综合国力的数学建模

1、综合国力的数学建模王树禾(中国科学技术大学)摘要本文考虑社会文明与社会丑恶现象的制约机制, 建立一个综合国力的非线性 数学模型, 从数学上讨论相应的二次微分系统的 H op f 分叉、中心与细焦点的判 定、极限环的存在唯一性等问题, 并对数学结论予以合理解释, 把社会相平面划分 成社会发展区域、社会动荡区域和社会崩溃区域, 研讨社会走向, 确定纳入社会发 展区域的途径.关键词数学模型, 二次微分系统, H op f 分叉, 极限环, 综合国力.分类号(中图)O 29; (1991M R ) 92H 10.一、数学建模一个国家的物质文明与精神文明综合而成的社会文明或曰综合国力, 其已有水平及其

2、走 向决定该国的强弱兴衰, 定量地研究各国的综合国力, 可以为本国内政与外交政策的制 定, 提供重要依据. 做为当今重大科研课题, 美国、日本、中国和欧洲各主要国家都组织科学 家进行研究1 .1981 年, 乔治敦大学战略与国际研究中心主任、美国中央情报局前副局长R r 克莱因教 授给出综合国力公式P p = (C + E + M ) × (S + W ) ,()其中 P p 是综合国力, C 是基本实体, E 是经济实力,M 是军事实力, S 是战略意图,W 是贯彻 国家战略的意志. 本文 1995 年 11 月 13 日收到. 1996 年 8 月 21 日收到修改稿.1987

3、年, 日本综合研究所出版日本综合国力一书, 其国力方程为P = (C + E + M ) × (G + D ) ,()其中 G 为国内政治能力, D 为外交能力.() () 只对已有国力进行度量, 未考虑时间因素引起的发展与变化, 无预报功能. 我国 著名军事未来学家黄硕风教授, 1988 年在美苏争霸战略问题一文中引入国力变化的微分 动力学模型, 其国力主方程为L o g ist ic 方程d y td t = y t 1 -y t ,()M其中 y t 是国力函数1 , 黄还给出国力要素中一系列子方程.我们基于社会发展的动力学思想, 在本文中建立综合国力的二次微分系统来探讨综合

4、国力的长消规律.称X ( t) 为硬国力函数, X ( t) 是某国物质文明 (资源、经济、军事、科技等) 水平的一个综合指标. X ( t) 越大, 物质文明越繁荣. X = X 0 是正常数, 表示 X ( t) 的警戒线.称 y ( t) 为软国力函数, y ( t) 是某国精神文明问题 (内政外交决策的失误与正确, 官员的 腐败与廉洁, 国民教育的失败与成功, 社会治安情况的严重与良好等) 的一个综合指标.y ( t) > 0 对应社会丑恶现象 (决策失误、教育失败、官贪民盗等) , 这时软国力对社会发展有阻滞作用; y ( t) < 0 时, 软国力优越 (决策英明、国民

5、素质高等) , 对社会发展有促进作用.记 x ( t) = X ( t) - X 0 , 则 - X 0 x ( t) M = co n st. .在一定的简化层次上, 我们建立了下面的数学模型:d x = x M - x d tM- y ,(1)d y = - y + (m - x ) x ,(2)d t其中 , , , , m ,M 皆为正的常数, m < M , x 与 y 的量纲是S (Sco re) , , , 的量纲是 T - 1 (T 是时间量纲) , 的量纲是 T - 1S - 1 , m 与M 的量纲是S . (1) (2) 的建模思想如下:物 质文明的发展速度d x

6、d t与现有文明水准 x ( t) 及发展潜力的份额M - xM成正比, 于是有 x M - xM这一项, 称为增长系数.- y 表示社会丑恶现象对物质文明发展的阻滞, 称为丑恶系数.- y 表示人民与政府对丑恶现象的抵制与治理力度, 它与现存丑恶现象的多寡成正 比, 称为统治系数.(m - x ) x 表示物质文明不足 (x ( t) < m ) 时, 丑恶现象随 x ( t) 之增长而加剧, 但物质 文明程度足够大之后 (x ( t) > m ) , 如史记管仲列传所云“仓廪实而知礼节, 衣食足而知荣 辱”, 社会丑恶现象随 x ( t) 之增加而减少.令 u ( t) = x

