13简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1、§1.3简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词基础知识自主学习要点梳理1命题中的“且” > “生”叫做逻辑联结词2. 全称量词与存在量词(1) 常见的全称量词有：“任意一个” > “一切” >“每一个”、“任给” > “所有的”等(2) 常见的存在量词有：“存在一个” > “至少有一“有一个”.“某个”.“有的”等.(3) 全称量词用符号“亠”表示；存在量词用符号表示.(4) 全称命题与存在性命题 含有全称量词的命题叫全称命题. 含有存在量词的命题叫存在性命题.3. 命题的否定(1) 全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否 定是全称命题.p或g的否定为

2、：非p且非g;p且g的否定为：非p或非g.基础自测1.下列命题： 有的实数是无限不循环小数； 有些三角形不是等腰三角形； 有的菱形是正方形； 2兀+1 &WR)是整数； 对所有的穴WR, Q3; 对任意一个兀丘乙加2+1为奇数.其中假命题的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 5解析为真命题，为假命题，故选B.2.已知pKq为真，则下列命题中的假命（C ）P；P或Q；p且？；SA. B. C. D.解析广p且§为真, P为真且彳也为真, 即P为假，g为真.3命题“对任意实数x£R,N；+;c2+5W0”的否定是（C ）A. 不存在兀丘 R, x4-x3+x2+5

3、 W 0B. 存在xER, x4加+兀2+500C. 存在xER, x4-x3+x2+5>0D. 对任意兀丘R, x4-兀3+兀2+5>o解析 命题的否定是“ m兀ER, x4-x3+x2+5>ow .4如果命题心3或”为假命题，则(C)A. p, q均为真命题B. p, g均为假命题C. p, g中至少有一个为真命题D. p, q中至多有一个为真命题 解析由题意知p或g为真命题，:P、Q中至少有一个为真命题，故选C.5. (2009 浙江)若函数/(x) = x2+-(aGR),X则下列结论正确的是(C )A. /aWR,/(x)在(0, +8)上是增函数B. VaeR,/

4、(x)在(0, +8)上是减函数C. 3是偶函数D. 3 aGR,/(x)是奇函数解析 广(x) = 2x-笃，故只有当aWO时，/&)在 (0, +8)上是增函数，因此A、B不对，当“0时， f(x)=x2是偶函数，因此C对，D不对.题型分类深度剖析更型一 用“或”、“且”、“非”联结简单命题并判断其真假【例1】写出由下列各组命题构成的 沖于、“pW、“P”形式的复合命题，并判断真假.(1) P：1是质数；qz 1是方程/+2X-3二0的根.(2) p:平行四边形的对角线相等；g：平行四边形的 对角线互相垂直.(3) p： 0丘0； q： x|x2_3_5<0 cR.(4) p

5、： 5W5； q： 27不是质数.思维启迪(1)利用“或”、“且”、“非”把两个 命题联结成新命题;根据命题P和命题q的真假判断复合命题的真假. 解 (1) P为假命题，q为真命题.pV:l是质数或是方程/+2l3二0的根.真命,pAq:l既是质数又是方程兀2+2x3二0的根.假命题.卩：1不是质数.真命题.(2) p为假命题，彳为假命题.pVg：平行四边形的对角线相等或互相垂直假命题. 平行四边形的对角线相等且互相垂直假命题. 卩：有些平行四边形的对角线不相等真命题.（3）VO ",又 Vx2_3x-5<0,知护3l5<0 =22f .3-7293 + V29.x<

6、;x<）a2u R成立.g为真命题.:q： 00或力|才2_3厂5<0 gR,真命题, p/q- OW 0且x|x2-3x-5<0匚R,假命题， 5 0毎0,真命题.(4)显然b 5W5为真命题, 牛27不是质数为真命题， :.p/qz 5W5或27不是质数，真命题,p/q- 5W5且27不是质数，真命题,p : 5>5,假命题.探究提高“pVg”、“pg”、-p”形式命题 真假的判断步骤：(1) 确定命题的构成形式;(2) 判断其中命题卩、Q的真假；(3) 确定计q”、"pg”、形式命题的 真假.题型二含有一个量词的命题 及其真假的判断【例2】（2009 辽

