高等几何学习指导.

1、高等几何学习指导第一章 仿射坐标与仿射变换一、教学目的要求1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区 别和联系；2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平 面图形的其它仿射性质；4、熟练掌握仿射变换的代数表示 .二、教学重点、难点重点：透视仿射对应、 仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿 射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法 .难点：透视仿射对应的概念、特征及判断 .三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、共线三点单比（简比）的概念2、透视仿射对应1）、概念： 、同一平面内，直线 l到直线 l /的透视仿射对应

2、； 、平面 到平面 / 的透视仿射对应 .2）、判断：对应点连线互相平行 .3）、性质：、保持同素性；、保持结合性； 、保持平行性； 、保持共线三点单比不变 .3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链 .4、仿射坐标1）、仿射坐标系；2）、共线三点单比的坐标表示：设 Pi(xi,yi),(i 1,2,3),则(P1P2P3) x33 x21 y33 y12/3）、仿射变换的代数表示：x / a11x a12y a13 ，a11 a120；y a21x a22 y a23a21 a225、仿射性质1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性 .2）、仿射不变量：共线三点的单比；两条平行线段之比；两个

3、三角形面积之比；两个封闭图形面积之比 .3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形四、例题例 1 、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C3（32, 1）, 求单比（ ABC）.解：设 A、B、 C 的非齐次坐标分别为A(x1, y1),B(x2,y2),C(x3, y3)x x 3 2由 （ABC） x3 x1 21.（ABC） 3 5 12例 2、平面上是否存在仿射变换，使点x3 x2A（1，2），B（-2，-4），C（3，6）分别变为点 A/（-1，-1），B/（2，2），C/（0，0）？解：由于 A，B，C 三点共线，A/，B/， C/也共线，下面验证它

4、们的单比是否保持不变，由于：(ABC) BACC 33 12 25,(A/B/C/)A/C/B/C/00 2112, (ABC) (A/B/C/)因此这样的仿射变换不存在 .例 3、求使三点（ 0， 0），1，1），1，-1)顺次变到三点（ 2，3），（2，5），（3，-7 ）的仿射变换 .解：设所求仿射变换为：/xa11x/ya21xa12 ya22 ya13a23a11 a12a21 a220，将（0，0）对应（ 2， 3），1，1）对应（ 2， 5），1，-1 ）对应（ 3， -7 ）分别代人上式得：2a133a232a11a12a135a21a22a233a11a12a237a21a2

5、2 a2a132,a233,a11，解此方程组，得12,a1212,a214,a22 6故所求仿射变换为：/1xx2y/4x12 y 26y 30.例 4、 求一仿射变换，它使直线2y10x 2y 1 0 上的每个点都不变，且使点（ 1，-1 ）变为（ -1，2）解：在直线 x 2y 1 0 上任取两点（ 1，0），-1，1），由于1，0）（1，0）；（-1 ，1）（-1 ，1），又（1，-1 ）（-1 ，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换， 将它们的坐标分别代入仿射变换式/x/ ya11x a12 y a13 ，a21x a22 y a23x/解得： /y/2x 2y

6、13x 2y223，0，即为所求的仿射变换例 5、求椭圆的面积 .解法 1（见教材第 15 页）2 解法 2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为 x2 y2 r2即 x2 r2y221，2r其中/ xx/axxar ，即r/ y/y/byybrr令仿射变换 T：ab0，其对应图形为椭圆：/2 /2x/22y/22 122 abb0r2 r故T 是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为 S，椭圆的面积为 S/由定理 4.3S/SS/ab 2S 2 rrab所以椭圆的面积为 ab.例 6、求将点 O（ 0，0），A（1，0）， B（0，1）分别变为 O/ （1，半径为1），A/（3，1），B/（3，2）的仿射

7、变换；并求在这个变换下，2 的圆的仿射对应图形的面积 .解：、设所求仿射变换为：/x a11x a12 y/ya21x a22ya13a23a11a21a12a22将 O（0，0）对应 O/ （1，1），A（1， 0）对应 A/ （3，1），B（0， 1）对应 B/ （3，2）分别代人上式x/ 2x 2y 1 解得 / 且y/ y 1、Q S OAB 2,S O/A/B/ 1,S圆 设圆的仿射对应图形面积为0 为所求仿射变换 .4，S/，/则 S S O/ A/B/ 1 , S/ 4 2 8 .S圆 S OAB 12五、习题1、直线上三点的非齐次坐标分别为 A（-3,2）,B（6,1）,C （