7、 ( t) , v ( t) = y ( t) , t = , 则(1) (2) 变成M Md ud = u (1 - u ) - v ,(3)d vd = -又令 v +M m - u u. (4)Ma =,b = ,c = M , = m ,仍把 写成 t, 得Md u = a u (1 - u ) - v ,(5)d td v = - bv + c ( - u ) u.(6)d t(1) (2) 与(5) (6) 的相图拓扑同胚.二、数学分析2我们来讨论方程组 (5) (6) 轨线的性质, 以下总假设 (+ )4< m < M .定理 1若 a b, 则方程组 (5) (6)

8、 无闭轨.证明取D u lac 函数B (u , v ) = ek u + lv , 则D = 5 a u (1 - u ) - v ek u + lv +5 -bv + c ( - u ) u ek u + lv 5u5v= ek u + lv (a - b) +k a + c l - 2a u -(k + b l) v -(k a + c l) u 2 ,令k a + c l - 2a = k + b l = 0,2得(注意由 (+ )4< m 可知 c > a b)k = - 2a b ,l = 2a ,c - a b于是c - a bD = ek u + lv a - b

9、-(k a + c l) u 2 ,而a k + c l = 2a (c - a b) > 0,c - a b所以当 a b 时, D 0, 等号仅在 a = b 且 u = 0 时发生, 由D u lac 准则, 方程组 (5) (6) 无闭 轨. 定理 1 证毕.,定理 2方程组 (5) (6) 有两个有限奇点 (0, 0) 和 (u 0 , v 0 ) =a b - c a u 0 (1 - u 0 ) ;a b - c(u 0 , v 0 ) 在第一象限, 是鞍点; (0, 0) 当 a < b 时是稳定粗焦点.证明令a u (1 - u ) - v = 0,- bv +

10、c ( - u ) u = 0,得有限奇点 (0, 0) 与(u 0 , v 0 ) =a b - c a u 0 (1 - u 0 ) . 由于m >a b - c(+ ) 24, 于是 a b - c< 0, a b - c < 0, a b - c > 0, 又 < 1, 故 u 0 < 1, a u 0 (1 - u 0 ) > 0, 即(u 0 , v 0 ) 在第一象限a b - c内.令 = u - u 0 , = v - v 0 , 则(5) (6) 变成d = a (1 - 2u 0 ) - - a 2 ,(7)d td = c (

11、- 2u 0 ) - b - c2.(8)d t(7) (8) 的线性近似系统的特征方程为2 +b - a (1 - 2u 0 ) + c ( - 2u 0 ) - a b (1 - 2u 0 ) = 0,(9)其中常数项c ( - 2u 0 ) - a b (1 - 2u 0 ) = a b - c < 0,故特征根是异号实数, (u 0 , v 0 ) 是鞍点.对于 (0, 0) 点, 特征方程为 2 + (b - a ) - a b + c = 0, 特征根为1, 2 =1 a - b ±(a - b) 2 + 4 (a b - c) ,22由于m > (+ ),

12、故(a - b) 2 + 4 (a b - c) < 0, 即 与 是实部为 1 (a - b) < 0 的共41 2 2轭复数, 所以当 a < b 时(0, 0) 是稳定的粗焦点, 定理 2 证毕.定理 3对于方程组 (5) (6) , 当 a = b 时, (0, 0) 是稳定的一阶细焦点; 当 a > b 时(0, 0)是不稳定粗焦点; 当 0 < a - b 1 时, (0, 0) 外围存在唯一极限环, 它是单重稳定环; a - b> a (c - a b) 时无极限环.c - a b证明用 x 记 u , y 记 v , (5) (6) 变成d

