高尔顿板与二项分布的关系的证明

1、高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明“（人教版）选修 2 3 57 页探索与研究 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图） 并且每一排钉子数目都比上一排多一个， 一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中 央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于 碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下 一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。 1通过高尔顿板实验课件，做 1000 个小球的高尔顿板试验，

2、看一看小球在格子中的分布形 状是怎样的？2计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。 （提示：考虑它与杨辉三角的关系） 3计算小球落入各个格子的概率。 ”设（如图）高尔顿（钉）板有 n行钉，第 n 行铁钉共有（ n+2）个，两个铁钉之间一个空，则 有（ n+1）个空。把这（ n+1）个空由左到右依次编号为 i=0 ，1， 2， n 共（ n+1）个空。观察 i=0 这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续 n次选择向左落下，所以落入第 i=0 个空的概率为 P（i=0 ）=Cn0 （ 1）n（ 1）0。 22观察 i=1 这个空，小球从这个空落下的条件是

3、：小球从第一次与铁钉碰撞后连续 n 次碰撞落i=1 个空的概率为下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第P（ i=1 ） =C1n （ 12 ） （ 12 ） 。22猜想第 i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续 n 次碰撞落下 过程中，有 i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第 i 个空的概率为P（i）= Cin（ 21）ni（ 12 ） i 。（i=0 ，1，2， n）1 n i 1 i现对上猜想给出证明：规定： ai ， j 表示第 i 行第an，i= P（i）= Cin（ ） （ ） 。（i=0 ，1，2， n）220

4、j n）个空球落下的概率。11由高尔顿（钉）板可知： a1，0=1 ， a1，1= 122an,01an 1,02a0,n12a0,n 1an,i12 an 1,i 112an 1,i1 i n1，n 2）用数学归纳法证明：1 当 n=1 时，已如上证。当 n=2 时， a2，0= 1 a 1，0=（ 1 ） 2=C02 （ 1 ）20（ 1 ） 02 2 2 2 2111112 1 11a2， 1= a 1， 0+ a 1， 1= =C 12 （ ） （ ）22222 211 2 2 1 0 1 2 0a2， 2= a 1， 1=（ ） = C 22 （ ） （ ）22 2 2显然成立。2

5、假设 n=k（k2）成立（即假设第 n 行每一个数据都成立）即ak，i= Cik( 21) ( 12)当 n=k+1 时，1ak+1，0=a k ，0=20)11= C 0k12)(k+1) 0( 12 )01ak+1，k+1=21k，k=2C kk ( 12 )kk( 21)k= C kk1 (k+1)( k+1) 1 k+12) ( 2 )= C kk1 ）（ k+1）（ k+1）2）(12)k+11ak+1 ，i =21a k ， i-1 +a k ， i2=（C ik-1 ( 21 )k-(i-1)(12)i-1 1 ii-1 + 12 Cik12 )k-i ( 21)iC ik-1+ Cik)( 12k+1(k+1)-i= C ik 1（ 21 ）（k+1）-i （21）22 在 n=k 成立的条件下， n=k+1 也成立。 3 由 1， 2 得，原命题成立。i 个空的概率正好满足二项分布。由此可