8、3,3）, 求 单比（ ABC）.2、经过点 A（-3 ，2）和 B（6，1）的直线 AB与直线 x+3y-6=0 相交于 P，求 （ABP）.3、求仿射变换x 7x y 1 的不变点 .y 4x 2y 44、试求：在仿射变换下，梯形、菱形、等边三角形、正方形、 等腰三角形、圆、两全等矩形的对应图形 .5、二平行线间的平行性是仿射不变性吗？6、任意两线段之比是仿射不变量吗？7、三角形三高线共点是仿射性质吗？三角形三中线共点是仿射 性质吗？8、若（ ACB） 2，则 C是 A，B的中点吗？9、在仿射变换x 2x 3y 5 下，点 O（0，0），A（3，2），的y x 3y 7像点为 、；B（1，

9、-4 ） 的原像点为 .10、求将点 A（1，0），B（0，-1），C（-1 ，1）分别变为 A/（8， -1），B/（6，-6），C/（1，1）的仿射变换；并求在这个变换下，半径 为 3 的圆的仿射对应图形的面积 .第二章 射影平面一、教学目的要求1、理解中心射影、无穷远元素及射影平面的概念，掌握无穷远 元素的性质，了解射影观点与仿射观点的区别；2、掌握笛沙格定理及其应用，了解笛沙格构图；3、掌握齐次坐标的定义，熟练掌握点和直线的方程、齐次坐标 的求法及其应用；4、理解对偶元素、对偶运算及对偶命题的概念，掌握对偶原理 及写出一命题的对偶命题的方法；5、明确完全四点形、四线形的概念，掌握它们的

10、调和性质及应 用；6、了解复元素的概念 .二、教学重点、难点 重点：无穷远元素的概念及其性质，齐次坐标的定义及运算，笛 沙格定理及其应用，对偶原理 .难点：无穷远元素的概念，点方程、线坐标的定义 .三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、无穷远元素的概念 2、射影直线与射影平面的概念3、图形的射影性质 经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量） .射影性质 同素性 ，射影图形 点列结合性 线束但平行性、共线三点的单比不是射影性质 .4、笛沙格定理1）、笛沙格（ Desargues）定理： 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点， 则对应边的交点在一 直线上.2）、笛

11、沙格（ Desargues）定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一直线上， 则对应顶点的连线交 于一点 .3）、透视三点形： 如果两个三点形对应边的交点共线所在直线称为透视轴； 如果两个三点形对应顶点的连线共点该点称为透视中心 . 由笛沙格定理知， 两个三点形若有透视心，则必有透视轴，反之 亦然，这样的两个三点形称为透视三点形 .4）、笛沙格构图：构成一个图形的基本元素有两类： 点和线， 分别称为第一类和第 二类元素，用 a11和 a22表示，而 a12表示第一类元素点与第二类元素线 结合， a21 表示第二类元素线与第一类元素点结合 .Desargues 定理所表示的图形所含的第一类

12、元素点的个数a11 10个，所含的第二类元素线 a2210 条，每一点与 a12 3个第二类元 素线结合，每一线与 a21 3 个第一类元素点结合 . 可表示为：A= 130 130 （A称为构形矩阵，且 A为对称矩阵）即：图形中有 10个点，每个点有 3 条线通过；有 10条线，每条 线上有 3 个点.布局十分巧妙！更为巧妙的是：在 10 个点中，任一个点都可作为透视心，在10 条线中，任一条线都可作为透视轴 .如图，对于任一点 C,考察两个三点形 ABO和YXC/ ， 它们 对 应顶 点连 线 AY, BX ,OC / 交于 一点 C,则 其 对 应边 交点 B/ BO XC/,A/ OA

13、 C/Y,Z AB YX 共线.即如果以 C为透视心，则其对应的透视轴为直线 B/A/Z .（读者可另行考虑以图中其余的点作为透视心， 则必能找到其对应 的透视轴！）5、齐次坐标1）、齐次点坐标：10 一维齐次点坐标设 直线上普通 点的坐标为 x ，则该点的 齐次坐标是 (x1,x2),其中 x1 x,(x2 0)，x2当x2 0时,即(x1,0) (1,0)(其中x1 0) 规定为这直线上无穷远点的一 维齐次坐标 . 二维齐次点坐标设平面上的点的非齐次坐标为 (x,y), 则该点的齐次坐标是(x1,x2,x3), x1 x,x2 yx3 x3斜率为 k 的直线上的无穷远点的齐次坐标为 (1,

14、k,0)或者 (x1, x2 ,0), x2 k x1 直线的(齐次坐标)方程： a1x1 a2x2 a3x3 0 无穷远直线的方程： x3 02) 、齐次线坐标： 直线的齐次线坐标 u1,u2,u3点 x(x1,x2,x3) 在直线 u u1 , u2 ,u3 上 u1x1 u2x2 u3x3 0 点的方程(线有坐标，点有方程)在齐次坐标中，点 a(a1,a2,a3) 的方程为 a1u1 a2u2 a3u3 0 ， 反之， u1,u2,u3 所构成的一次齐次方程表示一点 .3) 、点几何与线几何的观点： 点几何点有坐标；线有方程， 平面上，把点看成几何基本元素， 点的轨迹构成曲线， 直线看成

