2020-2021中考数学圆的综合-经典压轴题及详细答案

1、2020-2021中考数学圆的综合-经典压轴题及详细答案一、圆的综合1 .如图，在。0中，AB为直径，OCa AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且 EF=ED.(1)求证：DE是。的切线；(2)若tanA=l,探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在(2)的条件下，若 OF=1,求圆O的半径.二【答案】(1)答案见解析；(2) AB=3BE; (3) 3.【解析】试题分析：(1)先判断出ZOCF+ZCFO=90°,再判断出ZOCF=ZODF,即可得出结论；(2)先判断出/BDE=/A,进而得出 EBgEDA,得出AE=2DE, DE=2BE,即可得出结

2、论；(3)设BE=x,则DE=EF=2x, AB=3x,半径OD=3x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结 OD,如图.-. EF=ED,Z EFD=Z EDF. / Z EFD=Z CFO, / CFO/EDF. -.OCX OF,ZOCF+Z CFO=90 ： / OC=OD,/ OCF=/ODF, . / ODC+/EDF=90 ；即 / ODE=90 ；，OD，DE. .点 D 在。O 上，. . DE是。的切线;(2)线段AB> BE之间的数量关系为： AB=3BE.证明如下：. AB 为。O直径，/ADB=90；Z ADO=Z B

3、DE. / OA=OD, ，/ADO=/A,DEBEBD . / BDE=/A,而 / BED=/DEA,.EBgEDA,./ RtAABDAE DE AD中,tanA=BDAD 2.AE=2DE, DE=2BE,DEBE 1 - = 一AEDE 2AE=4BE,AB=3BE;2+ (2x) 2= (1+2x)c2. 一2, x=(舍)或 x=2,9(3)设 BE=x,贝 U DE=EF=2x, AB=3x,半径 OD=3x. OF=1,OE=1+2x.2在Rt ODE中，由勾股定理可得：(3x)2 圆O的半径为3.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角

4、函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出EB2 4EDA是解答本题的关键.2.如图，AB为。的直径，AC为。的弦，AD平分/BAC,交。于点D, DE，AC,交 AC的延长线于点E.(1)判断直线DE与。的位置关系，并说明理由；(2)若AE= 8,。的半径为5,求DE的长.【答案】(1)直线DE与。相切(2) 4试题分析：（1）连接 OD, .力平分/BAC,EAD= OAD , OA = OD ,ODA= OAD, ODA= EAD , ，EA/ OD, .DEX EA, . DEL OD,又点D在。上，直线DE与。相切 如图1,作DF, AB,垂足为F,DFA= DEA =90 ,S

5、i EAD= FAD, AD=AD, . AEAD AFAD, . AF = AE=8, DF = DE, OA=OD=5, OF=3 ,在 RtDOF中， DF =OD2 OF2=4, AF=AE=8考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推 出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心 距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长.3.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.(1)如图1,四边形 ABCD内接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求证：四边形 ABC

6、D为圆内 接倍角四边形；(2)在(1)的条件下，OO半径为5. 若AD为直径，且sinA=4,求BC的长;5若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD则四边形ABCD的面积是(3)在(1)的条件下，记 AB=a, BC=b, CD=j AD=d,求证：d2-b2=ab+cd.【答案】(1)见解析；(2)BC=6,Z5Y!或75； (3)见解析44【解析】【分析】(1)先判断出ZADC=180° -2ZA.进而判断出/ABC=2/A,即可得出结论；(2) 先用锐角三角函数求出 BD,进而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出 结论； 分两种情况：利用面积和差

7、即可得出结论;(3)先得出BE=BC=b, DE=DA=b,进而得出 CE=d - c,再判断出EBBAEDA,即可得出结论.【详解】(1)设 / A=a,贝U / DCB=180 - a. Z DCB- Z ADC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 % . ./ABC=180 -ZADC=2 a =2A, 四边形ABCD是。O内接倍角四边形；(2)连接BD. AD 是。的直径， . / ABD=90 ：在 RtABD 中，AD=2 X 5=10sin/A= 4 , BD=8,根5据勾股定理得： AB=6,设 / A=a,/ ADB=90

