应变能b）剪应力对应的应变能）剪应力对应的应变能c）弯曲应变能）弯曲应变能VVV21lSldxGAxFkdxEIxM2)(2)(22k是一个无量纲量，只与截是一个无量纲量，只与截面形状有关面形状有关.对矩形截面对矩形截面k=1.2，圆形截面，圆形截面k=10/9，薄壁圆管薄壁圆管k=2.AzdAbySIAk2*22)(令令lSdxGAxFkV2)(22则则【例【例13-3】以图示线弹性矩形截面简支】以图示线弹性矩形截面简支梁为例，比较弯曲和剪切两种应变能梁为例，比较

10、弯曲和剪切两种应变能.xl/2l/2F【解】【解】1）梁的弯曲应变能）梁的弯曲应变能V120212)(2ldxEIxMV202222ldxEIFxEIlF96322）梁的剪切应变能）梁的剪切应变能V220222)(2ldxGAxQkV202222ldxGAFkGAlFk823）梁的总应变能）梁的总应变能VVVV21GAlFkEIlF8962324）两种应变能之比）两种应变能之比lGAEIkVV21112lGAEI2122 . 1lh22)1 (4 . 2显然只有短梁才考虑剪显然只有短梁才考虑剪切应变能，对长梁则不切应变能，对长梁则不用考虑用考虑.非线弹性固体广义位移与广义力的关系不是线性的，非

11、线弹性固体广义位移与广义力的关系不是线性的，虽然应变能在数值上仍等于广义外力所作的功，但其虽然应变能在数值上仍等于广义外力所作的功，但其应变能和应变能密度均与线弹性情况不一样应变能和应变能密度均与线弹性情况不一样.O FN ddFN 110dFVN10dvO dd 13F3F11F2 2w设设Fi按相同比例从零逐渐增加到最终值，则按相同比例从零逐渐增加到最终值，则Fi的中间的中间值可表示为值可表示为 Fi，其中，其中00，1 1 ；w在小变形情况下，设线弹性固体在广义力在小变形情况下，设线弹性固体在广义力Fi作用下在作用下在其作用点引起相应的广义位移为其作用点引起相应的广义位移为 i，其中，其

12、中i=1,2,n ；w与与 Fi对应的广义位移可表示为对应的广义位移可表示为 i；w Fi对线弹性固体作的元功对线弹性固体作的元功dWi为为)(iiidFWdwFi对线弹性固体作的功对线弹性固体作的功Wi为为10dFWiiidFii10dFii2iiFFiiw所有广义外力作的功所有广义外力作的功W为线弹性固体的应变能为线弹性固体的应变能VWVniiW1niiiF12克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理：线弹性固体的应变能等于每一个：线弹性固体的应变能等于每一个广义外力与其相应的广义位移乘积的一半的总和广义外力与其相应的广义位移乘积的一半的总和.对线弹性固体，因广义位移与广义外力成线性关对线弹性固体，因

13、广义位移与广义外力成线性关系，故若将上述公式中的广义位移用广义外力代系，故若将上述公式中的广义位移用广义外力代替，则应变能为广义外力的二次齐次函数；替，则应变能为广义外力的二次齐次函数；若用广义位移代替广义外力，则应变能为广义位若用广义位移代替广义外力，则应变能为广义位移的二次齐次函数移的二次齐次函数.w设长为设长为dx的微段圆轴的微段圆轴x截面积为截面积为A(x),极惯性矩为极惯性矩为IP(x),惯性惯性矩为矩为I (x),该微段沿轴向伸缩量为该微段沿轴向伸缩量为d(l(x),两截面相对扭转角两截面相对扭转角为为d (x),相对弯曲转角为相对弯曲转角为d (x)wdx微段应变能微段应变能2)

