2022年-年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法

1、2021-2021 年高中数学其次章推理与证明2.2 直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法教学案新人教A 版选修 2-2预习课本 P8589,摸索并完成以下问题(1) 综合法的定义是什么？有什么特点？(2) 综合法的推证过程是什么？(3) 分析法的定义是什么？有什么特点？(4) 分析法与综合法有什么区分和联系？可编辑资料 - - - 欢迎下载1. 综合法 新知初探 定义推证过程特点可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载利用已知条件和某些数学定义，公理，定理等,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法2. 分析法P. Q1 Q1

2、. Q2 Q2. Q3顺推证法 Qn. Q P 表示已知条件,已有的或由定义，公理，定理等, Q表示所要证明的因导结论 .果法可编辑资料 - - - 欢迎下载定义框图表示特点从要证明的结论动身, 逐步寻Q. P1 P1. P2逆推可编辑资料 - - - 欢迎下载求使它成立的充分条件,直至最终,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件 已知条件， 定理，定义，公理等 为止这种证明方法叫做分析 法 P2. P3 证法或执得到一个明显成立的条件果索因法可编辑资料 - - - 欢迎下载3. 综合法，分析法的区分综合法分析法推理方向顺推,由因导果倒溯,执果索因解题思路探路较难,易生枝节简洁探路,利于

3、摸索表述形式形式简洁,条理清晰表达繁琐,易出错可编辑资料 - - - 欢迎下载摸索的侧重点侧重于已知条件供应的信息侧重于结论供应的信息可编辑资料 - - - 欢迎下载 点睛 一般来说, 分析法解题方向明确, 利于寻求解题思路. 而综合法解题条理清晰, 宜于表述 因此在解决问题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程 小试身手 1. 判定 正确的打“”,错误的打“×”(1) 综合法是执果索因的逆推证法(2) 分析法就是从结论推向已知(3) 全部证明的题目均可使用分析法证明答案： 1 ×2 ×3 ×2. 如 a b 0,就以下不等式中

4、不正确选项22A a abB ab b1122C. abD a b答案： C3欲证2367 成立,只需证 可编辑资料 - - - 欢迎下载A 2322 6 7可编辑资料 - - - 欢迎下载22B 26 3 7可编辑资料 - - - 欢迎下载C 2722 3 6可编辑资料 - - - 欢迎下载D 23 6 2 7 2可编辑资料 - - - 欢迎下载答案： C11 a2c acos C ccosA11a2 b2 c2b2 c2 a2 ac a·2ab c·2bc 活学活用 222221已知 a, b,c, dR,求证： ac bd a b c d 2 22 2证明：左边 a

5、c 2abcd b d2 22 22 22 2 a c a d b c b d可编辑资料 - - - 欢迎下载4假如 aabb,就实数 a,b 应中意的条件是答案： a b 0综合法的应用 典例 在 ABC中,三边 a, b, c 成等比数列求证：acos ccos2C2A3222 b. 证明 a, b, c 成等比数列,b ac.2a1 cos Cc1 cosA左边222 22 a c b11bb322ac b b右边,222 acos 2 ccos22b.当且仅当 a c 时等号成立2C2A3综合法的解题步骤 a2b2 c22d 右边,可编辑资料 - - - 欢迎下载ac bd 2a2b2

6、c2d2 可编辑资料 - - - 欢迎下载 11可编辑资料 - - - 欢迎下载1an2设数列 an 中意 a1 0,n 11 a 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 求 an 的通项公式.1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 设 bn, Snb1 b2 bn,证明： Sn 1.n11可编辑资料 - - - 欢迎下载解： 1 1 an 1 1, 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载1 1an 是公差为 1 的等差数列1111nn又 1 a 1, 1 a n, an 1 .2 证明：由 1 得可编辑资料 - - - 欢迎下载bn1an 1nn 1 n1n 1·nn

7、111,n 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载 Sn b1b2 bn12 Sn 1.23nn 11n1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载分析法的应用222 典例 设 a,b 为实数,求证：a b 2 a b 22 证明 当 ab0时,a b 0,222 a b 2 a b 成立当 ab 0 时,2222用分析法证明如下：要证a b 2 ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载只需证 a2 b2 222a b.可编辑资料 - - - 欢迎下载2212222即证 a b 2 a b 2ab ,即证 a b 2ab.22 a b 2ab 对一切实数恒成立,222a b 2 a b 成立综

