曲线系问题探讨与研究

1、曲线系问题探讨与研究焦景会曲线系问题是高中数学课程中重要而又难以掌握的问题，它可分为直线系、圆系、圆锥 曲线系三类，现归纳分析如下，供同学们参考。一. 直线系问题1. 过两直线交点的直线系问题假设点 Px0，y0是两直线11:A1xB1yC0 与 l2:A2xB2yC2= 0的交点，那么过点P的直线系方程为：A1x B1y C A2x B2y C2 =0例1.直线l1 : 3x4y-10=0，l2: 4x-6y7=0, l3过h、l2的交点且过点A 4，-7，求l3的方程。解：由题意可得l3的方程为3x 4y -10亠打4x-6y 7 = 0T3过点 A 4,-73 4 4 沖 I-7 10

2、4 4 6沁7 7 I - 02解得：二兰52因此l3的方程为3x 4 y -10 4x_6y，7 =05即 23x 8y-36 = 02. 平行直线系问题方程y二kx b，当k为定值时，表示斜率为k的平行直线系。方程 A0x B0y0A 一 、A0、B0为定值，B0 = 0表示斜率为-的平行直线系。Bo例2.直线1: 3x _2y= 0, J l且l1过点P 3,- 2，求l1的方程。解：因为1 II ，故设-的方程为3x -2y m = 0点 P 3, -2 在直线 1 上，那么 m - -3 3 2 -2 - -13即1的方程为3x -2y -13=03. 过定点直线系当k为变量时，方程

3、 y - y0 = k x - x0表示过定点P x0, y0的直线系。例3.求证：当m为任意实数时，直线 y = m2 2m 2 x -3m2 -6m1必过一定点。证明：将原方程变形为：2 2y=m 2m 2x-3m 2m 2 1亠 5即 y -5 = m2 2m 2 x -3由此可知直线过定点3，5二. 圆系问题1.过直线和圆交点或两圆交点的圆系问题2 2过圆C: x y Dx Ey F = 0和直线: Ax By0的交点的圆系方程为：x y Dx Ey F Ax By C = 0过圆 C1: x2 y2D1x E1 y F 0 和圆C2:x2y2D2xE2yF2二 0 交点的曲线系方程为

4、： x2y2 D1x E1y Fx2y2D2x E2yF2=02 2 2 2例4.求过圆C1 : x y_4x 2y二0和圆C2: x y _2y_4=0的交点，且圆 心在直线l: 2x4y=1上的圆的方程。解：所求的圆过两圆交点，故可表示为：2 2 2 2x y _4x 2y 亠X y2y_4 =02 2即 1 x 亠1 亠- 4x 亠2 - 2丿y - 4 - 0*圆心'，因为圆心在直线l上，代入可得：11 +九1 +九丿2 1 &2411 1 1解得：，二_3224代入*式得：x y - 3x y032.同心圆系问题229方程x-a ，y-b 二r2，当a，b为定点，r为

5、变量时，表示同心圆系。2 2例5.求与圆x y -4x，6y-3=0同心，且过点-1，1的圆的方程。解：所求圆与圆同心，可得方程x2 y2 -4x 6y m = 0又所求圆过点-1, 1，将此点坐标代入方程可得：m = -12那么所求圆的方程为：x2 y2 -4x 6y - 12 =0三. 圆锥曲线系问题1.离心率相同的圆锥曲线系问题22ab22Xy2.2ab2 x2-0表示离心率相同的椭圆系。0表示离心率相同且渐近线相同的双曲线系。2.共焦点的圆锥曲线系2x2a kk 0表示共焦点的椭圆系。2xa2 k2yb2 -k2 2=1 且(a k)(bk 0表示共焦点的双曲线系。2X例6.求与椭圆492盒有公共焦点，且过点0 3的椭圆方程。解：所求椭圆与椭圆有相同焦点，可设所求椭圆方程为2 2 y 149 k 24 k将点0，3坐标代入得：k二-152故所求椭圆方程为342例7.求与双曲线162齐1共渐近线,且过点A2、3,-3的双曲线方程。解：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为2X16因为A2 3，-3在所求双曲线上，故代入可得,2 2所以1692x _1为所求曲线方程。42经过点,-1丨的双曲线的标准方程