15、一系列点构成；11线几何线有坐标；点有方程，平面上， 把直线看成几何基本元素， 直线的集合构成 曲线，点看成一束直线构成 .6、对偶原理1）、对偶图形：对偶元素 “点”与“直线” ； 对偶作图“点在线上”与“线通过点” ； 对偶图形由点和直线组成的图形，将其元素换成对偶元素， 其作图改为对偶作图，这样的两个图形称为一对对偶图形 .如：点列线束 三点形三线性（自对偶） 简单四点形简单四线形（自对偶） 完全四点形完全四线形2）、对偶命题与对偶原则： 对偶命题由点和直线组成的命题，将其元素换成对偶元素， 其作图改为对偶作图，这样的两个命题称为一对对偶命题 .对偶原则在射影平面上，如果一个命题成立，则

16、其对偶命 题也成立 . 两个不同点（线）3）、代数对偶：a（a1,a2,a3）,b（b1,b2,b3） 的连线（交点）的线坐标（点坐标）为：a2a3 a3b2b3 b3b1 b1ab 三个不同点（线） a（a1,a2,a3）,b（b1,b2,b3）,c（c1,c2,c3）共线（共点）12的充要条件是：a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 以两个不同已知点(线) a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3) 的连线为底的点 列中一点(交点为顶点的线束中任一直线)的齐次坐标能够写为 la mb，其中 l , m为不全为零的常数 .7、复元素在复射影平面上有以下重要结论： 1)、一

17、元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭复元素重合；2) 、如果点 x 在直线 u 上，则 x 的共轭复点 x在直线 u 的共轭复 直线 u 上；3) 、两共轭复直线的交点为一实点， 两共轭复点的连线为一实直 线.四、例题例 1、写出下列点的齐次坐标： (0,0)、 (1,0)、(0,1)、以 3 为斜率 的直线上的无穷远点 .解：这些点的齐次坐标依次为： (0,0,1)、(1,0,1)、 (0,1,1)、 (1,3,0) 例 2、写出下列直线的齐次坐标： x 轴、 y 轴、无穷远直线、过 原点且斜率为 2 的直线 .解：这些直线的齐次坐标依次为： 0,1,0 、 1,0，0、 0，0， 1 、

18、2，-1，0.例 3、求直线 x 3y 4 0上的无穷远点的坐标和线坐标方程 . 解：直线的齐次坐标方程为 x1 3x2 4x3 0 ，这条直线与无穷远直13 线 x3 0的交点 xx31 30x2 4x3 0即为无穷远点，从而无穷远点的坐标（3，1，0）.这个点的齐次线坐标方程是 3u1 u2 0.例 4、求直线 1,-1,2与两点 A （3，4，-1）、 B（5， -3，1）之连 线的交点的坐标 .解：两点 A（ 3，4， -1）、B（5， -3，1）连线上的点（ 3+5， 4-3， -1+ ）在直线 1,-1,2上，所以（ 3+5） - （ 4-3） +2（ -1+ ） =0，解得310

19、 所以交点坐标为（ 45，31， -7）.例 5、试证 、2,-1,1 、3,1,-2 和7,-1,0 三线共点，并把 2,-1,1表 示成 3,1,-2和 7,-1,0的线性组合 .2 1 1解：由 3 1 2 0 得三线共点，所以存在二实数，使得7 1 02,-1,1= 3,1,-2+ 7,-1,0 ，3 7 2于是有 1 ，解得1, 1 ，2221故 2, 1,1 1 3,1, 2 1 7, 1,0 ，22即 2,-1,1表示成3,1,-2和7,-1,0的线性组合 .例 6、利用对偶命题解题：（1）、求通过两直线 2,1,3与1,-1,0的交点与点 P：u1 2u2 u3 0 的 直线坐

20、标；（2） 、 求 两 点 3u1 4u2 u3 0 ， 5u1 3u2 u3 0 的 连 线 与 直 线14 x1 x2 2x3 0 的交点坐标 . u1 u2 u3解： (1)、这两直线的交点 Q 方程为 2 1 3 0，1 1 0即u1 u2 u3 0，即 Q点的坐标为( 1，1，-1)，而 P点的坐标为x1x2 x3(1，2，-1)，所以过这两点的直线方程为1210，即 x1 x3 0，111其坐标为 1，0，1 .x1 x2x3(2)、过这两点的直线 l 的方程为3410 ，即 x1 8x2 29x3 0 ，531其坐标为1,-8,-29 ，而直线 l /坐标为1,-1,2 ，所以这