7、宁）下列4个命题:Pi ：(O,-h» ),(丄)' < (丄)'23P2： (O,l),log1 x> log, X；23” 1卩3 Vx G (0,+co),(-)' > log, X；P4： VX(0,|),d)X <log. X.323其中的真命题是()APi，p3B. Pi，p4C P29 P3D p2f P4思维启迪明确变量兀的范围，判断不等式是否成立, 从而得到命题的真假.解析 当兀丘（0, +8）恒有（lyv > （丄）X故P为假;23当只=丄H't, log, > log,丄，故P2为真；223 2

8、当兀=丄时，（丄）3 < log,故P3为假；2 2 2 2g（o,4（y V g严 1,.G）y。吓故P4为真.答案D探究提高 （1）要判断一个全称命题是真命题，必 须对限定的集合M中的每一个元素X,验证p（x）成立.（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集 合M中的一个尸兀。，使p （x0）不成立即可.（3）要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的 集合M中，至少能找到一个宀°，使P （兀o）成立即 可，否则这一存在性命题就是假命题.知能迁移2（2009 海南，宁夏）有四个关于三角函数的命题：i:3xeR,sin2- + cos2- =丄.2 2 2p2 3sin(

9、x-7)=sin xsin y.n 、 /l-cos2x .P3 Vx e |O,兀=sinx.卄兀P4 sin x = cos y>x + y = .其中的假命题是()AP1，P4B.p2,p4CP1，P3D. P2, P3解析对任意淀R,均有Si吩+ 8泻=1而不是£故Pi为假命题.当禺有一个为2k itgz)时,sin x-sin y=sin(x-y)成立，故灼是真命题.V cos 2x=l2sin2x,l-cos2x 1 -1 +2sin2 x .。:.=sin* x.2 2又xU0,兀时，sin xO, /对任意兀£ 0,兀, 均有f -cos2jc _si

10、n；t 因此卩3是真命题.7C7T当sin x=cos y,即 sin x = sin(= 2k y.2 2即x + y = 2k兀+彳伙w Z）,故卩4为假命题. 答案A "型三 含有一个量词的命题的否定【例3】写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属全称命题还是存在性命题.（1）所有的有理数是实数；（2）有的三角形是直角三角形；（3）每个二次函数的图象都与y轴相交；（4）VxeR,x2-2x>0.思维启迪|否定量词 LI否定判断词 L冷出命题的否宜»断命题真假解(1)：存在一个有理数不是实数，为假命题，属存在性命题.(2) "：所有的

11、三角形都不是直角三角形，为假命题， 属全称命题.(3) 存在一个二次函数的图象与y轴不相交，为假 命题，属存在性命题.p： Hr()e R,城- 2x()S 0,为真命题，属存在性命 题.探究提高在对含有一个量词的命题的否定中，全称命题的否定是存在性命题，而存在性命题的否定是 全称命题.知能迁移3写出下列命题的否定，并判断其真假.(1) P： VxeR,x2-% + ->();4(2) qz所有的正方形都是矩形：(3) r： mxER, x2+2x+20；(4) 头至少有一个实数;c,使川+1二0 解(D>：3eR,x2-x + l<0,这是假命题，i4因为 Va: e R,

12、 x2 - a: + = (x )2 > 0 恒成立42(2 ):至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3) : vwR,严+2兀+2>0,是真命题，这是由于 vxeR,x2+2x+2= (x+1)2+1M 1>0成立.(4) = : vxERF+lHO,是假命题，这是由于才=-1 时，分+1二0题型四 与逻辑联结词、量词有关的参数问题【例4】(12分)已知命题p： “ vxe 1, 2 , x2-aMO",命题q： "e R,x： + 2-a = O” '若命题，且g”是真命题，求实数a的取值范围.思维启迪(1)由全称命题P和存在性命题q分别确

13、定。的取值范围.(2)由“p且g”是真命题来确定。的不等式，从而求 出a的取值范围.解题示范解 由，且g”是真命题，知卩为真命题,g也为真命题.若P为真命题，即aWW恒成立， Vxe 1, 2,aWl.若g为真命题，即x2ax+2-a=0有实根，6分A =4a2-4(2a) MO,即aMl或aW-2, 综上，实数a的取值范围为aW-2或-1.10分12分探究提高含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题 的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的 条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.知能迁移4 已知命题p:对加£ -1,11,不等式以-5° -3M J府+8恒成立；命题

