高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结

1、指数函数指数函数1、定义域、定义域 .2、值域、值域 .R3、图象、图象a10a 0,a1)a 10 a 0,0,且且a1)1)的性质：的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o4.有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质: (a0, b0, r, s Q )(1);rsrsa aa (2) ();rsrsaa (3) ().rrraba b 6.第一象限中第一象限中, ,指数函数底数与图象的关系指数函数底数与图象的关系图象图象从下到上从下到上, ,底数逐渐变大底数逐渐变大. .01badc 由由 y= =f(x) 的图象作的图象作 y= =f(|x|) 的图象：保留的图象：保留

2、y= =f(x)中中y轴右侧部分轴右侧部分,再加上这部分关于再加上这部分关于y轴对称的图形轴对称的图形.| |(4)22xxyy 与与oxy 【3】说出下列函数的图象与指数函数】说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图的图象的关系象的关系,并画出它们的示意图并画出它们的示意图.变式训练变式训练【例【例3】设】设a0且且a1，函数，函数y=a2x+2ax- -1在在- -1, 1上上的最大值为的最大值为14，求，求a的值的值. 1. 对数的概念对数的概念(1)对数的定义对数的定义 如果如果ax=N(a0且且a1)，那么数，那么数x叫做以叫做以a为底为底N的对数的对数, 记作记作_, 其中其中

3、_叫做对数的底叫做对数的底数数 ,_ 叫做真数叫做真数. Nx=logaNa对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a(a0且且a1)_常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_ln Nlg Nloga N(2) 几种常见对数几种常见对数10e2. 对数的性质与运算法则对数的性质与运算法则(1)对数的性质对数的性质负数和零没有对数负数和零没有对数; logaa = 1； loga1 = 0.(2) 积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：( a 0,且且 a 1,M 0, N 0)1loglog.naaMMn log ()loglog;aaaM

4、 NMN logloglog;aaaMMNN loglog(R);naaMnM n2. 对数的性质与运算法则对数的性质与运算法则(3)对数的重要公式对数的重要公式1) 对数的换底公式对数的换底公式logloglogcacbba ( ,(0,1)(1,),0)a cb 3) 四个重要推论四个重要推论lgllnlog;nglababba loglog;mnaanNNm 1log;logabba logloglog.aabcbc 且且, ,log(010)aNaN aaN2) 对数恒等式对数恒等式函函 数数y = logax ( a0 且且 a1 )图图 象象定义域定义域值值 域域单调性单调性过定点

5、过定点 趋趋 势势取值范围取值范围(0, +)R增函数增函数(1，0)底数越大，图象越靠近底数越大，图象越靠近 x 轴轴0 x1时时, y1时时, y00 x0 x1时时, y0且且a1)求证求证:(1)函数函数f(x)的图象总在的图象总在y轴的一侧；轴的一侧；(2)函数函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于图象上任意两点连线的斜率都大于0.1122121log (1)log (1)log,1xxxaaaxayyaaa 8分分 说到数形结合思想，我们更多的会想到以说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形形”助助“数数”来解决问题事实上，本题是以来解决问题事实上，本题是以“数数”来说明来说明

6、“形形”的问题，同样体现着数形结的问题，同样体现着数形结合的思想本题的易错点是：合的思想本题的易错点是： 找不到证明问题的切入口如第找不到证明问题的切入口如第(1)问，很问，很多考生不知道求其定义域多考生不知道求其定义域 不能正确进行分类讨论若对数或指数的不能正确进行分类讨论若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论底数中含有参数，一般要进行分类讨论.xy32112,yxyyxyxxxy的图象的图象.O 一般地，函数 叫做幂函数yxx是自变量， 是常数(-,0)减(-,0减(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共点(0,+)减增增0,+)增增单调性奇非奇非偶奇偶奇奇偶性y|