21、两直线交点的方 u1 u2 u3程为 1 1 2 0，即 45u1 31u2 7u3 0 ，其坐标为 (45,31,-7).1 8 29例 7、(1)求过点 (1, i,0) 的实直线；(2)求直线 i ,2,1 i上的实点 .解：(1)因为过点 (1, i ,0)的实直线必过其共轭复点 (1,i,0) ，所以所x1 x2 x3求直线为 1 i 0 0，即 x3 0为所求.1 i 0(2)直线 i,2,1 i 上的实点为此直线与其共轭复直线 i,2,1 i的 交点，由方程 ix1 2x2 (1 i)x3 0 ，解得实点为( 2，-1，2).ix1 2x2 (1 i)x3 0例 8、设三点形 A

22、BC 的三边 BC, CA, AB 的方程分别为7x 3y 2 0,3x 5y 1 0,2x y 5 0 ,求证三点形 ABC 与坐 标三点形 A1A2A3 透视，并求出透视轴方程 .15解：在三点形 ABC 和 A1A2A3中，BC:7x13x2 2x3 0,A2A3 :x1 0,CA : 3x15x2 x3 0,A3A1 :x2 0,AB:2x1x2 5x3 0,A1A2 :x3 0,其对应边之交点：BC A2A3 L(0,2,3), CA A3A1 M (1,0,3), AB A1A2 N(1, 2,0)023因为1030 ，所以 L、M 、N 共线，1 2 0即三点形 ABC 和 A1

23、A2A3 透视，且透视轴方程为 6x1 3x2 2x3 0 例 9、如图，设直线 AB 与 CD交于 M，AC与 BD交于 N，直线 MN分别交 AD、BC于 K、H，直线 BK交 AC于 L，求证： HL、CK、MA交 于一点 .解：在三点形 HCM与 LKA中，对应边的交点 HC LK=B，CMKA=D，MHAL=N，而 B、D、N在一条直线上，由笛沙格定理的逆定理，这两 个三点形对应顶点的连线 HL、 CK、 MA交于一点 .16五、习题1、回答下列问题： 、坐标原点的方程是 U30 吗？ 、X 轴上的无穷远点坐标是( 0，1， 0)吗？ 、三直线 1，1，1，1，1，1，3， 1，3共

24、点吗？ 、共线三点的单比是射影不变量吗？、直线 (1 i)x1 (2 i)x2 3ix3 0 上的实点有无数多个吗？、方程 x12 x22 0表示什么图形？方程 u12 u22 0 表示什么图形？ 、当正负号任意选取是，齐次坐标( 1, 1, 1)表示多少个相异 的点？2、写出下列点的坐标： 、 P1(3,7,-2),P2(0,0,1),P3(3,-1,0)的非齐次坐标 . 、直线 5x+3y-1=0 上的无穷远点的齐次坐标 . 、直线 l 1,1,2与m0,1,1的交点坐标 . 、直线 ix 1+4x2+(1+i)x 3 = 0 上的实点坐标 .3、直线 (1 i)x1 (2 i)x2 3i

25、x3 0 上的实点有无数多个，对吗？4、写出下列直线的方程： 、点 A(0,1,2)与B(1,0,1)D 连线方程. 、通过点( 1,i,0 )的实直线方程 .5、已知点 P1(1,1,1),P2(1, 1,1),P3(3, 1,3) ，求证 P1,P2,P3 共线，并求， 的值，使得 P3 P1 P2.176、下列诸方程表示什么？22u10;u2u30;u1u2u3 0;2u1u20 ； u15u1u24u20;7、已知 Pappus定理：设直线 l 上有互异三点 A，B，C，直线 l 有 互异三点 A ,B ,C ，那么三点 L BC B C,M CA CA,N AB AB 共线. 写出其

26、对偶命题 .8、“一线束中三直线 a,b,c与不过中心的二直线 l1,l2 相交得两个互 成透视的点列” .写出其对偶命题 .9、“如果两个三角形对应边的交点在一直线上， 则对应顶点的连 线共点” .写出此命题的对偶命题 .10、证明三角形三中线共点 .11、指出下图中以 B 为透视心的两个三点形和其对应的透视轴 .12、ABCD是个四面体，点 M在 BC上，一直线通过 M分别交 AB， AC于 P、Q，另一直线过 M分别交 DB、DC于 R、S，求证 PR、QS、AD 交于一点 .1819第三章 射影变换与射影坐标一、教学目的要求1、熟悉交比的概念和性质，并能熟练地运用交比的性质进行计 算；