14、()()(xldxFxVdN2)()(xdxT2)()(xdxM)(2)(2xEAdxxFN)(2)(2xIGdxxTP)(2)(2xEIdxxMw整个圆轴应变能整个圆轴应变能VlxVdV)(lNxEAdxxF)(2)(2lPxIGdxxT)(2)(2lxEIdxxM)(2)(2dxM(x)M(x)FN(x)FN(x)T(xT(x)F1 1 1F2 2 2 1 1 2 2F3 3 3F4 4 4w在线弹性结构上先施加第一组广义外力在线弹性结构上先施加第一组广义外力F1和和F2 ,设在设在F1和和F2作用点引起的相应广义位移为作用点引起的相应广义位移为 1和和 2 ;w再在该结构上施加第二组广义

15、外力再在该结构上施加第二组广义外力F3和和 F4 ,设在设在F3和和F4作用点引起的相应广义位移为作用点引起的相应广义位移为 3和和 4 ;w当施加第二组广义外力当施加第二组广义外力F3和和 F4 时时,设在第一组广义外力设在第一组广义外力F1和和F2作用点作用点引起的相应广义位移为引起的相应广义位移为 1和和 2 ,显显然该过程中然该过程中F1和和 F2保持不变保持不变 ;w该结构的应变能该结构的应变能V1为为2222111FFV224433FF2211FF44332211443322222FFFFFFVw因应变能与外力作功秩序无关，故由因应变能与外力作功秩序无关，故由V1= V2得得443

16、32211FFFFw同理同理,若先施加第二组广义外力若先施加第二组广义外力F3和和 F4，再施加第，再施加第一组广义外力一组广义外力F1和和F2 ，线弹性结构的应变能，线弹性结构的应变能V2为为功的互等定理：功的互等定理：第一组广义外力在第二组广义外第一组广义外力在第二组广义外力引起的广义位移上所作的功力引起的广义位移上所作的功,等于第二组广义外等于第二组广义外力在第一组广义外力引起的广义位移上所作的功力在第一组广义外力引起的广义位移上所作的功.注意：注意：两组广义外力间的个数不但可以互不相等，两组广义外力间的个数不但可以互不相等，而且每组广义外力的个数可以是任意的而且每组广义外力的个数可以是

17、任意的.w若在公式中令若在公式中令F1= F3 , F2= F4 =0,则则 1 = 3 .位移互等定理：位移互等定理：广义外力在第一点作用导致广义外力在第一点作用导致第二点发生的广义位移第二点发生的广义位移,等于它在第二点作用等于它在第二点作用导致第一点发生的广义位移导致第一点发生的广义位移.BAF A BF A=BBA【例【例13-4】由功的互等定理求图示超静定梁】由功的互等定理求图示超静定梁B端约束反力端约束反力.RBABalFCRC【解】【解】1）解除）解除B端约束，视端约束，视F、RB为第一组力为第一组力B2）假设在该悬臂梁）假设在该悬臂梁B端作用有力端作用有力R为第为第二组力二组力

18、3）在第一组力作用下悬臂梁）在第一组力作用下悬臂梁B端位移为端位移为零，此时第二组力在该位移下作功为零零，此时第二组力在该位移下作功为零4）在第二组力作用下，悬臂梁在）在第二组力作用下，悬臂梁在C、B截面的位移分别为截面的位移分别为)3(62alEIaRCEIlRB33此时第一组力在该组位移下作功为此时第一组力在该组位移下作功为EIlRRalEIaFRB3)3(6325）由功的互等定理得）由功的互等定理得03)3(632EIlRRalEIaFRB)3(232allaFRBACBw设设Fi为作用在线弹性结构上的广义外力，为作用在线弹性结构上的广义外力， i为在为在Fi作用点与作用点与Fi相对应的

