第二章 数学模型作业与习题解答

1、第二章 数学模型作业与习题解答2-1 试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。图中电压u1和位移x1为输入量，电压u2和位移x2为输出量；k、k1和k2为弹性系数；f为阻尼器的阻尼系数。解：ìu=1idt+uÞu&=1&2ïï1íCò21Ci+uïïîu=iRÞi=u22Ru&12+RCu2=u&1U2(s)U=s=RCs1(s)s+1RCs+1RC&2+kx2=fx&1 fxfsX2(s)fs=fX1(s)fs+k

2、s+1k1+U(s) U1(s)=I(s)×cR1+CsR1×U2(s)=R2I(s)U2(s)R2(R1Cs+1) =U1(s)R1+R2+R2R1Cs&2=R1R2Cu&1+R2u1 (R1+R2)u2+R1R2Cu&2+uR1+R21&1+u2=uu1 R1R2R1CU2(s)=U1(s)R21R2+R1+CsR1×=R2+R2R1R1Cs+1=R2(R1Cs+1) R1+R2+R1R2Cs&2+k1x2+k2x2=k1x1+fx&1 fxök1æfs+1ç÷k1+k2&

3、#232;k1x2(s)fs+k1ø=fx1(s)fs+k1+k2s+1k1+k2U2(s)R2Cs+1 =U1(s)R+R+(R1+R2)Cs+112CsR2+1k2ì&fx+kx=kxÞx=x2ï323223sf+k í2ïk2x2+k1x2=k1x1+k2x3î(k1+k2)x2-k2k2x2=k1x1 sf+k2(k1+k2)sf+k1k2x2=k1x1 sf+k2fs+1x2k1(sf+k2)k2= x1(k1+k2)sf+k1k2k1+k2fs+1k1k22-2. 图2-56所示水箱中，Q1和Q2分别为水

4、箱的进水流量和用水流量，被控量为实际水面高度H。试求出该系统的动态方程。假设水箱横截面面积为C，流阻为R。解：H=1(Q1-Q2)dt CòQ2=a系数，取决于管道流出侧的阻力，消去中间变量Q2，可得CdH+=Q1 dt假定系统初始处在稳定点上，这时有：Q10=Q20=Q0，H=H0，当信号在该点附近小范围变化时，可以认为输出q2与输入H的关系是线性的，。即 ìQ2=Q0+DQ2ïíH=H0+DHïQ=Q+DQ01î1DH=1(DQ1-DQ2)dt òCDQ2=dQ2dH1H=H0q2=q0DH=1DH RR=dQ2dH=2

5、H0_流阻 Q0H=H0q2=q0dDH+DH=RDQ1 dtdH+H=RQ1 有时可将D符号去掉，即CRdtCRH(s)R =Q1(s)CRs+12-3 求图2-57信号x(t)的象函数X(s)。解：(a)Qx(t)=2+(t-t0)X(s)= 21-t0s+e ss2¥0(b)X(s)=òX(t)e-tsdt=òte-tsdt+ò0×dt 0t0t0¥1t0-tstd(e) ò0st01é-tst0=-te-òe-tsdtù 0ú0ëûsê=-1

6、33;1t0ù=-êt0e-t0s+òd(e-ts)ú sës0û1é1=-êt0e-t0s+e-tssêsët0ùú0úû1é1ù=-êt0e-t0s+(e-ts-1)ú sësû=11-2(1-t0s)e-t0s 2ss(c)Qx(t)= 44T4T4t-(t-)-(t-)+(t-T) 22222T2TTT-Ts4 X(s)=22(1-2e2+e-Ts) Ts2-4. 用拉氏变换求解下列微分方

7、程（假设初始条件为零）&(t)+x(t)=r(t) 1.Tx其中 r(t)分别为d(t)，1(t)和t·1(t)。&(t)+x&(t)+x(t)=d(t) x2.&&(t)+2x&(t)+x(t)=1(t) x3.&解：&(t)+x(t)=r(t) 1.TxX(s)=1R(s) Ts+1r(t)=d(t),R(s)=111X(s)= Ts+1s+1T1t1-TX(t)=e T1r(t)=1(t),R(s)= s1+s-s111 X(s)=-s(Ts+1)s(s+)ss+TTX(t)=1-e1-tTr(t)=t×

8、1(t),R(s)=1 s211+s-s+s-s111 X(s)=×2=2-TTs+1ss2(s+)ss(s+)TT111=2-T(-) 1sss+TX(t)=t-T(1-e1-tT)2-5. 一齿轮系如图2-58所示。Z1、Z2、Z3 和Z4分别为齿轮的齿数；J1、J2和J3分别表示 传动轴上的转动惯量；q1、q2和q3为各转轴的 角位移；Mm是电动机输出转矩。试列写折算到 电机轴上的齿轮系的运动方程。 解：M1Z1=, M2Z2M3Z3ZZ=ÞM1=1M2,M3=3M4 M4Z4Z2Z4dq1Z2Z=Þdq2=1dq1 dq2Z1Z2Zdq2Z4ZZ=