27、2、掌握点列和线束调和比的概念及其应用；3、掌握一维基本形射影对应的定义、性质、代数表示和确定条 件；熟练掌握代数表示和射影不变元素的计算；4、明确射影对应和透视对应以及对合对应之间的关系，并能利 用有关公式进行计算；5、理解射影坐标系、射影坐标的定义，掌握射影坐标与仿射坐 标、笛氏坐标的关系；6、理解二维射影对应的定义和确定条件，熟练掌握二维射影变 换式及不变元素的求法；7、能应用本章所学的高等几何知识来指导解决初等几何中的问 题，体会高等几何对初等几何的指导作用 .二、教学重点、难点重点：一维基本形射影对应和二维射影变换的定义、 性质、代数表示和 确定条件；射影不变元素的求法 .难点：两点

28、列（线束）成射影对应的意义 .20三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、交比与调和比1）、点列的交比： 、交比的定义共线四点 A 、B、 C、D 的交比为(AB,CD) (ABC) AC BD(ABD) AD BC 、交比的性质(P3P4, P1P2 ) (P2P1，P3P4) (P2P1,P4P3) (P1P3,P2P4)(P1P2,P3P4)(P1P2,P4P3)(P1P2,P3P4)1(P1P2,P3P4)(P4P2,P3P1) 1 (P1P2,P3P4) 、交比的计算（代数表示）1)、若相异共线四点为： P1(a),P2(b),P3(a 1b), P4(a 2b)则有 (P1P2,P3

29、P4) 1 , 1 2( 1 2) 0；2）、若相异共线四点为：2P1(a 1b), P2 (a 2b), P3 (a 3b), P4 (a 4b)则有(P1P2,P3P4) ( 1 3)( 2 4)其中 1, 2, 3, 4彼此不相等 .( 1 4)( 2 3)2) 、线束的交比：交比的定义共点四线 p1,p2, p3, p4 的交比为(p1p2,p3p4) ( p1 p2 p3) sin( p1 p3) sin( p2 p4)1 2 3 4 (p1p2p4) sin( p1 p4) sin( p2 p3)（交比的性质及交比的计算类似点列的情况）3）、调和比（只讨论点列） ：21当 （AB,

30、CD） 1 时，称点偶 C、D 调和分离 A、B4）、完全四点形和完全四线形的调和性 : 、完全四点形和完全四线形的构形 ； 、完全四点形和完全四线形的调和性 ； 、利用完全四点形和完全四线形的调和性， 解决单矩作图问题 .2、一维射影变换1）、一维基本形的透视对应（记住 3 个图形）： 、点列与线束的透视； 、点列与点列的透视； 、线束与线束的透视 .2）、一维基本形的射影对应： 、定义 / /1n（有限次透视链） 、充要条件 / 任何四对对应点交比相等 .（亦可以作为定义） 、如何决定（一维射影几何的基本定理） 三对对应点唯一决定一个射影对应 . 、作图2）、一维射影变换：、两个重叠的一维

31、基本形的射影对应叫做一维射影变换， 即一 维基本形到自身的射影对应22、对合对应(一维射影变换的特殊情况) 定义： 在两个重叠而且射影对应的一维基本形里，如果对于任何元素， 无论看作属于第一基本形或第二基本形， 它的对应元素是一样的， 那 么这种非恒等的射影变换叫做对合 .判断：在一维射影变换中， 若有一对对应元素符合对合条件， 则这个射 影变换一定是对合 .代数表示：两个重叠的一维基本形 A B,A /B 成为对合的充要条件是 对应点的参数 , / 满足 a / b( /) d 0,(ad b2 0).决定： 两对互不重合的对应元素唯一决定一个对合 .性质：在对合 a / b( /) d 0

32、,(ad b2 0)中，一定有两个不同的二重 元素(或实或虚)，即只有双曲型对合和椭圆型对合 .对合的任何一对对应元素 P P/与其两个二重元素 E,F 调和共 轭，即 (PP/,EF) 1.3、一维射影坐标1)、直线上的射影坐标 P*,P0,Ex (P*P0,EP) 称为任意点的非齐次射影坐标、特殊点的射影坐标23xe ( P* P0, EE ) 1 ，x0 ( P* P0, EP0 ) 0 ，x* ( P* P0, EP* )(无非齐次坐标)引进齐次射影坐标： E(1,1),P0 (0,1), P* (1,0)P0PP0E、射影坐标的特例仿射坐标系： P* P x （P* P0, EP）

33、（ PE, P0P ） （PEP0） P笛氏坐标系： P* P ,P0E 1 x P0P2）、一维射影变换的代数表示：、双一次关系： pxx/ qx rx / s 0, 0、射影函数式： x/ a11x a12 , 0a21x a22/、齐次坐标式： x1/ a11x1 a12x2 , 0x2 a21x1 a22x23）、一维射影变换的自对应元素：当 O,X,Y,E l l/ 时，可出现自对应元素 x x/ x从而得出分类：、双曲型射影变换（两个实自对应元素）、抛物型射影变换（一个实自对应元素） 、椭圆型射影变换（无实自对应元素）4、二维射影变换与二维射影坐标1）、二维射影变换（类似于一维射影