14、g：不等式x2+ox+20有解.若P是真命题，q是假命题，求a的取值范围.解 V/ne -1, 1,.V + 8e 272,3-；对加丘T, 1,不等式a25a3J加2恒成立, 可得N 3,.。三6或aW-l故命题P为真命题时，或aW-l又命题g:不等式必+亦+2<0有解， =a2-8>0.:.a > 2血或° < -2运.从而命题g为假命题时，-22 <a <22,命题P为真命题，q为假命题时，a的取值范围为一 2逅SaS_思想方法感悟提高方法与技巧1. 同一个全称命题或存在性命题，不同的表述形式, 列表如下：命题全称命题“ p (x) ”存在性

15、命题“日兀£4, p (x) ”表述 方法 对所有的才GA,p(x) 成立 对一切尤丘A, p (x) 成立 存松WA,使p(x) 成立 至少有一个xWA,使 p(x)成立表述 方法 对每一个xEA,p(x) 成立 任选_个 e A,使p (£ 成立 凡xWA,都有卩(兀) 成立 对有些炸A,使卩&) 成立 对某个兀使pd)成立 有一个兀W A,使p (%) 成立2. 一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面 词语等 T (二)大于(»小于()是都是不等于(H)不大于(W)不小于(M)不是不都是正面 词语至多有 一个至少有 一个任意的所有的一定

16、至少有 两个一个也 没有某个某些一定不 失误与防范LpPq为真命题，只需p、Q有一个为真即可，p/q 为真命题，必须p、q同时为真.2p或？的否定为：非p且非g； p且g的否定为：非p或 非?3. 全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否定 是全称命题.定时检测一、选择题1 .下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若必二1,则牙二1”的否命题为：“若兀2二1,则 WB. ax=-r是條2一5厂6二0”的必要不充分条件C. 命题“ 3xeR,使得兀2+x+i<o”的否定是：“目灼R,均有兀2+x+l<0”D. 命题"若兀二y,贝ijsinx=sin y9f的逆否命题为

17、真命解析 A中，否命题应为若兀2工1,贝中，x=l=>好-5厂6二0,应为充分条件；C中，命题的否定应为vxeR,均有好+兀+imo.答案D2.下列命题:VxeR,x2x; 3xeR,4M3;“必工1”的充要条件是“兀H1,或兀工-1” ,其中正确命题的个数是（C）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解析正确，故选C.3. （2008 广东）已知命题"所有有理数都是实数;题的是（D）A.qB.命题中正数的对数都是负数，则下列命中为真命C. C/?）aC）D. C/2）vC）解析 不难判断命题p为真命题，命题g为假命题, 从而上述叙述中只有r）v为真命题.4. 已知命题p：a2

18、M0（aGR）,命题g：函数代x）二穴2-%在区间0, +8）上单调递增，则下列命题为真命题的是A. pZ qD(J) /q解析P真，g假，:卩7q为真，故选A.5命题“存在x£Z使护+么+加三。”的否定是（D ） A.存在xWZ使兀2+2兀+加0B. 不存在才EZ使兀2+2x+zn0C. 对任意穴WZ使以+2兀+加0D. 对任意兀WZ使兀2+2尢+加0解析由定义知选D.6. 己知命题p: vxR, 2x2+2x+ y <0;命题0： 3xR, sin lcos 则下列判断正确的是 （D）A. p是真命题B. q是假命题C.是假命题D.q是假命题解析 2x2+2x+ |<0 O（2x+1） 2<0, p为假； sin xcos x=V2 sin（v） < V2,故g为真.4P为假，故选D.二、填空题7. 若命VxeR,x2-l>0,则命题p的否定是8. 己知命题p: mxWR, t-j+iwo,则命题 B是PX W Rr L 4 1 ' O'9命题“ mxER,“W12>4”的否定是fx u Rj乂 > 1 丨 I*' < 4解析已知命题为存在性命题，故其否定应是全称 命题.三、解答题10.已知pCc）： x2+2x-m>0, J§Lp是假命题，p是 真命题