19、广义位移，相对应的广义位移，i=1,2,n；w线弹性结构因外力作功而储存应变能，它应为线弹性结构因外力作功而储存应变能，它应为F1, F2,Fi , Fn的函数，即的函数，即V= V(F1, F2,Fi , Fn)；w当第当第i个外力个外力Fi有微小增量有微小增量dFi时，时，因因dFi引起的应变能增量引起的应变能增量dV为为FdFVVdiiw此时结构的应变能为此时结构的应变能为VdVFdFVViiw若先施加若先施加dFi，设与，设与dFi对应的广义位移为对应的广义位移为d i，再施加再施加F1, F2,Fi , Fn ，此时应变能为，此时应变能为2iidFdVFdiiw因应变能与外力作功秩序

20、无关，故因应变能与外力作功秩序无关，故FdFVViiFdVdFdiiii2忽略二阶微量并整理得忽略二阶微量并整理得FVii卡氏卡氏(第二第二)定理定理:若将线弹性结构的应变能若将线弹性结构的应变能V表示为广表示为广义外力义外力F1, F2,Fi , Fn的函数的函数,则则V对任意广义外力对任意广义外力Fi的偏导数等于在的偏导数等于在Fi作用点与作用点与Fi相对应的广义位移相对应的广义位移 i.注意注意：该定理仅适用于：该定理仅适用于线弹性结构线弹性结构 .w剪切弯曲剪切弯曲FViiliEIdxxMF2)(2dxFxMEIxMli)()(wm根杆构成的静定桁架结构根杆构成的静定桁架结构FViim

21、jjjjNjiAElFF122mjiNjjjjNjFFAElF1横截面高度远小于轴线半径的平面曲杆受弯时也可仿横截面高度远小于轴线半径的平面曲杆受弯时也可仿照该直梁公式计算广义位移照该直梁公式计算广义位移.实际应用卡氏定理求解结构位移时，为减少计算量，实际应用卡氏定理求解结构位移时，为减少计算量，通常是先求偏导数再求积分或求和通常是先求偏导数再求积分或求和.【例【例13-5】图示外伸梁抗弯刚度】图示外伸梁抗弯刚度为为EI，求，求C端挠度和端挠度和A端转角端转角.x1lFaABCMeA【解】【解】1）求支座约束反力）求支座约束反力x2RA0)(FalRMmAeAiBFlFaMReAA2）分段写梁

22、的弯矩方程）分段写梁的弯矩方程AB段：段：MxRxMeAA11)(MlxFaMeAeA1)(BC段：段：xFxM22)(3）求）求C端挠度端挠度lCdxFxMEIxM)()(xdlxaEIMlxFaMleAeA1101)(xdxEIxFa2202)(363132aFlaMaFlEIeA4）求）求A端转角端转角leAAdxMxMEIxM)()(leAeAxdlxEIMlxFaM01111)(631FlalMEIeA用卡氏定理求结构某处的广义位移时，要求该处有与所用卡氏定理求结构某处的广义位移时，要求该处有与所求位移相对应的载荷求位移相对应的载荷.否则，不能直接用卡氏定理求解否则，不能直接用卡氏定

23、理求解.若欲求结构某处的广义位移，但该处并没有与之对应的若欲求结构某处的广义位移，但该处并没有与之对应的载荷，则采用载荷，则采用附加载荷法附加载荷法.即先在该处人为地附加一个与即先在该处人为地附加一个与所求位移相对应的载荷，用卡氏定理求出该处的广义位所求位移相对应的载荷，用卡氏定理求出该处的广义位移后移后,再在该位移表达式中令附加的载荷值为零即可再在该位移表达式中令附加的载荷值为零即可.【例【例13-6】图示刚架的抗弯刚度为】图示刚架的抗弯刚度为EI，在截面，在截面B上作用一对矩为上作用一对矩为MeB的力偶的力偶.不计轴力和剪力，求截面不计轴力和剪力，求截面C的转角的转角 C及点及点D的水平位