13、x = a x (1 - x ) - y ,d t令 x = x , z = bx - y , 则再令 z = (a b - c) Z , 则d y = - by + c ( - x ) x.d td x = (a - b) x - a x 2 + z ,d td z = (a b - c) x + (c - a b) x 2.d td Z = x 1 +c - a b x , (c - a b > 0, a b - c < 0)d ta b - cd x = (a - b) x - a x 2 + (ab - c) Z.d tx 1 + c - a b xd Zc - a b =

14、a b - c,(10)d x a - bc - a bx -ac - a bx 2 -c - a bZ令 =c - a bZ , 则d = x 1 + c - a b x ,d ta b - c令 - , x - x , 则d x =a - bd t c - a bd x =a - bd tc - a bx -ac - a bx +ac - a bx 2 - .x 2 - ,(11)d = x 1 +c - a b x .(12)d t(1) (2) 与(11) (12) 的相图拓扑同胚.记c - a b(11) (12) 改写成 =a - bc - a b,L =ac - a b,A =c

15、 - a b .c - a bd x = x - + L x 2 ,(13)d td = x (1 + A x ).(14)d t(13) (14) 的线性近似系统的特征方程为 2 - + 1 = 0, 由于m > (+ )4b 时, 0 < < 2, 特征根是实部 > 0 的共轭复数, 故(0, 0) 是不稳定粗焦点.当 a = b 时, = 0, (13) (14) 是2, 所以当 a >d x = - y + a 20 x 2 + a 11 x y + a 02 y 2 ,d td y = x + b20 x 2 + b11 x y + b02 y 2d t

16、的特例, 在(13) (14) 中, a 20 = L , b20 = A , a 02 = b02 = a 11 = b11 = 0, 求得第一焦点量15W 1 = (a 20 + a 02 ) (a 11 + 2b02 ) -(b20 + b02 ) (b11 + 2a 20 ) = - 2A L < 0,由2定理 12. 2 可得 (0, 0) 是稳定的一阶细焦点.由 H op f 分叉理论, 0 < a - b 1 时, 在(0, 0) 外围至少存在一个稳定的极限环.又(11) (12) 是叶彦谦意义下第 ¦ 类二次微分系统d x = - y + x + L x

17、2 + m x y + n y 2 ,d td y = x (1 + A x ) (A 0)d tm = n = 0 的情形. 由13定理 2. 2 知, 当 0 或 L A时, (13) (14) 进而 (5) (6) 无极限环, 而当 0, L A时, (5) (6) 至多有一个极限环, 且若存在, 必为原点外围的单重稳定环. 所以当 0 < a - b 1 时, (5) (6) 存在唯一的单重稳定极限环, 它在原点外围. 而当 L , 即 a - b > a (c - a b) 时, (5) (6) 无极限环. 定理 3 证毕.Ac - a b三、社会意义2在 (+ )4&l

18、t; m < M 的条件下, 由定理 13, 绘出相图如图 13.图 1 图 2在 图 13 中 曲 边 梯 形D O CGH D 是社会发展区域,“麻点 区”是社会动荡区域, 其余为社会 崩溃区域.1. a b 时, 统治系数大于增 长系数, 原点在社会动荡区域; 在社会动荡区域, 随着时间的推移, 社会 状态螺旋式动荡, 丑恶现象趋于无, 但物质文明水平亦趋于贫困线 (x= 0) , 见图 1.2. a > b, 0 < a - b 1, 增长 系数略高于统治系数, 在社会动荡区域内, 物质文明的多寡, 精神文明的优劣, 螺旋式振荡着趋于一个稳定的极限环, 顽固地进行拟周

19、期或 图 3周期动荡, 见图 2.3. a - b > a (c - a b) , 增长系数明显高于统治系数, 则社会相平面只划分成社会发展c - a b区 域和社会崩溃区域, 而原点处于社会崩溃区域. 在原点附近, 社会丑恶现象并不严重, 甚至 社会风气良好 (y ( t) < 0) , 但社会仍然趋于崩溃! 在原点附近, 即社会的物质文明与精神 文明都不发达, 这种国家, 不可只追求发展经济与军事而对社会的治理相对割弱. 即增长系数明显高于统治系数, 对这种国家的前途十分有害, 见图 3.4. 如果社会状态处于社会发展区域, 则在有限时间内, 物质文明趋于上界M , 社会丑恶