7、y00,+)R0,+)R值域x|x00,+)定义域y=x-1y=x3y=x2 y=x 函数性质幂函数的性质幂函数的性质21xy 幂函数的性质幂函数的性质 21,011（） （）所有的幂函数在（0,+ )上都定义，且图象都经过； （ ）如果，则图象过原点，且在0,+ )上为增函数； 30,04 xyyxxx 如果，则幂函数图象在区间上是，在第一象限内，当 从右边趋向于原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴减函数为奇数，当 趋向于时，图象在 轴上方无限地逼近 轴； 当时奇函数为偶，幂函数为；当时，幂函数为数偶函数 1 1、 求函数求函数 的单调区间，的单调区间，并指出其单调性并指出其单调性. . 2

8、21()3xxy 设设y=y=f(t),tf(t),t= =g(xg(x) )，则，则 （1 1）当）当f(tf(t) )和和g(xg(x) )的的单调性相同单调性相同时，时，fg(xfg(x)为增函数；为增函数； （2 2）当）当f(tf(t) )和和g(xg(x) )的的单调性相反单调性相反时，时，fg(xfg(x)为减函数；为减函数； xaxxf .函数 (a0)的大致图像 xaxxf xy0 0aa2 a2 a 利用所掌握的函数知识,探究函数 (a0)的性质. xaxxf 1. 定义域定义域2.奇偶性奇偶性(-,0) (0 ,+) 奇函数奇函数 f(-x)=-f(x) xaxxf 21

9、0,xx上式中为使上式符号确定1212212121121221211212,(0,), 0)的单调区间的单调区间. 当当x (0 ,+)时时,确定某单调区间确定某单调区间 121212, ,.,(,., () ().(,f(x).,(0,f(x).x xax xx xx xx xx xaxf xxx当时 由是任意的 知可无限接近 而在同一个区间取值知a,+ )时都成立 此时 f所以a,+ )时是增函数同时可知a)时是减函数. 当当x (-,0)时时,确定某单调区间确定某单调区间 ,.(,- a), (- a,0).f xf x由是奇函数 图像关于原点对称所以在是增函数在是减函数 (- a,0)

10、,(0, a).(,- a),( a,+ ), f x在是减函数在是增函数综上,函数 (a0)的单调区间是 xaxxf 单调区间的分界点为单调区间的分界点为: a的平方根的平方根5.函数 (a0)的值域 xaxxf , 22,aa 1.已知函数 7f xxx (1).1,2 ,.xfx求的值域 (2).2,4 ,.xfx求的最小值 (3).7, 3 ,.xfx 求的值域( ).1,2(2)( )(1)1( )8 , 82xff xff x1 在是减函数 1 即 值域为2 7:( ),7,0,7f xxx 解函数在 07递减 在7递增( ).72,4 , ( )( 7)( )2,47xf xff

11、 xx2 分析知的最小值为 在最小值为2(3).7, 3( 7)( )( 3)168( )7, 38, -3xff xff xx 在是增函数 16 即- 值域为 32.已知函数 ,求f(x)的最小值,并求此时的x值. 2254xf xx 222222min4 11:4444,15y2,2240225, 02xf xxxxtxtxxf xx解原函数化为1令 y=t+,(t2) 此函数在 1+递增t 此时 即时3.建筑一个容积为建筑一个容积为800米米3,深深8米的长方体米的长方体水池水池(无盖无盖).池壁池壁,池底造价分别为池底造价分别为a元元/米米2和和2a元元/ 米米2.底面一边长为底面一边

12、长为x米米,总造价为总造价为y.写出写出y与与x的函数式的函数式,问底面边长问底面边长x为何值时为何值时总造价总造价y最低最低,是多少是多少?22:S=100,100 2008 (2)xxx解长方体底面积米底面另一边长为 池壁总面积为米min100t()0,10,t20 y520():,520.xxaa函数 在是减函数 在 10 +是增函数在x=10时 最小值为 元答底面一边长为10米时 总造价最低为元200100 2(2) 810020016 () (0)yaxaxaa xxx 总造价 函数图象与变换1平移变换(1)水平方向的变换：yf(xa)的图象可由yf(x)的图象沿x轴向左平移(a0)

