平移旋转轴对称梯形专题

1、4课平移的威力平移是全等变换之一，与平移有关的试题是近几年中考的热点题型.常见的构造平移的方式：构造平行线，平移线段；构造平行四边形，平移图形.例1.如图，在 AABC中，AB>AC, D、E分另1J为AB、AC上两点，且BD=CE .求证：DE V BC .例2.在 "BC中，八8>八。，延长八8至2,使得BD=AC ,延长AC到E,使得CE=AB ,连接DE ,求证:BC例3.如图，在梯形ABCD中，AD / BC ,对角线AC、BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.于点F,连求AH的例4.如图，在 口 A

2、BCDh, AEBC于点 E, AFXCD结EF, 9EF的三条高线交于点 H,如果AC=4, EF=3 , 长.例5.如图，已知 AABC, D、E在BC边上，且 BD=Cm DE,求证：AB+AC>AD+AE练习巩固1 .如图，的三条中线分别为ABC的三条中线分别为 AD、BE、CF. 在图中利用图形变换画出并指明以 AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹) 若 ABC的面积为1,则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .2 .在RtABC中，/ C=90 , D、E分别为CB, CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.(1)若BD=AC, AE=CD

3、,在图1中画出符合题意的图形，并直接写出/APE的度数;(2)若 AC J3BD, CD <3AE ,求/ APE的度数.第5课轴对称是一种美与轴对称关系最密切的一种题型是涉及将军饮马”的最值问题，包括同侧求和取最小问题、异侧 求差取最大问题，以及扩展了的三角形或四边形周长最小的问题等，此类问题是中考中的重点题型.例1.如图，在BC中，如果/ A是不等于60的锐角，点D、E分别在AB、AC上,且/ DCB=/EBC= / 1A.求证：BD=CE .2例2.如图，在矩形 ABCD中，AB 20cm, BC 10cm,若在AC、AB上各取一点 M、N,使BM MN的值最小，求这个最小值.CA

4、例3.如图，设正 小BC的边长为2, M是 AB边上的中点，P是上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为 s和t,则212BC边s t例4.已知a、b均为正数，且a b 2,求W Ja2 4 Jb2 1的最小值.例5.如图，点A、B的坐标分别为 1,1、3,2, P为x轴上一点，且P到A、B的距离之和最小,则P的坐标为例6.如图，直线y J3x J3与x轴、y轴分别交于A、B两点。若把OB沿直线AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是练习巩固1 .如图，已知正方形 ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2 , N是AC上的一动点，则 DN+MN的最小值是2 .如图，在梯形 ABCD中

5、，AD /BC, AB=CD=AD=1 , / B= 60 ,直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为3 .如图，在菱形ABCD中，AB=2 , / BAD= 60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最值是4 . y Vx21 4_x4的最小值为 5 .如图，/ AOB= 45 ,其内部一点P, OP=10,在/AOB的两边上有点Q、R （不同于O点），则4PQR周长的最小值为6 .直线与轴、轴分别交于 A、B两点，把OB直线AB翻折，点O落在点C处，则点C的坐标是6课旋转的艺术旋转是中考的必考内容，是中考的热点与重点.利用旋转可以把

6、分散的线段成功地集中，是一种极为重要的全等变换，也是辅助线的最高境界.本讲将会告诉大家旋转的经典模型， 让旋转不再困惑.例1 .如图，在正方形 ABCD内有一点P,且PA= J5 , PB= v'2 , PC=1 ,求正方形ABCD的边长.例2.如图，BO和ACDO均为等腰直角三角形,/AOB=/COD=90 .若ABOC的面积为1,试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.例3.如图，正方形 ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近 A、B、C、D的n等分点，连结AF、BG、CH、DE ,形成四边形MNPQ .则四边形MNPQ与正方形ABCD的

7、面积比是（用含n的代数式表示）例4.已知：如图，四边形 ABCD中，AB=AD, / DAB= 60 , / DCB=30 , AC=5, CD=4.求四边形ABCD的面积.例5 .如图，在BC （其中/ BAC是一个可以变化的角） 中，AB=2 ,以BC为边在BC的下方作等边 APBC,求AP的最大值.AC=4 ,例6.如图，等腰 RtAABC .边AB=4,P为BC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是练习巩固请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图中画出并1 .如图是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图, 指明拼接后的正方形）.2 .如图，在等边AABC中，Ei、E2、E3分别为AB、BC、CA

8、的中点，PiP2,Mi、M2,N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点.若加BC的面积为a,则图中4FGH的面积为3.(1)如图1,在正方形ABCD内有一点P, PA=屈，PB= 22 , PC=1 , / BPC的度数为(2)如图2,若在正六边形 ABCDEF内有一点P,且PA=2jT3, PB=4 , PC=2 ,则/ BPC的度数正六边形ABCDEF的边长为4.如图，P为正方形ABCD内一点，且PA ： PB ： PC=1：2 ： 3,求/ APB的度数.c5.如图，P是等边三角形ABC内一点，已知/ APB= 115 , Z BPC= 125 .求出以PA、PB、PC的长度为三边长的

9、三角形的各内角的度数分别等于6.如图，O为等边三角形 ABC内部一点，且 OA:OB:OC 1:J2:J3,求 AOB的度数.B7课与梯形有关的辅助线梯形的8种辅助线各有其使用的背景和条件，让我们一一道来，感受数学中转化的无穷魅力.解决梯形问题的基本思路是通过辅助线的添加把梯形向三角形或平行四边形转化，常见的辅助线如下:1）普通梯形作双高；2）直角梯形作一高；3）平移一腰；4）平移两腰；5）延长两腰；6）平移对角线；7）倍长类中线；8）梯形中位线.例1.已知：如图，在四边形 ABCD中，有AB=DC, B C, AD BC,求证：四边形ABCD为等腰梯形.卡n例2.已知：如图，等腰梯形 ABC

10、D中，AD/BC, AD=3 , AB=CD=4 ,BC=7 ,求/ B的度数.例3.如图，在梯形 ABCD中，AD/BC,对角线AC，BD ,且AC=12 , BD=9 ,求此梯形的中位线长.例4.已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=AC , BAC 90 , BD BC, BD 交 AC 于 O.求证：CO CD.例5.已知：如图，梯形 ABCD, M为腰AD的中点，MHLBC于H.求证：S梯形ABCD BC MH.AB CD, P为AD的中60 ，2.如图，梯形ABCD中，AD /BC, E是CD的中点，连结 AE, BE.求证:11 cS AEB二 SB形 ABCD .2例6.已知：如图，在直角梯形 ABCD中，AB/CD, A D 90 , BC点.求证：CPLPB.练习巩固1.如图，在等腰梯形 ABCD中，AB/CD,对角线AC平分 BAD, BAD CD BC 2cm,则梯形abcd的面积为（）A.3,3cm2B.6