24、移的水平位移 D DxABCDMeB2aaaMeCFDyFDxFAyFAx【解】【解】1）分别在）分别在C截面附加力偶矩截面附加力偶矩MeC，在点，在点D附加水平外力附加水平外力FDx2）求）求A、D处的约束反力处的约束反力3）求刚架的弯矩方程）求刚架的弯矩方程022)(00MMFaFamFFFFFFeCeBDxDyiADyAyiyDxAxixFaMMFFaMMFFFFeCeBDxDyeCeBDxAyDxAx22x2AB段：段：xFxMAx11)(xFDx1视线视线视视线线BC段：段：MxFxMeBAx11)(MxFeBDx1CD段：段：xFxMDy22)(xaMMFeCeBDx224）求）求

25、C截面的转角截面的转角leCCdxMxMEIxM)()(aeCxdMxMEIxM0111)()(aaeCxdMxMEIxM2111)()(aeCxdMxMEIxM20222)()(aeCeBDxxdaxEIxaMMF2022222在上式中令在上式中令FDx=0、MeC=0得得EIMaeBC32ABCDMeB2aaaMeCFDyFDxFAyFAxx15）求）求D点的水平位移点的水平位移lDxDxdxFxMEIxM)()(aDxxdFxMEIxM0111)()(aaDxxdFxMEIxM2111)()(aDxxdFxMEIxM20222)()(aeCeBDxxdxEIxaMMF202222在上式中

26、令在上式中令FDx=0、MeC=0得得EIMaeBDx6172aDxxdxEIxF0111aaeBDxxdxEIMxF2111在求在求C截面的转角时，可在弯矩方程中直接令截面的转角时，可在弯矩方程中直接令FDx=0，在，在积分前令积分前令MeC=0；在求；在求D点的水平位移时，在弯矩方程中点的水平位移时，在弯矩方程中直接令直接令MeC=0，在积分前令，在积分前令FDx=0 .【例【例13-7】图示轴线为四分之一圆周】图示轴线为四分之一圆周的平面曲杆的抗弯刚度为的平面曲杆的抗弯刚度为EI，A端固端固定，定，B端作用有力端作用有力F.不计轴力和剪力影不计轴力和剪力影响，求响，求B端水平位移端水平位

27、移 B Bx和铅垂位移和铅垂位移 B By. coscos)(RFM【解】【解】 1）求）求 截面的弯矩截面的弯矩2）求）求B端水平端水平位移位移 B BxlBxdsFMEIM)sin()()(20)sin1 ()sin1 (sincoscosRdREIRFRFABRFsin)83(cos243EIRF3）求）求B端铅垂端铅垂位移位移 B BylBydsFMEIM)cos()()(20)cos()sin1 (sincoscosRdREIRFRF)sin2cos(43EIRF)sin1 (sinRF【例【例13-8】求图示超静定梁】求图示超静定梁C点处的约束反力点处的约束反力.RCMeA2aaa

28、aCEBDyxP【解】【解】1）用）用RC 表示表示A、E处约束反力处约束反力RA 、 RE052)(RaMRaaPmEeCiAF0345)(MaRaPaRmeCAiEFaMRaaPReCE52aMaRaPReCA5342）写弯矩方程）写弯矩方程AB段：段：xaMaRaPxRxMeCA534)(BC段：段：)(534)()(axPxaMaRaPaxPxRxMeCACD段：段：MxaaMRaaPMxaRxMeeCeE)5(52)5()(DE段：段：)5(52)5()(xaaMRaaPxaRxMeCE3）求）求C点挠度并令其为零点挠度并令其为零0)()(lCCdxRxMEIxMaMPReC285R

29、ARE123456789ABCDEFFaaa【例【例13-9】图示桁架结构各杆】图示桁架结构各杆的弹性模量均为的弹性模量均为EA，求，求A点的点的水平位移水平位移x和铅垂位移和铅垂位移y .P【解】在【解】在A点附加载荷点附加载荷P，用卡，用卡氏定理求出该处的广义位移后氏定理求出该处的广义位移后,再令再令P=0即可即可F2F2FNjlFjNjFFNjPFNj22123456789ABCDEFFaaaPF2F2FNjlFjNjFFNjPFNj2291jNjjjjNjxFFAElF91jNjjjjNjyPFAElFEAPaFa)248(EAFax)248( EAFaPa 2EAFay令令P=0，得

