初等多值函数

1、初等多信函数1.根式函数定义2.9 设 x ,规定根式函数 即二板为幕函数Z二M的反函数.(1根式函数为多值函数，它不是解读函数.对于每一个确定的X ,都有四个不同的回与之对应，即有H目因为根式函数是多值函数，所以，它不是解读函数.(2根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出回个单值函数.设函数为多值函数，若当变点 回从起始点回出发绕一条包围点国的简 单闭曲线连续变动一周再回到起始点 3时，函数 回从一个支变到另一个支, 则称点图为函数 回 的支点.2T7b2uF5b9b5E2RGbCAP(3根式函数匚与的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解读函数.根式函数州二问二*k *伏

2、=0工*-1)它是一个多信函数，出现多值性的原因是由于 2确定后，其幅角并不唯一确定 可以相差2套的整数倍).为分出单值解读分支，在2平面上从原点。到00引一 条射线，将2平面割破，割破了的2平面构成一个以此割线为边界的区域 G .在 G内随意指定一点Z。，并指定2。的一个幅角值，则在G内任意的点工,皆可根 据h的幅角依连续变化而唯一确定£的幅角.假定从原点其割破负实轴，C是G内过力的一条简单闭曲线，即C不穿过负实轴，它的内部不包含原点 2 = 0,则当变点2从2。其绕C 一周时，2的象点螺二修"各画出一条闭曲线片而各回到它原来的位置. 因此，在区域G内可得到物的并个不同的

3、单值连续分支函数二贿QEG),狂 Q12 力-1)利用极坐标形式的柯西一黎曼条件，可以证明，这力个分支函数在区域G内是解读的，且有d_ 1初t(zcG),优=OJZ ”1)在上面分出w二% 的单值解读分支过程中，有一个重要的基本概念：支点比如原点z=0.在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周 r,当变点z从 上一点出发，绕r连续变动一周而回到其出发点时， 也 从其一支变到另一支 具有这样性质点 2二0称它为物 的支点，同理N = r也是 物的一个支点.用来割破之平面，借以分出 物的单值解读分支的割线，称之为支割线 .取 负实轴为支割线而得出的 丹个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值

4、的， 称 为 物 的 主 值 支 即.9曲)广明小匕元<8 <元)下面以印二能为例，来阐明有关多值函数的基本概念.(i>.二正 是 多 信 函 数由3=痣得/=工，令田，z =，则有p=fr , 30=8+2后4， k = 0,1,2,-由此可得w的模与z的模一一对应，而对应着每个 9 ;有三个不同的值(主值幅角>g外2箱6H4比研=W ， 啊= ， 仍= 故日产+=升我+4天也=知行 ? , viTj = re $ t 吗 =re ?所 以 ： 时二名 是 多 信 函 数(ii>.单值分支对于同一 z值的三个w值的模相同，而幅角成公差为3的一个等差级数.2je如

5、果在w平面上作一个以原点为顶点，张角为3的角形区域那么函数N二四就建立了 z1 (0 < arg'w? < -)3 ,而规定w在区域I上取值,16 / 17例如在z平面上区域噪”)充上任取一点(吃0),函数W二正在区域I上有唯一的点印二岳写与之对应.对7 = 来说，在w平面上区域I ,能使 不同的w值对应于z平面不同的z值，这样的区域称为3二W%的单叶性区域.同理，对于z平面上区域°<arN<24上任取一点S6),在区域v V/ 24打、ttt47r* *(y argw)7JJ(< argw <2?r)? /33和区域 3上，函数w =分别

6、确定了唯f?+4t一的点Jw = re 33和3与之对应，区域II, III 都是？ = w的单叶性区域.若区域I, II, III 分别加上相邻,2上(0 4 argti? < )的端边构成3,(工 argw < )III ( 4 argw < 加)t f t33,3,当用三个角形八改"把 w平面布满后，一个多信函数小二版划分成了三个单值分支：日产+口升产.4升= fre t 豫二 re 3,%=re 3八 K KT分别为一个单值分支的值域，而此时有：0匕0 二/£<2比.(iii>. 支点 2T7b2uF5b9p1EanqFDPw在Z平面上

