[电磁场与电磁波] 第三章 静态场及其边值问题的解

1、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版1第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版2本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电

2、磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版33.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电

3、位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版42. 边界条件边界条件0 DE微分形式：微分形式：DE本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程n12n12()()0SeeDDEEdd0SCqDSEl积分形式：积分形式：n12n12()0()0eeDDEE1n2n1t2t0SDDEE或或1n2n1t2tDDEE或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电

4、场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则0S第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版5介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene1122tantan 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 nn0SeeDEnt0SDE或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件D与E均垂直于导体表面第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁

5、波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版6即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。0E由由1. 电位函数的定义电位函数的定义E 3.1.2 电位函数电位函数第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版72. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理

6、得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位： 1()( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR1()( )d4lCrrlCR31()11( )d()()d4411()()d4VVVr RE rVrVRRrVR 31()RRR 线电荷的电位：线电荷的电位：Rrr31( )( )d4SSrrSCR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版83. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有dlE 将将dd(dddz)dEllxyxyz 上式两边从点上式两边从点

7、P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。dd( )()QQPPElPQ P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁

8、波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版9 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即()CC 选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个

9、问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版10 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中

10、2101201 211( )()44qqrrrrrrr221222( /2)cos( /2)cosrrdrdrrdrd2cos2drr用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得rd1cos ,2drr223000cos( )444rqdrrrrrp ep 代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。qdp+q电偶极子电偶极子zodq2r1rr),(rP第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版11ddrrrEE21sinr

11、C将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度30(2cossin )4rqree11( )()sinrrrrr Eeee2cosrC20cos4pCr等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版12 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一

12、致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r ，则，则000( )( )ddPPoOPOElErEr 若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE zree z00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均

13、匀电场的电位分布。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版13 解解 采用圆柱坐标系，令线电荷与采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则xyzL-L( , , ) z zddlzRz22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz2

14、20220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版142222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区时，上式变为无穷

15、大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有一个任意常数，则有L 002( )ln2lLrC并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版15在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的

16、微分方程在无源区域，在无源区域，0DEE 2 20标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版16由由 和和6. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：21120limd0PPlEln12()SeDD D12媒质媒质2媒质媒质121l2

17、P1P 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0S2121nn常数，常数，Sn 2121Snn12第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版17 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接

18、地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版180110(),0SbaCDa

19、 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDCbDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，xb12( )( ),bb2100( )( )Sx bxxxx最后得最后得 处，处，0 x 1(0)0 处，处，x a2( )0a所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社

20、出版出版19电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第3章 电磁场与电磁波电磁

21、场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版20 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电储存电荷能力的物理量。荷能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体组成的电容器，其电容为导体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只

22、与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。E02U1qq第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版21 (6) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。 (5) 由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q ； (3) 由由 得到得到E ; (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差； (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q ； 计算电容的方法一

23、计算电容的方法一： (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。Cq U21dU El (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的方法二计算电容的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U ； (4) 由由 得到得到 ;nSES (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；E dSSqSCq U第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版22 解：解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外

24、导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压同心导体间的电压04qabCUba球形电容器的电容球形电容器的电容04Ca当当 时，时，b 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容abo第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像

25、出版社高等教育电子音像出版社 出版出版23 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。llDa011( )()2lx

26、E xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版24 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体

27、半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版25 2. 部份电容部份电容在多导体系统中，任何两个导体

28、间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。概念加以推广，引入部分电容的概念。 在由在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为之间成线性关系，所以，各导体的电位为1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电位系数自电位系数()i jij 互电位系数互电位系数（1） 电位系数电位系数第3章 电磁场

29、与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版26 i j 在数值上等于第在数值上等于第 j个导体上的总电量为一个单位、而其余个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第导体上的总电量都为零时，第 i个导体上的电位，即个导体上的电位，即i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。1110(

30、 ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 电位系数的特点电位系数的特点：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版27若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电容系数或自感应系数自电容系数或自感应系数 ()i jij 互电容系数或互感应系数互电容系数或互感应系数 （2） 电容系数电容系数第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科