8、上所述,不等式得证分析法证明不等式的依据，方法与技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质，已知的重要不等式和规律推理的基本理论.(2) 适用范畴：对于一些条件复杂,结构简洁的不等式的证明,经常用综合法而对于一些条件简洁，结论复杂的不等式的证明,常用分析法.(3) 思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式动身,逐步寻求使它成立的充分条件,最终得到的充分条件是已知 或已证 的不等式.(4) 应用技巧：用分析法证明数学命题时,确定要恰当地用好“要证”，“只需证”，“即证”等词语 活学活用 222可编辑资料 - - - 欢迎下载已知 a,

9、b, c 都为正实数,求证：a b c3a bc3.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载证明：要证a2 b2 c23a b c3,可编辑资料 - - - 欢迎下载222可编辑资料 - - - 欢迎下载只需证a b c3ab c23,可编辑资料 - - - 欢迎下载222222只需证 3 a b c a b c 2ab 2bc 2ac,222可编辑资料 - - - 欢迎下载22只需证 2 a b c 2ab 2bc 2ac,a2 b2 c2可编辑资料 - - - 欢迎下载2只需证 a ba b c3成立 b c c a0,而这是明显成立的,所以3可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载分析法与综合法的综合应用 典例 已知 a, b, c 是不全相等的正数,且0 x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载a bb ca c可编辑资料 - - - 欢迎下载求证： log x2log x2log x2log xa log xblog xc.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载a bb ca c可编辑资料 - - - 欢迎下载 证明 要证明 log x2log x2 log x2可编辑资料 - - - 欢迎下载 log x alog x b log xc,可编辑资料 - - - 欢迎下载只需要证明 log xab2·b c2·a

11、 c2 log x abc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载由已知 0 x 1,只需证明a b2·b c2·a c2 abc,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载由公式a b2ab 0,b c2bc 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载a c2ac 0. 又 a, b, c 是不全相等的正数,可编辑资料 - - - 欢迎下载a bb ca c2 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载2·a b即2·2·b c2·2a b c abc.a c2 abc 成立可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载abb ca c可编辑资料 - - - 欢迎下载log x2 log x2 log x2 log xa log xb log x c 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载分析综合法的应用综合法由因导果, 分析法执果索因, 因此在实际解题时, 经常把分析法和综合法结合起来使用,即先利用分析法查找解题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程 活学活用 1已知 ABC的三个内角 A,B,C 成等差数列, a,b,c 为三个内角对应的边长, 求证：a b13 b c a b c.113可编辑资料 - - - 欢迎下载证明：要证a b b c ab c,可编辑

13、资料 - - - 欢迎下载a b ca b cca即证 a b b c3,即证 a b bc 1.即证 c b c a a b a b b c ,222即证 c a ac b . ABC三个内角 A, B,C 成等差数列 B60°.可编辑资料 - - - 欢迎下载c22由余弦定理,有 b2 2cacos 60 °,可编辑资料 - - - 欢迎下载a222即 b c a ac.222 c a ac b 成立,命题得证层级一学业水平达标1. 要证明aa 7a 3 a4 a0 可选择的方法有多种,其中最合理的是A. 综合法B类比法C分析法D归纳法解析：选 C直接证明很难入手,由分

14、析法的特点知用分析法最合理可编辑资料 - - - 欢迎下载42. 命题“对于任意角, cos sin cos 2 ”的证明：“ cos sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载444cos 2 sin 2cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 ”,其过程应用了 A分析法B综合法 C综合法，分析法综合使用D间接证法解析：选 B结合分析法及综合法的定义可知B 正确222222 b cB a b c2222223. 在不等边三角形中, a 为最大边,要想得到 A 为钝角的结论,三边a,b,c 应中意什么条件 A. a可编辑资料 - - - 欢迎下载C a b cD a b c22