34、变换） ；2）、二维射影坐标：、定义二维射影坐标： O,X,Y,E24P(x,y), x (P1E1,OX),y (P2E2,OY)直线 OX 上的点 y=0当 P OX,y ( P2E2 ,OY )直线 OY 上的点 x=0当 P OY,x (P1E1,OX)(OE2,OY) 0(OE1,OX) 0直线 XY 上的点，x (P1E1, OX ) ( XE1,OX )y (P2E2,OY) (YE2,OY)从而，引进齐次坐标(类似于一维的情形)、特殊点的射影坐标：坐标三点形三顶点坐标及三边方程表示为：A2 A3 :x1 0A3A1: x2 0A1A2 : x3 0(A1)X(1,0,0)三顶点

35、坐标： (A2)Y(0,1,0)三边方程(A3)O(0,0,1)(E)E(1,1,1)253）、二维射影变换的坐标表示：x1a11x1a12x2a13x3/ x2a21x1a22x2a23 x3 ,/ x3a31x1a32x2a33x3/04）、基本定理：一平面内无三点共线的四点 Pi（i 1,2,3, 4） 与另一平面内无三点共 线四点的 Pi/（i 1,2,3,4） 唯一确定一个射影对应，使 Pi Pi/（i 1,2,3, 4） .5）、二维射影变换的自对应元素 .四、例题例 1、已知 A（1，2，1）、B（2，-3，1）、C（ 1，9，-4）、D（8， -5，1），求（ AB，CD），（

36、AD，CB）.解：设（ 1，9，-4）=（1，2，1）+（ 2，-3，1）解得 =3， =-1 ， （1，9，-4）=3（1，2，1）-（2，-3，1），即 C=3A - BA- 1B3 同理，求得：（8，-5，1）=2（1，2，1）+3（2，-3，1），即 D=2A+3BA+ 3 B2（注：记号“”表示 3A-B 与 A- 1B 为同一点的齐次左边）326所以（ AB，CD）=(AD,CB) 1 (AC,DB) 11(AC,BD)111 (AB,CD)211例 2、已知直线 l1,l2,l4 的方程分别为：12x y 1 0,3x y 2 0,5x 1 0，且（l1l2,l3l4） 2，求

37、l3的方程.解：已知： l1 2, 1,1,l2 3,1, 2 ,l4 5,0, 1 l1 l2令l3 l1l2，则有1，所以 l32, 1,1 1 3,1,2 7, 1,0，2 2 2 2即 l3 的方程为： 7x y 0.例 3、已知 A、B、C、D、E 为共线五点，且（ AD ，BC）=-1， （AB，CE）=-1，求（ AE，CD）的值 .解：因为（ AD，BC）=-1，所以（ AB ，DC）=1-（-1）=2， 令 C=A+ B，则 D= A+2B，又因为（ AB，CE）=-1，则 E= A-B，即 B=A-E ，从而 C=A+ B=2A-E A- 1E，D=A+2B=3A-2EA-

38、 2E， 231所以（AE，CD）= 2 3 .243例 4、设点 A（3，1，2）与 B（3， 1，0）的连线与圆 x2+y2-5x-7y+6=0相交于两点 C，D，求交点 C， D 的坐标及交比（ AB ，CD）.解：设 AB 上的动点的齐次坐标为 A+B=（3+3， 1-，2），代入圆方程 5 得4（3 3 ）2 （1 ）2 5（3 3 ） 7（1 ） 6 2 0 ，解得 =1，-1 ，27所以 C=A+B（= 6，0，2），D=A-B=（0，2，2），（AB,CD） 1 1.1 例 5、已知 OX 轴上的射影变换式为 x/ 2x 1 ，求坐标原点，无 x3穷远点的对应点解：原点的对应点

39、为根据x/ 2xx 3121x13x1；3；可知无穷远点的对应点为2.解：设射影对应式为：所射影对应式为：3xx/ 4x 4x/ 4 0 或： x/ 4x 4 ，3x 4rs0q s 0，解得： r4p 2q 2r s 0当l/上的点的坐标为 4时，其原像点为 l上的 5.4由原变换式得 x/ 3x 2 ，x4所以 (x1x2, xx/ ) (1, 2;x,3x 2)x43x 2(x 1)(3x 2 2)x4(3x 2( x 41)(x 2)5(x 2)(x 1)x42(xx 41)(x 2)x42例 6、求射影对应式，使直线 l 上以 0， 1，2 为坐标的点依次对 应l/上坐标为-1 ，0