30、，得在满足约束条件下，构件因广义外在满足约束条件下，构件因广义外力本身作用而引起的实际广义位移力本身作用而引起的实际广义位移.虚位移是在平衡位置上再增加的位移，在虚位移发生过虚位移是在平衡位置上再增加的位移，在虚位移发生过程中构件原有广义外力和广义内力始终保持不变且平衡程中构件原有广义外力和广义内力始终保持不变且平衡.虚位移应满足边界条件、连续条件和小变形要求虚位移应满足边界条件、连续条件和小变形要求.在满足约束条件下，由构件广义外力以外的其他因素如在满足约束条件下，由构件广义外力以外的其他因素如温度变化及另附加的广义外力等引起的温度变化及另附加的广义外力等引起的(可能或实际发生可能或实际发生

31、的的)广义位移称为广义位移称为( (该广义外力的该广义外力的) )虚位移虚位移.FP F的实位移的实位移F的虚位移的虚位移在满足约束条件下，构件因广义内力以外的其他因在满足约束条件下，构件因广义内力以外的其他因素如温度变化及另附加的广义内力等引起的可能或素如温度变化及另附加的广义内力等引起的可能或实际发生的变形称为实际发生的变形称为( (该广义内力的该广义内力的) )虚变形虚变形.广义外力在广义虚位移上所作的功称为广义外力在广义虚位移上所作的功称为(该广义外力该广义外力的的)外虚功外虚功，广义内力在广义虚变形上所作的功称为，广义内力在广义虚变形上所作的功称为(该广义内力的该广义内力的)内虚功内

32、虚功.广义外力广义外力(广义内力广义内力)与相应的广义虚位移与相应的广义虚位移(广义虚变广义虚变形形)同向时，虚功为正，反之为负同向时，虚功为正，反之为负.广义外力在自身引起的广义实位移上所作的功广义外力在自身引起的广义实位移上所作的功.在满足约束条件下，构件因广义内力本身作用而引在满足约束条件下，构件因广义内力本身作用而引起的实际广义变形起的实际广义变形.其中：其中： i*与广义外力与广义外力Fi相对应的虚位移；相对应的虚位移； d(l)*、d *、d *、d *与广义内力相对应的虚变形与广义内力相对应的虚变形.虚功原理适用于所有结构，不管材料是线弹性的或非线弹虚功原理适用于所有结构，不管材

33、料是线弹性的或非线弹性的，也不管材料是弹性的或塑性的性的，也不管材料是弹性的或塑性的.广义外力在其虚位移上所作的外虚功之代数和，等于广义广义外力在其虚位移上所作的外虚功之代数和，等于广义内力在相应的虚变形上所作的内虚功之代数和内力在相应的虚变形上所作的内虚功之代数和.lllSlNiidxMdxTdxFldxFF*)()()()()(利用虚功原理可得到计算结构一点位移的利用虚功原理可得到计算结构一点位移的单位载荷法单位载荷法公式公式.因只要满足结构边界条件、连续条件和小变形要求的微小因只要满足结构边界条件、连续条件和小变形要求的微小位移均可作为结构的虚位移，故可将广义外力引起的实际位移均可作为结

34、构的虚位移，故可将广义外力引起的实际位移作为虚位移，将结构各微段两端横截面间的实际变形位移作为虚位移，将结构各微段两端横截面间的实际变形作为虚变形作为虚变形.欲求结构某点的广义实位移欲求结构某点的广义实位移，则视，则视为虚位移为虚位移，视相应的，视相应的实变形实变形d(l) 、d、d 、d为虚变形为虚变形.lllSlNdxMdxTdxFldxF)()()()()(1)()()()(xMxTxFxFSN、假设在该点施加一个与假设在该点施加一个与相对应的相对应的单位单位广义外力，则广义外力，则由该力引起的结构内力由该力引起的结构内力 可由平衡方程求出，则结构虚功满足：可由平衡方程求出，则结构虚功满