15、2b2 c2 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选 C由 cosA2bc 0,得 b c a .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4如 aln 22, bln 33, cln 55,就 可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载A ab cB c b aC ca bD b a clnx1 lnx可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选 C利用函数单调性 设 f x x,就 f x x2,0 x e 时,f x可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载0, f x 单调递增. x e 时, f x 0, f x 单

16、调递减又 aln 44, b a c.可编辑资料 - - - 欢迎下载5. 设 f x 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x0时,f x 单调递减, 如 x1 x2>0,就 f x1f x2 的值 A. 恒为负值B恒等于零C恒为正值D无法确定正负解析：选 A由 f x 是定义在 R 上的奇函数,且当 x0时, f x 单调递减,可知 f x 是 R上的单调递减函数,由 x1 x2>0,可知 x1> x2, f x1< f x2 f x2 ,就 f x1 f x2<0.6. 命题“函数 f x xxln x 在区间 0,1 上是增函数”的证明过程“对函数 f x x

17、 xln x 取导得 f x ln x,当 x0,1 时, f x ln x 0,故函数 f x 在区间0,1 上是增函数”应用了 的证明方法解析：该证明过程符合综合法的特点 答案：综合法7. 假如 aabbab ba,就正数 a, b 应中意的条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载解析： aa bb abba aab bba ab ab2 a b ab 只要 a b,就有 aa bbabba.答案： a b可编辑资料 - - - 欢迎下载n8. 如不等式 1 a 2 1 n 1n对任意正整数n 恒成立,就实数a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载11133可编辑资料 - - - 欢

18、迎下载解析：当 n 为偶数时, a 2 n,而 2n2 ,所以 a ,当 n 为奇数时, a222可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载12 n,而 213 2,所以 a 2. 综上可得, 2 a .n2可编辑资料 - - - 欢迎下载3答案： 2, 29. 求证： 2cos sin2 sinsin sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载证明：要证原等式,只需证：2cos sin sin2 sin, 由于左边 2cos sin sin 2cos sinsincos cos sin cos sin sin cos sin.所以成立,所以原等式成立*10已知数列 an

19、的首项 a1 5, Sn1 2Sn n5, nN (1) 证明数列 an1 是等比数列(2) 求 an.解： 1 证明：由条件得 Sn 2Sn 1 n 1 5 n2 又 Sn1 2Sn n5,得 an 1 2an 1 n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载an 1 1所以an 12 an 1 1an 12 an1an 1 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载又 n1 时, S2 2S1 1 5,且 a1 5, 所以 a211,可编辑资料 - - - 欢迎下载a2 1所以 a1 111 15 1 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载所以数列 an 1 是以 2 为公比的等比数列2 由于 a1

20、1 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载an1n所以 n16×2 3×2,n所以 an3×2 1.层级二应试才能达标可编辑资料 - - - 欢迎下载1使不等式11 成立的条件是 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载A abB a bC ab 且 ab0D a b 且 ab 0可编辑资料 - - - 欢迎下载1111b a可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选 D要使a b,须使 a b0,即 ab 0.如 ab,就 ba 0, ab 0.如 a b,就 b a 0, ab 0. 2对任意的锐角 , ,以下不等式中正确选项A sin sin sinB sin co

21、s cosC cos sin sinD cos cos cos解析：选 D由于 , 为锐角,所以 0 ,所以 cos cos 又 cos 0,所以 cos cos cos 14y23. 如两个正实数 x,y 中意x y 1,且不等式 x 4 m 3m有解,就实数m的取值范畴是 A 1,4B , 1 4 ,C 4,1D , 0 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选B x 0 , y 0,14x yyx1, 4 x y414yyx 2 4x4xy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2y ·4x 4,等号在 y 4x,即 x 2, y 8 时成立,

22、 xy4,要使不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载4xy2y2 的最小值为4可编辑资料 - - - 欢迎下载m3m x4有解,应有 m 3m4, m 1 或 m4,应选 B.4. 以下不等式不成立的是222A a b c ab bc caB.aba b a 0, b0C.a a1 a2a 3 a3D.2 10 262222222222解析：选 D对 A, a b 2ab, b c 2bc, a c 2ac, a b c ab bc可编辑资料 - - - 欢迎下载2ca.对 B, ab a b 2ab, a b ab, ab a b.对 C,可编辑资料 - - - 欢迎下载要证a a1 a2a

