关于圆-需要分类讨论的几种类型

1、关于圆需要分类讨论的几种类型 圆是对称图形，既是轴对称也是中心对称，还具有旋转不变形性，所以会有许多的分类讨论情况。尤其是当题设中未画出图像时，更有可能要分类讨论。解答这一类问题时，需要按照一定的标准（定理、模型），分成若干种情况，逐一加以讨论。1、 根据点与圆的位置关系，需要分类讨论例一：若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则此圆的半径为 例二：P在O内，距圆心O的距离为4，O半径长为5，经过P点，交于O的弦为整数的有多少条？例三：如图，O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P的点的距离为1，则点P、Q与O有何位置关系？ 2、 弦与弦的位置关系不唯一，需

2、要分类讨论例四：1、O的半径为5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（   ）。A.7cm      B.8cm     C.7cm或1cm       D.1cm 2、 已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为 例五：如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度数。 例六：1、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60c

3、m，其半径为50cm，求油面的最大深度？ 2、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OCAB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？3、 点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论例七：已知O的直径AB=10cm，弦CDAB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？4、 弦所对圆周角的不唯一，需要分类讨论例八：圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（   ）。A.30°或60° B.60° C.1

4、50° D.30°或150°例九：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条线所对的圆周角的度数等于 5、 点与弦的相对位置时，需要分类讨论例十：O是ABC的外接圆，ODBC于D，且BOD48°，则BAC_。例十一：在O中，AB为直径，CD为弦，ABCD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点。判断与的数量关系，并尝试证明你的结论。6、 圆心与角的位置，需要分类讨论例十二：在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，则BAC的度数是_。7、 点在弧上的位置，需要分类讨论例十三：如下图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的

5、圆上的一个动点（P与O、B不重合），则OPB_度。8、 相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一时，需要分类讨论例十四：已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_。9、 直线与圆的位置，需要分类讨论例十五：两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。十：圆和三角形的关系中，需要分类讨论例十六：1、ABC内接于O，=1000，则= 2、ABC是半径为2cm的园内接三角形，若BC=2cm，则A的度数为 例十七：已知ABC内接于O，AB=AC，OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。解答一、点与圆的位置关系，需要分类讨论例1：若所在O所在平面内一点P

6、到O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（   ）。分析：P可在园内，也可在圆外（A）a+b2   （B）  （C）或    （D）a+b或ab            图11             

7、0;         图12P在圆内时。如图11。连接O、P所在的直线交O于A、B。则PA=a，PB=b  直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）P在圆外时。如图12。此时直径AB=PAPB=ab，半径OA=OB=AB=（ab）由可知，应选（C）。例二：过不在O上的一点A，作O的割线，交O于B、C，且AB·AC64，OA10，则O的半径R为_。解：依题意，点A与O的位置关系有两种：（1）点A在O内，如图1，延长AO交O于F，则由相交弦定理得：所以（负值已舍去）（

8、2）点A在O外，如图2，此时由割线定理得：所以（负值已舍去）故O的半径R为或6。二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例3：O的半径为5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（   ）。（A）7cm    （B）8cm   （C）7cm或1cm     （D）1cm分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。        

9、;     图21                          图22弦AB与CD在圆心的同侧。如图21。过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。ABCD，OMAB，ONCD由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm在RtBMO中，OM=4cm

10、，同理ON=3cm MN= OMON=43=1 cm弦AB与CD在圆心的异侧。如图22。此时，MN=OM+ON=4+3=7cm        故选（C）。例4：如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度数。分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图31。连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=OC+OD=AC AOC=90°，CAO=ACO=45°又O

11、A=OD=AD，DAO=60°DAC=DAOCAO=15°弦AC与弦AD在直径AB的异侧。此时，DAC=DAO+CAO=115° 三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论例5：已知O的直径AB=10cm，弦CDAB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。M在半径OA上。如图41。连接OC。OC=OA=AB=5cm，  又OM：OA=3：5，OM=3cmAB是直径，弦CDAB    在RtOMC中，  MC=4cm又AM=O

12、AOM=2cm在RtAMC中，AC=2（cm）M在半径OB上。如图42.此时，AM=OA+OM=8cmAC=4（cm）四、弦所对圆周角的不唯一，需要分类讨论例6：圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（   ）。（A）30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。如图5。劣弧所对的角为ACB，优弧所对的角为ADB。 由AB=0A=OB，AOB=60°ACB=

13、AOB=30°ADB=（360°AOB）=（360°60°）=150°   故选（D）五、点与弦的相对位置，需要分类讨论例7：O是ABC的外接圆，ODBC于D，且BOD48°，则BAC_。解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得BACBOD48°（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得BAC132° 六、圆心与角的位置，需要分类讨论例8：在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，则BAC的度数是_。解：如图7，当圆心在BAC内部时，连接AO并延长交O于E在RtABE中

14、，由勾股定理得：所以BAE30°同理，在RtCAE中，ECAC，所以EAC45°，当圆心O在BAC的外部时（BAC'），由轴对称性可知：所以BAC为75°或15°七、点在弧上的位置，需要分类讨论图8例9：如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则OAB_度，OPB_度。解：依题意可知AOB是等腰直角三角形，所以OAB45°当动点P在上时，OPBOAB45°当动点P在上时，OPB180°45°135°故OPB为45°或135°。八、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例10：已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_。分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图9、图10，在中，在中，（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，如图