35、足：该公式是基于四种内力均存在且均需要考虑时的组合变形该公式是基于四种内力均存在且均需要考虑时的组合变形情形而建立的情形而建立的. .对于一个实际结构，这四种内力不一定需对于一个实际结构，这四种内力不一定需要全部考虑，故公式右边某些项不一定均有要全部考虑，故公式右边某些项不一定均有对有对有m根杆的杆系如桁架结构，根杆的杆系如桁架结构，mjjNjlF11此即为计算结构某点广义位移此即为计算结构某点广义位移的公式的公式. .【例【例13-10】力】力F作用于简支梁跨度中点作用于简支梁跨度中点.材料的应力材料的应力应变关系为应变关系为 ，式中，式中C为常数，为常数，和和 皆取绝皆取绝对值对值.求该梁

36、中点的垂直位移求该梁中点的垂直位移D .Cl/2l/2FADBD【解】【解】1）求）求d因距梁中性层为因距梁中性层为y处的线应变为处的线应变为y故正应力为故正应力为yCCx截面上的弯矩为截面上的弯矩为AAAdAyCdAyCydAyxM23)(令令AdAyI23*则则)()(1*22ICxM因因dxd1且且2)(FxxM故故dxd1)()(*22ICdxxM)(4*222ICdxxF2)(xxM在在M (x)中令中令F=1得假设在得假设在D点点施加一单位力时引起的弯矩施加一单位力时引起的弯矩3）求）求DlDdxM)(20*222)(422ldxICxFx20*232)(4ldxICxF)(256

37、*242IClF2）求）求)(xM【例【例13-11】图示简单桁架结构中两杆的横截面面积均为】图示简单桁架结构中两杆的横截面面积均为A，材料的应力应变关系同【例材料的应力应变关系同【例13-10】所述】所述.求节点求节点B的垂直的垂直位移位移V.FABCl【解】【解】1）求两杆的变形）求两杆的变形FFNBCFNAB0sin0cosFFFFFFNBCiyNBCNABixsincotFFFFNBCNABsincotAFAFBCAB)sin()()cot(22222222ACFCACFCBCBCABABcos)sin()()cot(2222AClFllAClFllBCBCBCABABAB2）在）在F

38、NAB, FNBC中令中令F=1得假设在得假设在节点节点B 施加单位外力时引起的轴力施加单位外力时引起的轴力3）求）求VlFlFBCNBCABNABV2sinsin)() 1cos(22242AClFcotFNABsin1FNBC若材料是若材料是线弹性线弹性的，则构件的微小拉压、扭转和弯曲变形：的，则构件的微小拉压、扭转和弯曲变形：)()()(xEAdxxFldN)()(xIGdxxTdP)()(xEIdxxMd由单位载荷法：由单位载荷法：llPlNNxEIdxxMxMxIGdxxTxTxEAdxxFxF)()()()()()()()()(对非圆截面杆件的扭转，对非圆截面杆件的扭转，IP应改为

39、应改为It.上式称为上式称为莫尔定理莫尔定理，其中的积分称为，其中的积分称为莫尔积分莫尔积分.w1. 对有对有m根杆的杆系如桁架结构，根杆的杆系如桁架结构， mjjjNjjNjAElFF1x1【例【例13-12】图示线弹性刚架抗弯刚】图示线弹性刚架抗弯刚度为度为EI，不计轴力和剪力影响，求其，不计轴力和剪力影响，求其A端的垂直位移端的垂直位移 y和截面和截面B的转角的转角B.x2【解】【解】1）求垂直位移）求垂直位移 yalACB1AB段：段：xFxM11)(BC段：段：FaxM)(2令令F=1得在得在A端假设施加端假设施加单位力时引起的弯矩：单位力时引起的弯矩：xxM11)(axM)(2ay

