华师大新版第23章图形的相似期末复习

1、生活中我们会碰到许多这样生活中我们会碰到许多这样形状形状相同相同、大小大小不一定相同不一定相同的图形的图形，在，在数学上，我们把具有数学上，我们把具有相同形状的图形相同形状的图形称为：称为：相似形相似形对于四条线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比，如果其中两条线段的长度的比与与另另两条线段的长度的比相等两条线段的长度的比相等， 即即 = ，那么这四条，那么这四条线段线段叫做叫做成比例线段成比例线段，简称简称比例比例线段线段abcd合比性质：合比性质：ddcbbadcba等比性质：等比性质：badbcanfdbmecanmfedcbaad=bcb2=acab=cdab=bc

2、(1)比例基本性质比例基本性质dbca.A AP PB B点点B B把线段把线段ACAC分成两部分分成两部分, ,如果如果 ，那么，那么称线段称线段ACAC被被点点B B 黄金分割黄金分割, ,点点P P为线段为线段AB AB 的的 黄金分割点黄金分割点, , APAP与与ABAB的的比比值值约为约为0.6180.618, ,这个比值称为这个比值称为 黄金比黄金比. .PBAPAPAB=思考思考:如何应用二次方程的知识求出如何应用二次方程的知识求出黄金比黄金比的数值的数值?1若若 a:3=b:7, 则则(a+3b):2b= ；2若若a=2，b=6，c=4，且，且a，b，c，d成比例，则成比例，

3、则d= ；3若若A1B1C1A2B2C2，对应高之比为，对应高之比为n：m，则面积之，则面积之比比 为为 ；4、5若若 x : 4 = y : 5 = z : 6 , 且且 3 x + 2 y + z = 5 6 , 则则 x 为 （为 （ ） A、8 B、10 C、12 D、16 xzy；zyx则如果754；2.2.下列命题正确的是（下列命题正确的是（ D ）A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。B. ABC的三边长为的三边长为3，4，5，ABC的三的三边边a+3,a+4,a+5. 则则ABC ABC。C.若两个三角形相似，且有一对边

4、相等，则它们的相似比为若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为1。D.都有一内角为都有一内角为100的两个等腰三角形相似。的两个等腰三角形相似。相似三角形的判定相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似。（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。那么

5、这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。么这两个三角形相似。相似三角形的性质相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等对应边的比相等，对应角相等（2）相似三角形的周长比等于相似比）相似三角形的周长比等于相似比（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方）相似三角形的面积比等于相似比的平方（4）相似三角形的对应边上的高、中线、）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线角平分线的比等于相似比的比等于相似比一一. .填空、选择题填空、选择题: :1 1、如图，、如图，DEBC, A

6、D:DB=2:3DEBC, AD:DB=2:3, , 则则 AEDAED和和 ABCABC 的相似比为的相似比为. .ABCDE2:552cm2、 已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边和它相似的三角形乙的最大边为为10cm，则三角形乙的最短边为，则三角形乙的最短边为_cm.3、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在腰在腰AC上取点上取点D, 使使ABC BDC, 则则DC=_.4. 4. 如图，如图，ADE ADE ACB,ACB,则则DE:BC=_ DE:BC=_ 。5 5、如、如图，图，D D是是A

7、BCABC一边一边BCBC上上一点，连接一点，连接AD,AD,使使ABC ABC DBADBA 的的条件是（条件是（ ）。）。 A. AC:BC=AD:BD A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:ADB. AC:BC=AB:AD C. C. ABAB2 2=CD=CDBC BC D. ABD. AB2 2=BD=BDBCBC6 6、 D D、E E分别为分别为ABC ABC 的的ABAB、ACAC上的上的点，且点，且DEBCDEBC， DCB= ADCB= A，把，把每两个相似的三角形称为一组，那每两个相似的三角形称为一组，那 么么图中共有相似三角形图中共有相似三角形_组。组。

8、DACBACBDE27331:31:3D D4 4ABEDC二、证明题：1. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC. 求证：AC2=ADAB.2. ABC中, BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连结AM. 求证： MAD MEA AM2=MDMEE EA AB BC CD DM MABCD定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。ABCDE想一想想一想 ：一个三角形有几条中位线？一个三角形有几条中位线？梯形的中位线梯形的中位线：梯形两腰中点连线叫做梯梯形两腰中点连线叫做梯 形的中位线形的中