31、技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版28 i j 在数值上等于第在数值上等于第 j个导体上的个导体上的电位为一个单位电位为一个单位1v、而其余、而其余导体接地时，导体接地时，第第 i 个导体上的电量，即个导体上的电量，即 i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i

32、 0 、 ；0()ijij 电容系数的特点：电容系数的特点：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版29将各导体的电量表示为将各导体的电量表示为 式中：式中：（3） 部分电容部分电容(1, 2 ,)iN()Nijijiiij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 导体导体 i 与导体与导体 j 之间的部分电容之间的部分电容()ijijCij 导体导体 i 与地之间的部分电容与地之间的部分电容 1Ni ii jjC第3章 电磁场与电磁

33、波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版30 Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第第 i 个导个导 体上的电量；体上的电量； Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在数值上等于第在数值上等于第 j 个导体的电

34、位为一个单位、其余个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，导体都接地时，第第 i 个导体上的电量；个导体上的电量；()ij 部分电容的特点部分电容的特点：第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版31 在多导体系统中，把其中任意两在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压这两个电极间加上电压U，极板上所，极板上所带电荷分别为带电荷分别为 ，则比值，则比值 称为称为这两个导体间的等效电容。这两个导体间的等效电容

35、。q/q U（4）等效电容等效电容如图所示，有三个部分电容如图所示，有三个部分电容112212CCC、导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为11221121122C CCCCC导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版

36、出版32 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形

37、式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 2005-1-25华侨大学信息学院 王华军332022-2-26华侨大学信息学院 王华军331. 两个点电荷系统两个点电荷系统W静静的计算的计算 q1与与q2相距相距r12 . 设相距设相距时系统能量为零时系统能量为零 q1固定固定, 移动移动q2 : q1 q2 12r1212122200 1244rqq qWq drrr 22122q Uq

38、U2005-1-25华侨大学信息学院 王华军342022-2-26华侨大学信息学院 王华军34q2固定固定, 移动移动q1: 1221211200 1244rqq qWq drrr 11211qUqU1211221()2WWWqUq U12014q qr两点电荷体系静电能两点电荷体系静电能2005-1-25华侨大学信息学院 王华军352022-2-26华侨大学信息学院 王华军35其它电荷在此产生的电位2.点电荷系的相互作用能 iiiijij iWqUqUq4 q3 q2 q1 12ijiij iWqU 011242ijiiij iiijq qqUr?iWW2005-1-25华侨大学信息学院 王

39、华军362022-2-26华侨大学信息学院 王华军362.点电荷系的相互作用能 将q1从无穷远移到p1处，外力不做功将q2从无穷远移到p2处，外力做功为q4 q3 q2 q1 p1 p2p3 p4 1222120 12221 1210 1244qWqqrqWqqr或21为q1在p2处产生的电位2005-1-25华侨大学信息学院 王华军372022-2-26华侨大学信息学院 王华军372.点电荷系的相互作用能33 313 3231 13223WqqWqq或将q3从无穷远移到p3处，外力做功为将q4从无穷远移到p4处，外力做功为q4 q3 q2 q1 p1 p2p3 p4 444144244341

40、 142243 34WqqqWqqq或2005-1-25华侨大学信息学院 王华军382022-2-26华侨大学信息学院 王华军382.点电荷系的相互作用能2213 313 324414424431 121 132231 142243 34eeWqqqqqqWqqqqqq或q4 q3 q2 q1 p1 p2p3 p4 显然有112131422123243313234441424311121122eeNNiiiiiiWqqWqqqqU则+2有2005-1-25华侨大学信息学院 王华军392022-2-26华侨大学信息学院 王华军393. 连续分布电荷的静电能 1122eWUdqUdv2005-1-