7、选定一点二小,相应叩二叫=步七* （取第一支 >,再让点（沪 在Z平面上沿一闭合曲线，按逆时针方向连续变化，如果这条曲线不包含原点 （如图曲线。>,则当动点回到原来位置时，连续变化的幅角也回到原来的值，相应的W也回到原来的小】，但如果这条闭曲线内部包含原点，（如图曲线C>,那 么当动点沿逆时针方向绕一整圈回到原来位置时，z的幅角就要增加2形，成为£上+沏外2 j与此相应的w值就从吗"游”变到叼二游.从以上分析 可得，对于函数 川二也来说，z=0点具有这样的性质，当z绕它转一整圈回到 原处时，多信函数 .二杳 由一个分支变到另一个分支，这个点就称为多信函 数

8、w二郎 的支点.一般来说，对于一个多信函数，存在这样的点，当自变量 Z绕它运动一周而回到原处，多信函数并不回到原值，而由一个分支变到另一 个 分 支， 这 样 的 点， 叫 支 点.再看无穷远点，对于第二屹，令z绕无穷远点运行一周，绕无穷远点运 行是指：由于复平面上的无穷远点对应着复数球的北极，如果在复数球面上作 一个小圆环绕北极，这个圆就对应着复数平面上一个很大的圆，因此，绕无穷 远点支行一周是指在复数平面上沿很大的圆运行一周.显然z沿很大的圆绕一周，由一个分支变成另一个分支，所以无穷远点也是函数 训=事的支点.这个 函 数 再 没 有 其 它 支 点 了.£从以上分析可得，当z沿

9、支点转一周时，w二专由由二仍2 M变成必二刘 ,即由前一个分支变成后一个分支，再转一周， 函数，不像多值的实变函数，如 石可分解为独立的 石和一 JF (iv>.*4 皿 变成,所以，复变多信函数不能分解成三个独立的单值支割线为了把多信函数分解为独立的单信函数，我们必须作支割线.在Z平面上从支点Z=0到支点 "8任意引一条射线，称为支割线，将 Z平面割开，并规定当Z连续变化时，不得跨越支割线，即规定,这就使得在割开的Z平面上的任意闭曲线不含支点£二°，8在内，这样相应的函数值也只能在 w平 面上的一个单值分支上取值，而不会由一支变到另一支，这样就将多信函数

10、的二苹的三个单值分支完全分开了，即就将多值函数变成了独立的单值函数.注意：把一个多信函数划分为单值分支是与支割线密切相关的，对不同的 支割线，多值函数各单值分支的定义域和值域也就不同.例如：i ).当沿正实轴割开的 z平面时，川二狙的三个单值分支为，定义域：值域为由=游/口 外胆吟,£空2打4外必二沅 3,仁士 4邛= 名 "名“< 2 用ii ).当沿负实轴割开的z平面时，三个单值分支为，定义域:-yr <argZ <?r件需范, .S+4T”>P3 = g2 3 冗-3rg 第 < -y,其它情况可类似得到.2T7b2uF5b9DXDiTa

11、9E3d例 设川二，确定在沿正实轴割破的Z平面上，并且*=叶=一，求卬(7>?分析：本题求解的关键在于确定究竟取三个单值分支中的哪一支.确定的方法是：首行根据支割线的形式确定定义域与值域，然后由已知条件,确定取哪一支.解：由于是沿正实轴割破的Z平面上，所以定义域为：口 .成钎<2加(相应的三个 单 值 分 支 的 值 域 就 确 定了>347r37r产由于M)=r = ，因此丁亍07r故应取第三支吗二方e"3 门3，不r = 1 ? 5又，故2.斗+4rr/、 3K 牛 U 11 J? 1一 w(T)=守匕 s = e 0 = cos/r + i sin-rr =-

12、 -i6622.(v>. 支 割 线 可 分 为 两 岸每个单值分支在支割线两岸取不同的值，在支割线上不连续.如在沿负实产轴割开在Z平面上单值分支 吗=*，从负实轴上方趋于负实轴上，w 。)时，叫取衽”.从负实轴下方趋于负实轴上£=一工6>。)(vi>.三个单值分支在割破的z平面上都是解读的，且：对于一般的根式w = 可进行类似的讨论，此时支点为Z=&和”81 %-(z-ay.2T7b2uF5b9RTCrpUDGiT例 设W 二“确定在从原点z = 0起沿负实轴割破了的z平面上且W二r ,试求解设由,二：之值.2 = r*,则取=后 3 rk= 0,1,2&