40、，-2 的三点，并求 l /上坐标为 4的点的原像点 .pxx/ qx rx / s 0，将对应点的坐标代入：3q s,ps ，令 s=-4，则 q=4,r=-4,p=3,4例 7、设一直线上点的射影变换为 xx/ 3x 4x/ 2 0 ，证明这线 上有两点保持不变，且这两点与任意一对对应点的交比为常数解：设 x为不变点，则 x2 x 2 0 ，解得 x1 1,x2 2，例 8、求射影变换式，使它的不变元素为 11， 23，且使 31 变为 3 0.解法 1：用一般方法求射影变换式28因为 1 1 对应 1 1； 2 3对应 23；设射影对应式为： 3 1 对应 3 0pxx/ qx rx /

41、 s 0，将对应点的坐标代入：p q r s 09p 3q 3r s 0，解得： p s,q s,r 5s， 33 qs0令 s 3,则 p 1,q 3,r 5所以，所求射影对应式为 / 3 5 / 3 0解法 2：因为所求射影变换有两个实不变元素， 故是双曲型射影变换， 根据双曲型射影变换的特殊性质： “两不变元素与任一对对应元素所成交 比 值 为 常 数 ”， 设 ：/是 它 的任一 对对 应元 素 ， 则 有( /, 1 2) ( 3 3/, 1 2) ， 所 以(1)(/3)(11)(03) ，整理 得 为 ：1 2 3 3 1 2(3)(/1)(13)(01)/ 3 5 / 3 0例

42、 9、求射影变换 x/ x 5 的二重点，并确定此射影变换所属类 x1型.解：二重点满足 x x 5，解得 x 1 2i ，故此射影变换的类型为 x1椭圆型.例 10、一个对合由两对对应点 3、 2 和 5、1 所确定，试求对合的方程和二重点的坐标 .解：设所求对合的方程为 axx/ b(x x/) d 0,(ad b2 0) ，将两对对应点 3、2 和 5、1 分别代入上式整理得对合的方程 xx/ x x/ 11 0 ；29当 x x/时， x2 2x 11 0 求得二重点的坐标为 1 2 3 .例 11、试求由两个二重点 1、 2 所确定的对合的方程 .解：设 x x/ 为对合的任一对对应

43、元素，由 （ xx/ ,12） 1展开整理 得对合的方程为 2xx/ 3（x x/） 4 0./x1 x1 x2 x3例 12、已知射影对应为 x2/ x1 x2 x3 ，求每一个坐标系的基/x3 x1 x2 x3 点（坐标三点形的顶点与单位点）在另一个坐标系中的坐标，并求在 第一坐标系中第二坐标系的坐标三点形的三边方程 .解：第一坐标系的四个基点（ 0，0，1），（ 0，1，0），（1，0，0）， （ 1，1，1）在第二坐标系中的坐标分别为（ 1，1，-1），（1，-1，1）， （-1，1，1），（1，1，1）；第二坐标系的四个基点（ 0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1， 1

44、，1）在第一坐标系中的坐标分别为（ 1，1，0），（ 1，0，1），（0，1， 1），（1，1，1）；A2 A3 : x1 x2 x3 0, A3/A1/ :x1 x2 x3 0, A1/ A2/ :x1 x2 x3 0.第二坐标系的坐标三点形三边在第一坐标系的方程分别为：x1/ x1 x2例 13、求射影变换x2/ x2 不变点 ./x3/ x31 1 0解：由特征方程：0 1 0 0即 （1 ）3 0, 1（三重根）.0 0 1将 1 代入不变方程组，得到 x2 0 上的点都是不变点30五、习题1、若（ AB，CD）=3，则（ DC，BA） =，（ AC， BD） =，（ AB， DC）

45、=.2、若（ AB,CD）=1/2 ，则点偶调和分离点偶 .3、共线四点 A（2，1，1）、B（3，1， 2）、C（7，1，0）、 D（ 5， 0， 1），求（ AB,CD）.4、已知点 P1（1，1， 1）, P2（1，-1， 1）, P3（1， 0，1），且 交比 （P1P2,P3P4）=2，求点 P4的坐标5、已知直线 l1,l2,l3,l4 的方程分别为：2x y 1 0,3x y 2 0,7x y 0,5x 1 0 ，求证四直线共点，并求 交比 （l1l2,l3l4）.6、若点列 （A1B1C1 ）（A2B2C2 ）（A3B3C3 ），则 （A1B1C1 ）（A3B3C3 ） 对吗？

46、为什么？7、设点 A（3，1， 2）与 B（3，1，0）的连 线与圆 x12 x22 5x1 7x2 6x3 0 相交于两点 C，D，求交点 C，D的坐标；并证 明点偶 A 、B 调和分离点偶 C、 D.8、求射影变换6 6 0 的自对应元素的参数， 并确定此射影变换所属类型 .9、设一直线上点的射影变换为 x/ 3x 2 ，证明这线上有两点保x4 持不变，且这两点与任意一对对应点的交比为常数 .10、试求由两个二重点 2、3 所确定的对合的方程 .3111、直线上的点变换 (a 1)xx/ ax x/ 2 0 是对合时，参数 a应满 足的条件是 ，此时对合的类型是 .12、对合由三对不同的对