23、 3 a3 成立, 只需证明a a 3 a 2 a 1,两边平方得 2a 32a a3 2a 3 2 a 2 a 1 ,即 a a 3 a 2 a 1 ,222两边平方得 a 3a a 3a 2,即 0 2. 由于 0 2 明显成立,所以原不等式成立.对于D,可编辑资料 - - - 欢迎下载2210 26 12 45 24 45 3 0, 2 1026,故 D 错误可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载x5. 已知函数 f x 2 , a, b 为正实数, AfB, C的大小关系是a b2,B f ab , C f2aba b ,就 A,可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载可编辑资料 - - - 欢迎下载a b2abx2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：f ab f2ab a,b 为正实数 ,a bab,且 f x 2a b2,即 C B A.是增函数, fa b可编辑资料 - - - 欢迎下载答案： C B A6. 如以下图,四棱柱ABCD- A1B1C1D1 的侧棱垂直于底面,中意 时, BD A1C 写上一个条件即可 解析：要证 BD A1C,只需证 BD平面 AA1C.由于 AA1 BD,只要再添加条件ACBD, 即可证明 BD平面 AA1C,从而有 BD A1C. 答案： AC BD 答案不唯独 7. 在锐角三角形 ABC中,求证： sinA

25、 sinB sinC cosA cosB cosC.证明：在锐角三角形ABC中, A B , A B.22可编辑资料 - - - 欢迎下载02 B A 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2又在 0, 内正弦函数 y sinx 是单调递增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载sinA sin2 B cos B,可编辑资料 - - - 欢迎下载即 sinA cos B 同理 sinB cos C, sinC cosA由,得：sinA sinBsinC cos A cos B cos C.可编辑资料 - - - 欢迎下载8. 已知

26、nN,且 n 1,求证： log n n 1 log n 1 n 2 证明：要证明 log n n 1 log n 1 n 2 ,即证明 log n n 1 log n 1 n 2 0.*1可编辑资料 - - - 欢迎下载log n n 1 log n 1 n 2 1 log n 1n·log n 1 n 2log n 1n. log n 1 n2 log n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载又当 n 1 时, log n 1n 0,且 log n 1 n2 0, log n 1nlog n1 n 2 ,1212122可编辑资料 - - - 欢迎下载

27、log n 1n·log n 1 n 2 4log n 1n log n 1 n 2 log 4n 1 n n 2 log 4n 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载122可编辑资料 - - - 欢迎下载2n 4log n 1 n1 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载故 1log n 1n·log n 1 n 2 0,1 log n 1n·log n 1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载log n 1n 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载这说明 * 式成立, log n n 1 log n 1 n 2 2021-2021 年高中数学其次章推理与证明2.

28、2 直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法教学案新人教A 版选修 2预习课本 P8589,摸索并完成以下问题(1) 综合法的定义是什么？有什么特点？(2) 综合法的推证过程是什么？(3) 分析法的定义是什么？有什么特点？可编辑资料 - - - 欢迎下载 新知初探 1综合法定义推证过程特点顺推利用已知条件和某些数学定义，公理，P. Q1 Q1. Q2 Q2. Q3证法定理等,经过一系列的推理论证,最终 Qn. Q P 表示已知条件,已有的或由推导出所要证明的结论成立,这种证明定义，公理，定理等, Q表示所要证明的方法叫做综合法结论 .因导果法2. 分析法定义框图表示特点从要证明的结论动身,

29、 逐步寻求使它成立的充分条件,直至逆推最终,把要证明的结论归结为Q. P1 P1. P2证法判定一个明显成立的条件 已知条件， 定理，定义，公理等 为止这种证明方法叫做分析 P2. P3 或执得到一个明显成立的条件果索因法法3综合法，分析法的区分综合法分析法摸索的侧侧重于已知条件供应的信息侧重于结论供应的信息重点(4) 分析法与综合法有什么区分和联系？推理方向顺推,由因导果倒溯,执果索因解题思路探路较难,易生枝节简洁探路,利于摸索表述形式形式简洁,条理清晰表达繁琐,易出错可编辑资料 - - - 欢迎下载 点睛 一般来说, 分析法解题方向明确, 利于寻求解题思路. 而综合法解题条理清晰, 宜于表

