高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)

1、数学必会基础题型平面向量【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。8.三角形法则：；（指向被减数）9.平行四边形法则： 以为邻边的平行四边形的两条对角线分别为，。10.共线定理：。当时，同向；当时，反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量

2、的模：若，则，13.数量积与夹角公式：； 14.平行与垂直：；题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若与共线， 与共线，则与共线。（8）若，则。（9）若，则。（10）若与不共线，则与都不是零向量。（11）若，则。（12）若，则。题型2.向量的加减运算1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 。2.化简 。3.已知,则的最大值和

3、最小值分别为 、 。4.已知的和向量，且，则 ， 。5.已知点C在线段AB上，且,则 ， 。题型3.向量的数乘运算1.计算：（1） （2）2.已知，则 。题型4.作图法球向量的和已知向量，如下图，请做出向量和。 题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示。2.在平行四边形中，已知，求。题型6.向量的坐标运算1.已知，则点的坐标是 。2.已知，则点的坐标是 。3.若物体受三个力,则合力的坐标为 。4.已知，求，。5.已知,向量与相等，求的值。6.已知，则 。7.已知是坐标原点，且，求的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组

4、向量是否能构成一组基底：A. B. C. D.2.已知，能与构成基底的是（ ）A. B. C. D.题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，求的坐标。2.已知是原点，点在第一象限，求的坐标。题型9.求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。2.已知，求（1），（2），（3），（4）。题型10.求向量的夹角1.已知，求与的夹角。2.已知，求与的夹角。3.已知，求。题型11.求向量的模1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。2.已知，求（1），（5），（6）。3.已知，求。题型12.求单位向量 【与平行的单位向量：】1.与平行的单位向量是 。2.与

5、平行的单位向量是 。题型13.向量的平行与垂直1.已知，当为何值时，（1）？（2）？2.已知，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时，向量与平行？3.已知是非零向量，且，求证：。题型14.三点共线问题1.已知，求证：三点共线。2.设，求证：三点共线。3.已知，则一定共线的三点是 。4.已知，若点在直线上，求的值。5.已知四个点的坐标，是否存在常数，使成立？题型15.判断多边形的形状1.若，且,则四边形的形状是 。2.已知，证明四边形是梯形。3.已知，求证：是直角三角形。4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用1.已知，当为何值时，向量与平行？2.已知，

6、且，求的坐标。3.已知同向，则，求的坐标。3.已知，则 。4.已知，请将用向量表示向量。5.已知，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；（2）若与的夹角为锐角，求的范围。6.已知，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？7.已知梯形的顶点坐标分别为，且，求点的坐标。8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求第四个顶点的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度与船的实际速度。10.已知三个顶点的坐标分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值。【备用】1.已知，求和向量的夹角。2.已知，且，求的夹角的余弦。1.已知，则 65 。4.已知两向量，求当垂直时的x的值。5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围。变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1.特例法例：全品P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C重合时，可以得到，。2.代入验证法例：已知向量，则（