47、应元素唯一决定，对吗？13、在射影坐标系 0,X,Y,E 中，写出直线 XE的方程；以及过 点 O 的直线方程 .14、求射影对应式，使直线 l上坐标为 -1、0、2的三点顺次对应 直线 l /上的坐标为 0，1，2三点，并求出直线 l上坐标为 3的点的像 .15、设非奇线性变换x1/ 2x1 4x2 表示一维坐标系的点之间的x2/ x1 x2 两种齐次射影坐标变换，求每个坐标系的三个基点在另一种坐标系 中的坐标 ./x1 x116、求射影变换 x2/ x2 的不变点 ./x3/ x317、已知一直线上三点 A、B、 C,求作第四点 D，使得( AB，CD) =-1.18、已知 l(A,B,C

48、,D)l/ (A/,B/,C/,D/) 求作点 D的对应点 D/.32第五章 二次曲线的射影理论一、教学目的要求1、掌握二阶曲线和二级曲线的定义及它们的关系，并能求出二 阶曲线的切线方程；2、了解巴斯卡和布利安桑定理及其特殊情况，并会利用它们解 决二次曲线的有关证明问题和作图问题；3、掌握二次曲线的极点、极线的性质，会求出一点关于二阶曲 线的极线方程和一直线关于二阶曲线的极点的坐标；4、理解二次曲线的射影分类，了解射影分类与度量分类的主要 异同，从而加深对二次曲线的射影性质的认识 .二、教学重点、难点重点： 二阶曲线的切线方程；二次曲线的极点、极线的性质；以及一点 关于二阶曲线的极线方程和一直

49、线关于二阶曲线的极点的坐标 .难点： 二阶曲线和二级曲线的射影定义及二次曲线的射影分类 .三、内容小结1、二阶曲线和二级曲线的(代数法)定义3 设点的齐次坐标 ( x1, x2, x3 )满足方程 aij xi x j 0,( aij a ji ) ，其中aij 为 i, j 1实数且至少有一个不为 0，则这些点的集合叫做二阶曲线 .3设直线的齐次坐标 u1, u2 ,u3 满足方程 a/ijuiuj 0,( a/ij a/ji) ，其中i,j 133 a/ij 为实数且至少有一个不为 0，则这些点的集合叫做二级曲线 . 二阶曲线和二级曲线统称二次曲线 .2、二阶曲线和二级曲线的(几何法)定义

50、 在射影平面上成射影对应的两个线束的对应直线交点的集合叫 做二阶曲线 .在射影平面上成射影对应的两个点列的对应点连线的集合叫做 二级曲线 .3、二阶曲线和二级曲线的关系 、二阶曲线的切线方程： 当点 P(p1,p2,p3) 在二阶曲线 S=0 上时，则点 P 的切线方程为 x1Sp 0，即 (p1,p2,p3)A x2 0或 aij pi xj 0.x3当点 P(p1, p2, p3 )不在二阶曲线 S=0上时，则通过点 P的切线方程 为 Spp S Sp2 0. 、二阶曲线和二级曲线的关系： 一个非退化二阶曲线的切线的集合是一个非退化的二级曲线； 反 过来，一个非退化二级曲线的切点的集合是一

51、个非退化的二阶曲线 .4、两个重要定理 、巴斯加定理： 内接于一个非退化二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点在 同一直线上 .这条线称为巴斯加直线 .解决三点共线问题34 、布利安桑定理(巴斯加定理的对偶命题) ： 外切于一个非退化二级曲线的简单六线形的三对对顶的连线交 于同一点 .这个点称为布利安桑点 .解决三线共点问题 、特例： 内接于一个非退化二阶曲线的简单五点形单矩作图问题： 求 作圆上一点的切线 .5、二次曲线的极点与极线 、两点关于二阶曲线互为共轭的定义： 给定二阶曲线 C，如果两点 P、Q( P 不在曲线 C 上)的连线 与二阶曲线 C交于两点 M1,M2，且(M1M2,PQ) 1则称 P、Q 关于二阶 曲线 C调和共轭，或称点 Q与P关于二阶曲线 C互为共轭点 .、两点关于二阶曲线互为共轭的充要条件： 不在二阶曲线上的 P、Q 关于二阶曲线成共轭点的充要条件是 Spq 0. 、二次曲线的极点与极线的定义：定点 P 关于二阶曲线的共轭点的轨迹是一条直线， 这条直线叫 做 P 点关于这二阶曲线的极线， P 点叫做这直线的极点 . 、二次曲线的极点与极线的求法：对于平面上任一点 P(p1, p2, p3 ) ,关于二阶曲线 aij xix