9、2;dq3=3dq2=4×1dq1dq3Z3Z4Z3Z2dq1ìM-M=J×11ïmdtïdq2ïM-M=J×í232dtïdq3ïM=J×3ï4dtîMm=M1+J1dq1Z1dqZdqdq=M2+J11=1(M3+J22)+J1 dtZ2dtZ2dtdt=Z1Z3dqdq(M4+J22)+J11Z2Z4dtdtdqZ1Z3dqdq(J33+J22)+J11Z2Z4dtdtdtZ12Z32dq1Zdqdq)()+J2(1)21+J11Z2Z4dtZ2dtdt =J

10、3(J3(Z12Z32Zdq)()+J2(1)2+J11=Mm Z2Z4Z2dt2-6 系统的微分方程组如下： x1(t)=r(t)-c(t)+n1(t) x2(t)=K1x1(t) x3(t)=x2(t)-x5(t) Tdx4=x3(t) dtx5(t)=x4(t)-K2n2(t) d2cdcK0x5(t)=2+ dtdtT均为大于零的常数。其中K0、K1、K2、试建立系统的结构图，并求传递函数C(s)C(s)R(s)N1(s)及C(s) N2(s)解：x1(t)=r(t)-c(t)+n1(t)x2=K1x1x3=x2-x5dx4=x3dtx5=x4-K2n2Td2cdcK0x5=2+dtd

11、t求X1(s)=R(s)-C(s)+N1(s)X2(s)=K1X1(s)X3(s)=X2(s)-X5(s)Þ1X3TsX5=X4-K2N2(s)X4=C(s)=K0X5s2+s C(s) 令N1(s)=0,N2(s)=0 R(s)消去中间变量，得K0K1C(s) =R(s)s(s+1)(Ts+1)+K0K1求C(s) 令R(s)=0,N2(s)=0 N1(s)消去中间变量得K0K1C(s) =N1(s)s(s+1)(Ts+1)+K0K1求C(s) 令R(s)=0,N2(s)=0 N2(s)消去中间变量得-TK0K1sC(s) =N2(s)s(s+1)(Ts+1)+K0K12-7. 简

12、化图2-59所示系统的结构图，并求系统传递函数C(s)。R(s)解：2-8. 试用梅逊公式列写图2-60所示系统的传递函数C(s)。 R(s)解：(a)L1=-G2G3H3, L2=-G3G4H4L3=-G1G2G3H2, L4=G1G2G3G4H1D=1+G2G3H3+G3G4H4+G1G2G3H2-G1G2G3G4H1P1=G1G2G3H4,D1=1G1G2G3H4C(s) =R(s)1+G2G3H3+G3G4H4+G1G2G3H2-G1G2G3G4H1(b)L1=-G1H1, L2=-G3H2L3=-G1G2G3H1H2,L4=G1G3H1H2D=1+G1H1+G3H2+G1G2G3H1

13、H2+G1G3H1H2P1=G1G2G3,D1=1P2=G4G3,D2=1+G1H1G1G2G3+G4G3(1+G1H1)C(s)= R(s)1+G1H1+G3H2+G1G2G3H1H2+G1G3H1H22-9.求出图2-61所示系统的传递函数C1(s)C2(s)C1(s)C2(s)、。 R1(s)R1(s)R2(s)R2(s)解：(a)D=1-G1G2G3G4C1(s)G1 =R1(s)1-G1G2G3G4-G1G2G3C2(s) =R1(s)1-G1G2G3G4-G1G3G4C1(s) =R2(s)1-G1G2G3G4G3C2(s) =R(s)1-G1G2G3G4(b)D=1-G1G2+G

14、4+G1G4G5H1H2-G1G2G4 C1(s)G1G2G3(1+G4) =R1(s)DC2(s)G1G4G5G6H2 =R1(s)DC1(s)-G1G2G3G4G5H1= R2(s)DC2(s)G4G5G6(1-G1G2)= R2(s)D2-10. 已知系统结构图2-62所示，图中N(s)为扰动作用，R(s)为输入。1.求传递函数C(s)C(s)和。 R(s)N(s)C(s)，问G0(s)=？=0）N(s) 2.若要消除干扰对输出的影响（即解：D=1+K1K2K3 s(Ts+1)K1K2K3KKKC(s)s(Ts+1)=2123 R(s)1+123Ts+s+K1K2K3s(Ts+1)-K3

15、K4K1K2K3G0+-K3K4s+K1K2K3G0Ts+1s(Ts+1)= 2123Ts+s+K1K2K31+s(Ts+1)C(s)=N(s)C(s)=0 N(s)-K3K4s+K1K2K3G0=0G0=K4s K1K22-11. 若某系统在阶跃输入作用r(t)=1(t)时，系统在零初始条件下的输出响应为c(t)=1-2e-2t+e-t试求系统传递函数和脉冲响应。解 单位阶跃输入时，有R(s)=1，依题意 sC(s)=1213s+21-+=× ss+2s+1(s+1)(s+2)sC(s)3s+2 =R(s)(s+1)(s+2) G(s)=-2t-t k(t)=L-1G(s)=L-1ê +=4e-eúës+1s+2ûé-14ù2-1