30、述 因此在解决问题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程 小试身手 1判定 正确的打“”,错误的打“×”(1) 综合法是执果索因的逆推证法(2) 分析法就是从结论推向已知(3) 全部证明的题目均可使用分析法证明答案： 1 ×2 ×3 ×2如 a b 0,就以下不等式中不正确选项22A a abB ab b1122C. abD a b答案： C3欲证2367 成立,只需证 A 23 2 6 7 222B 26 3 7可编辑资料 - - - 欢迎下载C 2722 3 6可编辑资料 - - - 欢迎下载22D 23 6 7答案： C4

31、假如 aabb,就实数 a,b 应中意的条件是 答案： a b 0综合法的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载 典例 在 ABC中,三边 a, b, c 成等比数列求证： acos2 C2 ccos2 A3b.22可编辑资料 - - - 欢迎下载2 证明 a, b, c 成等比数列, b ac.可编辑资料 - - - 欢迎下载左边a1 cos C2c1 cosA 2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1 a c 212 acos C ccosA可编辑资料 - - - 欢迎下载222222可编辑资料 - - - 欢迎下载1ac1 a·a b c c·

32、; b c a可编辑资料 - - - 欢迎下载222ab2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载1 a c 21bac2bb2 b 23b右边,2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 acos2C2 ccos2 A322b.可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当 a c 时等号成立综合法的解题步骤 活学活用 222221已知 a, b,c, dR,求证： ac bd a b c d 2 22 2证明：左边 a c 2abcd b d2 22 22 22 2 a c a d b c b d2222 a b c d 右边,22222ac bd a b c d 可编辑资料

33、 - - - 欢迎下载2设数列 an 中意 a1 0,11 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 求 an 的通项公式.1an 11an 11 an可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 设 bn, Snb1 b2 bn,证明： Sn 1.na11可编辑资料 - - - 欢迎下载解： 1 1 an 1 1,1n可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1 1an是公差为 1 的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载11na11n又 1 a 1, 1 a , n 1 n.2 证明：由 1 得可编辑资料 - - - 欢迎下载bn1an 1nn 1 n1n 1·

34、;nn111,n 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载 Sn b1b2 bn1223nn 11n1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载 Sn 1.分析法的应用222 典例 设 a,b 为实数,求证：a b 2 a b 证明 当 ab0时,a2b20,222 a b 2 a b 成立当 ab 0 时,2222用分析法证明如下：要证a b 2 ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载只需证 a2 b2 222a b.可编辑资料 - - - 欢迎下载2212222即证 a b 2 a b 2ab ,即证 a b 2ab.22 a b 2ab 对一切实数恒成立,222a b 2 a b 成立综

35、上所述,不等式得证分析法证明不等式的依据，方法与技巧(1) 解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质，已知的重要不等式和规律推理的基本理论.(2) 适用范畴：对于一些条件复杂,结构简洁的不等式的证明,经常用综合法而对于一些条件简洁，结论复杂的不等式的证明,常用分析法.(3) 思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式动身,逐步寻求使它成立的充分条件,最终得到的充分条件是已知 或已证 的不等式.(4) 应用技巧：用分析法证明数学命题时,确定要恰当地用好“要证”，“只需证”，“即证”等词语 活学活用 222可编辑资料 - - - 欢迎下载已知 a, b, c 都为正实数,求证：a

36、b c3a bc3.可编辑资料 - - - 欢迎下载222可编辑资料 - - - 欢迎下载证明：要证a b c3a b c3,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载只需证a2 b2 c23ab c23,可编辑资料 - - - 欢迎下载222222只需证 3 a b c a b c 2ab 2bc 2ac,可编辑资料 - - - 欢迎下载222只需证 2 a2 2ab 2bc 2ac,bca2 b2 c2可编辑资料 - - - 欢迎下载只需证 a ba b c3成立2 b c2 c a0,而这是明显成立的,所以3可编辑资料 - - - 欢迎下载分析法与综合法的综合应用 典例 已知 a, b, c 是不全相等的正数,且0 x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载a bb ca c可编辑资料 - - - 欢迎下载求证： log x2log x2log x2log xa log xblog