41、25华侨大学信息学院 王华军402022-2-26华侨大学信息学院 王华军404.书上的证明过程书上的证明过程():():(0),01DE导体及介质位置固定 定边界介质线性本构关系设最终稳态、 初始以同一比例因子 增加到和则 从 变到。2005-1-25华侨大学信息学院 王华军412022-2-26华侨大学信息学院 王华军41,edddddddWdd整个空间当时 在内部电位为其得到电荷为能量增加为全过程 系统能量总量：同样若为面分布电荷，系统能量：外力所外力所作的功作的功1012eWddd 全空全空 12esWdS 所有表面2005-1-25华侨大学信息学院 王华军422022-2-26华侨大

42、学信息学院 王华军42212121111122222eWqqqqUCU,.1122.iieisiiiisiWdSqqi若为多导体体系 每个导体的 为常量其中 为第 个导体的电荷量双导体系统被充电后导体1带电荷q，导体2带电荷q，电位为1和2。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版435. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。e12wD E电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD

43、E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版44由于体积由于体积V 外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当

44、闭合面内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有211()DRR)、故故 推证推证：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDV()ddVSD VDS11dd22SVDSE D V 21 11d(d )()0SSDSSR RR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版45 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。2226222502240000

45、14(4d4d )29915aararrrrar10()3rrEera 解：解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 e1d2VWD E V 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故1222e0102111ddd222VVVWD E VEVEV第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版463112200220dddd33()()23aarararaErErrrrrara 方法二方法二：利用利用 计算计算 e1d2VWV 先求出电位分布先求出电

46、位分布 故故222225e1000114d()4d22 2315aVrWVarra第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版47 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。计算静电力。

47、 虚位移法：虚位移法：假设第假设第i 个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi 的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFi dgi ，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe 。根据根据能量守恒定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为edddSiiWF gW其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。导体的电荷不变。3.1.5 静电力静电力第3章 电磁场与电磁波电磁场与

48、电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版481. 各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接。当导体相对位置此时，各带电导体应分别与外电压源连接。当导体相对位置改变时，每个电源要向导体输送电荷而做功。外电压源向系统提改变时，每个电源要向导体输送电荷而做功。外电压源向系统提供的能量供的能量1ddNSiiiWqe11dd2NiiiWq系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即ed2dSWWeddiiF gWeiiWFg 不变不变静电能量在移动方向上的方向导数第3章 电磁场与电

49、磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版49此时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0。假设某一。假设某一导体在静电力作用下发生位移，静电能量发生改变，变化量为导体在静电力作用下发生位移，静电能量发生改变，变化量为dWe，则有则有2. 各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变eddiiF gW 静电力为静电能量在移动方向上的负变化率静电力为静电能量在移动方向上的负变化率式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减

50、少系统的静电能量来实现的。eiiWFg q不变不变第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版500()lx bbxCdd所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不变由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金属板电容器，极有一平行金属板

51、电容器，极板面积为板面积为lb，板间距离为，板间距离为d ，用一块介，用一块介质片（宽度为质片（宽度为b、厚度为、厚度为d ，介电常数为，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。由于由于0，所以介质，所以介质片所受到的力有将其片所受到的力有将其拉进电容器的趋势拉进电容器的趋势第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版5122e022

52、 ()qdqWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算eiiWFg q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q 不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版523.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2

53、 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版53 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定

54、电场。 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社

55、& 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版54 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度JEd0d0SCJSEl00JE1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：( )rJ( )E r 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系()0EE J 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E0E E0J由由()0 20若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技

56、大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版552. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件d0CEld0SJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Enen12()0e JJn12()0e EE 场矢量的边界条件场矢量的边界条件1n2nJJ即即1t2tEE即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度1212n12n12n1212()()()SeeJDDJJ场矢量的折射关系场矢量的折射关系1122tantan第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电

57、子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版56 电位的边界条件电位的边界条件121212,nn 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面； 说明说明：b11、a第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版57媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2

58、媒质媒质1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版583.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定

59、电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版

60、社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版59恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程DE,EJE20201t2t1n2n EEDD1t2t1n2n EEJJ静电场（静电场（ 区域）区域） 0d0,d0SCJSEl0,0JE,E0,0DE121212, nn121212, nn本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GCd0,d0SCDSEl第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 &