13、lt;6代入得2T7b2uF5b95PCzVD7HxA2.对数函数定义2.10 规定对数函数是指数函数的反函数.即若& =2(Z H 0他则复数 W 称为复数 2 的对数，记为 W二加2 .为求川二族的表达式，令2 = F* , W=M + W ,则有u也因 而"lnsM+2般伏= l±L)故Lm - In r+:(+2te) (k - 0+1/ jLnz = ln|+L4z,gz =ln|z|+i(arg + 2te)这说明对数函数L泣是无穷多值的多值函数.在2平面上从原点z = 0起割破负实轴的区域内，可以得到加二上次 的无穷多个不同的单值解读分支：吸=(L砌

14、= In 口+泅+2反(z e 6法=0+1, -)其主值支为用=Lz = (£M(j二In目+1迎2 .每支相同的导数2T7b2uF5b9jLBHrnAILg对数函数为多值函数，从而，它不是解读函数.对数函数的基本性质：设 LJ例设a>QLna = In a + 2km ,(k - 0,士L )；Ln(-a) = M a + (2上 + l)m,(上= 0,±1,)； ln(-D = In 1 + 必=就，i =唐必-& 2=宫&，(汇二 O,±L)例计算 ri .解<可：整数)例计算wl .解：I X I 园为整数)例试求方程二|的

15、解.解 因为 3 ，所以，由对数函数主支的定义有 即 所 给 方 程 的 解 为 国 .若限定4中取arg巴（玄M argz 幻，则z的对数只有一个，称它为 中 的 主值支，记为"= |z|+/argz.£超二£" + i2kmk = 0+ ±2,-单 值 分 支、 支 点、 支 割 线在w平面上，用平行于实轴的直线，划出一个宽为2跖的带形，如 晨-”廿工"），而规定w在带形i中取值，则叩=工”给出z平面与w平面 上带形I的一一对应关系.带形I是2=它的单叶性区域加一条端边.用 "d的互不相交的带形把 w平面布满后，每个带形

16、就是对数函数 卬二中 的 一 个 相 应 分 支 的 值 域.对数函数只有两个支点。刀，从0点到8点作支割线，即可得到工遥在这 割破的 z 平面上的无穷多单值分支.=jj + K。+ 2左”）一左二 0,±l）±2j 无穷多个单信函数都是解读函数，且：（lnz - 方= 0+1+2Z运算法则胃口）=上*二1十上.£?,4（4 = 中*22=fiLz ! Lxfz =riifKnCIB但再不成立.2T7b2uF5b9xHAQX74J0X3 . 一股幕函数与一般指数函数定义2.11 EJ < 口 为复常数）称为四的一般幕函数.定义2.12< 口 为复常数）

17、称为一般指数函数.例求 '和'的值.解:解读分支.函 数<2.24 )项式 、例考 查 下 列(a>(b>解 <a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线函 数 有 哪 些 支 点J二而小。,当£沿0正方向绕行一周时，2的辐角得到增量2冗从1-Z的辐角没有改变，即A d arg £ = 2几arg(l-z) = Ac;arg(z-l)=O而4 .具有多个有限支点的多信函数对具有多个有限支点的多信函数，我们不便采取限制辐角范围的方法，而是求出该函数的一切支点，然后适当连接支点以割破2平面.于是在£平面上以此割线为边界的区域G内就能

18、分出该函数的单值<1)讨 论的支点，其中P是M次多P(Z)二私-(2-册户%勺，”'凡是尸的一切相异零点，与你111向分别是他们的重数，满足为 +% +*"+cts = N q,打gargz + ACt arg(l-z) = g2冗 + 0=故了的终值较初值增加了一个因子即二-1 ,发生了变化，可见0是/二/(1)的支点.同理 1 也是其支点.任何异于0, 1的有限点都不可能是支点.因若设C是含a (mQ,D但不含 0,1 的 简 单 闭 曲 线， 则c arg/(M)= 3rgM+ c 斗。-工)】= 10 + 0 = 0故一 的终值较初值增加了一个因子g"

19、 = 1 ,未发生变化.最后？ 二 00不是/二而二分的支点.因若设C含0, 1的简单闭曲线，则 arg/(z) = iAcargz + Ac arg(l-z)=2死 + 2 处=2H故/的终值较初值增加了一个因子产=1 ,未发生变化.<b) /=W。-£)可能的支点是0, 1, M.设CqG，C分别是含0但不含1,含1但不含0,和既含0又含1的简单闭曲线，则0绡g/g)=Aq 亚g + Aq arg。- ？)12=-2 + 0 = q 货Aq arg/W=AC| argz+A。arg(l-z)1210 + 2 = 1结果/的终值较初值均发生了变化.故0, 1, 3都是支点，此