40、EIxdxMxM0111)()(laEIxdaFEIxdxF0220121EIlaFaF3323AB段：段：BC段：段：lEIxdxMxM0222)()(2）求转角）求转角B求在截面求在截面B假设施加一单位假设施加一单位力偶矩引起的弯矩方程力偶矩引起的弯矩方程AB段：段：0)(1xM BC段：段：1)(2xMlBEIxdxMxM0222)()(lEIxFad02EIFalF123456789ABCDEFFaaa【例【例13-13】图示线弹性桁架】图示线弹性桁架结构各杆的弹性模量均为结构各杆的弹性模量均为EA，求求A、C点的相对位移点的相对位移AC .【解】【解】 A、C点之间施加一对单点之间施

41、加一对单位平衡力后用单位载荷法即可位平衡力后用单位载荷法即可11F2F2a2a291jjjjNjNjACAElFFF123456789ABCDEFaaaFNjljFNjEAFa)232( 21212121 AORF【例【例13-14】不计轴力和剪力影响，求图】不计轴力和剪力影响，求图示活塞环在力示活塞环在力F作用下切口的张开量作用下切口的张开量 AB.ROABFF dd【解】【解】1）求活塞环的弯矩方程）求活塞环的弯矩方程)cos1 ()(FRM在上式中令在上式中令F=1得假设在得假设在A端施端施加一单位力时引起的弯矩方程加一单位力时引起的弯矩方程)cos1 ()(RM2）求切口的张开量）求切

42、口的张开量 ABlABEIdsMM)()(0)cos1 ()cos1 (2EIRdFRREIFR330)()(2EIRdMMds=Rd R R 1R 【例【例13-15】不计剪力】不计剪力,求图示在铅垂面上的半圆形平面求图示在铅垂面上的半圆形平面曲杆在自重作用下任意截面的曲杆在自重作用下任意截面的转角转角, ,水平位移水平位移,铅垂位移铅垂位移. .q【解】【解】 1）由）由【例【例4-16】知其内力为知其内力为)sincos()(2RqMcos)cos()(qRqRFN)(M2 2）由单位载荷法求转角）由单位载荷法求转角在在截面施加单位力偶矩截面施加单位力偶矩EIRdMM)()()(1EIR

43、dRq)cos(sin2EIRq)sincos22(3), 0(1)(M,R R 11)(FN)(FSEIRdMMEARdFFNN)()()()()(2)sin(sin)(RM3 3）由单位载荷法求水平位移）由单位载荷法求水平位移在在截面施加水平单位力截面施加水平单位力sin)(FNEIRdRqREARdqR)sincos()sin(sincossin2)sin42cos34(4)22sin2cos2(842EIRqEARqEIRdMMEARdFFNN)()()()()(3EIRdRqREARdqR)sincos()cos(coscoscos2R)cos(cos)cos(cos)(RRRM4

44、4）由单位载荷法求铅垂位移）由单位载荷法求铅垂位移在在截面施加铅垂单位力截面施加铅垂单位力cos)cos()(FN1)(FN)(FS1)sin32sin3(4)sin42sin(422242222EIRqEARq【例【例13-1613-16】轴线为半圆的线弹性平面曲杆的一端水】轴线为半圆的线弹性平面曲杆的一端水平夹持平夹持, ,另一端自由另一端自由, ,设自重载荷集度为设自重载荷集度为q. . 不计剪力不计剪力, ,求任意截面的铅垂位移求任意截面的铅垂位移, ,扭转转角和弯曲转角扭转转角和弯曲转角. .【解】【解】1 1）由）由【4-174-17】知扭矩知扭矩T T( ( ) )和弯矩和弯矩MM( ( ) )2sin2)(22RqM)sin()(2RqTOARq n)(T)(MR R PEIRdMMIGRdTT)()()()()(1)sin()(RM)cos(1 )(RT2）由单位载荷法求）由单位载荷法求截面铅垂