13、或向右平移(a0)或向下平移(b0)|b|个单位而得到2对称变换(1)yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称(2)yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称(3)yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称(4)y|f(x)|的图象是保留yf(x)图象中位于x轴上方的部分及与x轴的交点，将yf(x)的图象中位于x轴下方的部分翻折到x轴上方去而得到(5)yf(|x|)的图象是保留yf(x)中位于y轴右边部分及与y轴的交点，去掉y轴左边部分而利用偶函数的性质，将y轴右边部分以y轴为对称轴翻折到y轴左边去而得到例 1作出下列函数的图象：(1)y2xx1；(2)y|x22x|；(3)yx22|x|.(2)

14、先作函数yx22x的位于x轴上方的图象，再作x轴下方图象关于x轴对称的图象，得函数y|x22x|的图象，如图所示例 1作出下列函数的图象：(1)y2xx1；(2)y|x22x|；(3)yx22|x|.(3)先作函数yx22x位于y轴右边的图象，再作关于y轴对称的图象，得到函数yx22|x|的图象，如图所示例 1作出下列函数的图象：(1)y2xx1；(2)y|x22x|；(3)yx22|x|.抓住函数中的某抓住函数中的某些性质，通过局些性质，通过局部性质或图象的部性质或图象的局部特征，利用局部特征，利用常规数学思想方常规数学思想方法（如类比法、法（如类比法、赋值法赋值法添、拆项添、拆项等）。等）

15、。高考题和平时的高考题和平时的模拟题中经常出模拟题中经常出 现现 。 抽象性较强；抽象性较强；综合性强；综合性强； 灵活性强；灵活性强； 难度大。难度大。 没有具体给出函没有具体给出函数解析式但给出数解析式但给出某些函数特性或某些函数特性或相应条件的函数相应条件的函数抽象函数问题抽象函数问题一、研究函数性质“赋值” 策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。【例【例 1】若奇函数若奇函数( )()f xxR，满足，满足(2) 1,(2)( )(2)ff xf xf，则，则(1)f等于（等于（ ） A0 B1 C12

16、D12 (1)(1)令令x=,-2,-1,0,1,2,x=,-2,-1,0,1,2,等特殊值求等特殊值求抽象函数的函数值；抽象函数的函数值；(3)(3)令令y=-x,y=-x,判断抽象函数的奇偶性；判断抽象函数的奇偶性；(4)(4)换换x x为为x+T,x+T,确定抽象函数的周期；确定抽象函数的周期；(2)(2)令令x=xx=x2 2,y=x,y=x1 1或或y= ,y= ,且且x x1 1x0且且 ）y=logax(a0且且 ）同上同上1a1a一、一次一、一次函数模型函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y) 解：解：xy令)()()0(,xfxff则0 yx又令0)0(f得 fxf x()

17、( )2)1()1(ff故，ff()() 221424 12)(，上的值域为：，在xf)()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf2121,xxxx且任取)()()()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf则)()()(2121xxfyxfyxf21xx 021xx0)(21 xxf则根据题意有为增函数在函数Rxxf)(12)(2)1(0)(，在求，xffxf都有对任意的实数已知函数yxxf,)(时且当0)()()(xyfxfyxf例例1:1:上的值域解法解法2：0)(12xxfRxxxx2121，且设012 xx则, 0)(0 xfx时，由条件知当，)()(1122xx

18、xfxf又 的增函数。为Rxxf)()()()(1112xfxfxxf54)1(32)1()2()12()3(fffff又)1()22(2faaf则的解集。求不等式时，当有对任意已知函数3)22(, 5)3(2)(0),(2)()(,)(2aaffxfxyxfyfxfRyxxf例例2： 解解： 31|3)22(2aaaaf的解集为：因此不等式 2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(yxfyfxf2121,xxxx且任取2)()(2)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf则)()()(2121xxfyxfyxf21xx021xx0)(21 xxf则根据题意有3)1( f为增函数在函数Rxxf)(1222aa即31a得令xy二二. . 指数指数函数模型函数模型:f(x+y)