20、外别无支点对函数二炉齿作类似的讨论，可得如下结论：<a ）可能的支点是”.<b ）当且仅当月不能整除因时，%是顿豆的支点； <c）当且仅当月不能整除M时，3是府行的支点；<2 ） 由已给单值解读分支的初值/（马）,计算终值f （%）. 因=1/。）产3=/（%） /画sF占卜哼出】*«*«川 =1 %）|户刖加.户8内）其中C为从4到的有向曲线 <不穿过支割线），。迎/与迎人融的 取值无关， 延/） 可以相差 2元的整倍数. 例 试说明八分=张（1 一力在将£平面适当割开后能分出三个解读分支.并求出 在点 2 = 2 取负值的那个分支

21、在 2 = 1 的值 解 易知/二依二的支点是0, L 3 .因此，将Z平面沿正实轴从0到1 割开，再沿负实轴割开.在这样割开后的2平面G上，£）=斗。-£）能分出三 个解读分支.现取一条从 = 2到二的有向曲线C <不穿过支割线）,则Ac argz = p Acarg（l-z） = y乙是X 或g/3)= Acar5z + Acafg(l-z)又 由 题 设， 可 取 熊/二用 . 故 得3 霭了二行9/小二-出声.<3)关于对数函数的已给单值解读分支 M 了,我们可以借助下面的公式 来 计 算 它 的 终 值：In/(引二In |/(za)|4iarg/(z

22、a)=5 I /)| 树利 /(za)- arg - + atg/即一 i. k ,其中C是一条连接起点4和终点4且不穿过支割线的简单曲线；arg/Qi)是满 足条件那一支在起点4之值的虚部，是一个确定的值. 例 试说明加° 一/)在割去“从-1至的直线段”，“从i到1的直线段”与 射线“工二。且7之1”的z平面内能分出单值解读分支.并求2 = 0时等于零的那 一支在n = 2的值.解加(1 一r) 的支点为 Z二±1, 3.这是因=ln(l-z)+ln(l+z) 当 变 点 £ 单 绕 2 = 1 一 周 时 ， c argfl-z)= 2元 Ac arg(l+

23、z) =0故ln(l)的值增加了 痴,%+z)的值未改变，从而，%一-)的值增加了 2口,从一支变成另一支.故2=1是支点，同理2=一1， 00也都是支点，此外 无其它支点.故篇(Iz)在割去“从-1至N的直线段”，“从i到1的直线段” 与射线“ x二Q且721 ”的2平面内能分出单值解读分支.现设C是一条连接起点位二0和终点出工2且不穿过支割线的简单曲线.则Acars(l-z2) = Acarg(l+z)(l-z) =Acargfl+) +AC argfl-z) =0 +密=用故In /(z3) = In I /(za)|+iAc arg/(z) + iarg - 二 In | (1 一 2

24、)| +工m +iO = In 3+1笈这 就 是 所 要 求 之 值.5.反三角函数与反双曲函数 2T7b2uF5b9LDAYtRyKfE由于三角函数可用指数函数表示，可预见反三角函数可用指数函数的反函 数一一对数函数表小，先来看反正切函数： 用 记 号二？ktmz愉川二2的解的总体.称之为反正切函数.由上面方程可解得反正切的表达式.因上面方程此 得 反 正 切垢1+这1-IZ函 数 的有一 丁 1+ZZ = Ln1-iz表 达 式,1 T 1+落Arc tan z - d? = 3 1-ez对 于 反 正 弦 函 数方 程 可 改 写 为故我 们 来 解方程sin o)=z必6=Z方由 此

25、 得 反产_加河_1=0, 婢二影+ J1 - /= £月(卷 +W - 一辽依0Z + Ji - )的 表 达 用Arc sin z = -iLn + Jl - d)同 理 可 得 反Arc cos z - -iLn+)反三角函数都是无穷多信函数，分出单值解读分支的方法与前面的讨论类似求 反 正 弦 力化即2Bresin 2 = 一必 ±、但)=-iLn (2 ±= -jta(2±) + -i + 2bn2= (- + 24>-3 1n(2±V3),2d.±L±2,)求2 c三】，1Arctan( 二一一£制(一一) 23i =-(In + 笈 i + 2fcr i)J 八 ln3(F 尢)窜 + ?222T7b2uF5b9Zzz6ZB2Ltk3=0,±