20、现象收敛, 发展成道德高尚的理想社会 (y ( t) < 0).5. 如果社会状态处于社会崩溃区域, 既使当初社会物质文明繁荣甚至在上界M 附近,随着时间的推移, 在有限时间内, 物质文明趋于崩溃线 x = - X 0 (X = 0).6. 若社会状态不在社会发展区域, 则应进行社会变革, 加大改革与治理的力度, 可以考 虑以下三种对策:1) 暂时停滞经济、军事等事业的发展, 尽全力把社会丑恶现象打下去, 即暂时使 x ( t) 保持不变, 而使 y ( t) 减小, 使得到某时刻 t1 , (x ( t1 ) , y ( t1 ) ) 落在社会发展区域内, 如图 1“1 号箭 头”所示

21、.2) 若社会丑恶现象的严重程度尚在D I 线以下, 则只需维持其不再加重, 而全力发展经 济等物质文明, 使社会状态纳入社会发展区域, 见图 1“2 号箭头”.3) 对策 1) 与 2) 的联合实施, 见图 1 的“3 号箭头”.四、参数估计不同的国家对应不同的参数组, , , , m ,M , 为了具体地定量研究某国的综合国力(x ( t) , y ( t) ) , 必须首先把该国的参数组确定出来.设 x 1 ( t) = 经济实力, x 2 ( t) = 军事实力, 则nx ( t) = i x i ( t) ,i= 1其中权 i 可用层次分析方法由比分矩阵的主特征向量给出11 .对历史

22、上 x i ( t) 的实况统计, 可由问卷调查或专家评议等办法用百分制评分.k对 y ( t) 也可类似地处理, y ( t) = i y i ( t).i= 1把各个历史值(x ( t) , y ( t) ) 代入 (1) (2) , 可求得参数组, , , , m ,M 的估计值.参数组的确定过程比较复杂, 不再详述.衷心感谢叶其孝教授、黄硕风教授及编辑和审稿同志, 他们给予本文写作很多鼓励、指 导和修改意见.(本文作者通讯地址: 合肥市中国科学技术大学数学系 邮码 230026)参 考 文 献1 黄硕风, 综合国力论, 中国社会科学出版社, 1992.2 叶彦谦, 极限环论, 上海科技

23、出版社, 1984.3 张芷芬等, 微分方程定性理论, 科学出版社, 1985.4 R ay. S. C line, W o r ld Pow e r A sse sm en t, W e stv iew P re ss, Inc. , 1975.5 保罗·肯尼迪, 大国的兴衰, 求实出版社, 1988.6 理查德·尼克松, 1999 不战而胜, 世界知识出版社, 1989.7 伊滕宪一, 国家与战略, 军事科学出版社, 1988.8 日本经济企划厅, 日本的综合国力, 1987.9 黄硕风, 综合国力与国情研究, 中国国情国力杂志, 1 (1992) , 13219.10

24、 黄硕风, 综合国力动态方程, 科学, 434 (1991) , 2832288.11 王树禾, 数学模型基础, 中国科大出版社, 1995.12 蔡燧林, 二次系统研究近况, 数学进展, 181 (1989) , 5221.13 蔡燧林, 张平光, 二次系统极限环的唯一性, 高校应用数学学报, 63 (1991) , 4502461.14 梁肇军, 多项式微分系统全局分析导引, 华中师大出版社, 武汉, 1989.15 李承治, 关于平面二次系统的两个问题, 中国科学, 1981, 9272938.M A T H EM A T ICA L M O D EL IN G FO R T H E SYN T H E T ICA L N A T IO N A L POW ERW an g Sh u h e(D ep t. o