9、位线CDABEF21高中位线梯形ABCDSABCDEF求梯形的比例问题时，可以利用化归思想，把梯形化归到三角形问题去解决2 2、已知、已知: :ABCABC三边长分别为三边长分别为a,b,c,a,b,c,它的三条中位线组成它的三条中位线组成DEF,DEF,DEFDEF的三条中位线又组成的三条中位线又组成HPN,HPN,则则HPNHPN的的周长周长等于等于, ,为为ABCABC周长的周长的, , 面积面积为为ABCABC面积的面积的,1 1、已知、已知: :三角形的各边分别为三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所，则连结各边中点所成三角形的周长为

10、成三角形的周长为cm,cm,面积为面积为cmcm2 2, ,为为原三角形面积的原三角形面积的。6108354DEFcba414161216141B HPN(填填“=”或或“”)=HPNABC相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的 物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。DBACEHFG例例3、如图，已知：、如图，已知：ABDB于点于点B ，CDDB于点于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在问：在DB上是否存在上是否存在P点，使以点，使以C、D、P为顶点的三角形与以为顶

11、点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；的位置；如果不存在，请说明理由。如果不存在，请说明理由。4614ADCB解解（1）假设存在这样的点）假设存在这样的点P，使，使ABPCDP 设设PD=x，则，则PB=14x，6：4=（14x）:x则有则有AB:CD=PB:PDx=5.6P6x14x4ADCBP（2）假设存在这样的点）假设存在这样的点P,使使ABPPDC,则则则有则有AB:PD=PB:CD设设PD=x，则，则PB=14x，6： x =（14x）: 4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6时，以时，以C、D、P

12、为顶点的三为顶点的三角形与以角形与以P、B、A为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似46x14xDBCAp在在 ABCABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,AB=8cm,BC=16cm,点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向边向B B点以点以2cm/2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC向点向点C C以以4cm/4cm/秒的速秒的速度移动，如果度移动，如果P P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，经几秒钟同时出发，经几秒钟 BPQBPQ与与 BACBAC相似？相似？分析：分析：由于由于PBQ与与ABC有公共角有公共角B；所以；所以

13、若若PBQ与与ABC相似，则有两种可能一种情况相似，则有两种可能一种情况为为 ,即即PQAC;另一种情况为另一种情况为 CBQBABPBABQBCBPBB BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒巩固提高巩固提高 。两图形中对应边有何关系两图形中对应边有何关系？对应对应角呢角呢?这这两个多边形相似吗？相似两个多边形相似吗？相似比是多少？比是多少？1任取一点任取一点O；2以点以点O为端点作射线为端点作射线OA、OB、OC、；3分别在射线分别在射线OA、OB、OC、 上取点上取点A、B、C、 ，使：使：OA:OA=OB:OB=OC:OC= =1.5;4连接连接AB、BC、 ，得到所

14、要画，得到所要画的多边形的多边形ABCDE.要画四边形要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点的位似图形，还可以任取一点O，如，如图，图，作直线作直线OA、OB、OC、OD，在点，在点O的另一侧取点的另一侧取点A、B、C、D，使，使OA OAOB OBOC OCOD OD2，也可以得到放大，也可以得到放大到到2倍的四边形倍的四边形ABCD 观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，并指，并指出位似图形的位似中心出位似图形的位似中心 如图：在三角形ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM，点P从A点出发，沿 AB以每秒4CM的速度向B点运动同

15、时点Q从C 点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运动，设运动的时间为X（1）当X 何值时，PQBC？（2）当SBCQ：SABC=1：3时，求SBPQ：SABC（3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由。ABPQC怎样确定某个地方的位置？怎样确定某个地方的位置？可以建立直角坐标系，用坐标表示各可以建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置。地的位置。 直角坐标系的位置不同，用坐标表示直角坐标系的位置不同，用坐标表示某地的位置也不同。某地的位置也不同。 问题问题思考思考 如图是某乡镇的示意图试建立直角坐标系，如图是某乡镇的示意图试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：用坐标表示各地的位置：图 18.5.2 xyo1如图是某乡镇的示意图试建立直角坐标系，如图