8、76; - a.由(1)知，Z ADC=180° - 2 a,Z BDC=90° - a, . . / ADB=/BDC, . BC=AB=6;四边形ABCD是圆内接倍角四边形，/ BCD=120或/ BAD=30 :I、当 /BCD=120 时，如图 3,连接 OA, OB, OC, OD./ _ 1 , _。 。 一 BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60/ CDO=60，AD 是。O2的直径，（为了说明 AD是直径，点 O没有画在AD上）Z ADC+Z BCD=180 ,° . . BC/ AD,，AB=CD. BC

9、=CD, .1. AB=BC=CD, . .OAB, BOC, ACOD是全等的等边三角形，. . S四边形ABCA38AAOB=3x 2= 75/ .44n、当 /BAD=30 时，如图 4,连接 OA, OB, OC, OD.2 .四边形ABCD是圆内接四边形，/BCD=180 - Z BAD=150 :BC=CD,/ BOC=Z COD,. / BCO=Z DCO=- / BCD=75 :. / BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45；，/AOB=90：连接 AC, / DAC=1 / BAD=15 ：23 / ADO=Z OAB- / BAD=15 ； . / DAC=Z AD

10、O, . .OD/ AC, . Soad=Saocd.过点C作CH, OB于H.在 RtOCH 中,CH=1 OC=5 ,22S 四边形 abcd=Sacod+S boc+Saob-1Sa aod-S boc+S aob-2故答案为：75a或75; 44(3)延长DC, AB交于点E.一， 一 ，一，1 四边形 ABCD是。的内接四边形， ，/BCE=/ A=/ABC.2 / ABO/BC曰/ A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c. . /BCE=/A, /E=/ E, .-.AEBCAEDA, . CE BC , .1. -C b ,

11、- -d2 -AE AD a b db2=ab+cd.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性 质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.4.如图，AB为。的直径，点 D为AB下方。O上一点，点 C为弧ABD的中点，连接 CD, CA.(1)求证：/ABD=2/BDC;(2)过点C作CHI± AB于H,交AD于E,求证：EA=EC；(3)在(2)的条件下，若 OH=5, AD=24,求线段DE的长度.置】即邳9【答案】(1)证明见解析；(2)见解析；(3) DE 9.2【解析】【分析】(1)连接AD,如图1,设/BDOa

12、, /ADC=3,根据圆周角定理得到 /CAB=/BDC=a,由AB为。直径，得到Z ADB=90 °,根据余角的性质即可得到结论；(2)根据已知条件得到 /AC曰/ADC,等量代换得到/ACE=/CAE,于是得到结论；(3)如图2,连接OC,根据圆周角定理得到 /CO&2/CAB,等量代换得到ZCOB=ZABD,根据相似三角形的性质得到OH=5,根据勾股定理得到AB= , AD2 BD2 =26,由相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)连接 AD.如图 1,设/BDO% Z ADC= 3,贝叱 CAB=Z BDC=a,点 C为弧 ABD 中点，.AC=CD， /ADC

13、=/DAC=3 . /DAB=3 a,.AB为。O直径, Z ADB=90 : a + 3 =90. ° 3 =90-° a,Z ABD=90 - Z DAB=90 -(3- a) ,ZABD=2a,/ABD=2/BDC;Cc圜1图2(2) CH，AB,Z ACE+Z CAB=Z ADC+Z BDC=90°, Z CAB=Z CDB,Z ACE=Z ADC, / CAE=Z ADC,/ ACE=Z CAE, . A&CE;(3)如图 2,连接 OC,ZCOB=2ZCAB, Z ABD=2Z BDC, Z BDC=Z CAB, . / COB=/ABD, Z

14、 OHC=Z ADB=90 ；AOCHAABD,OHBDOCAB . OH=5,BD=10,，AB= JaD2BD 2 =26,，AO=13,，AH=18,AHEsMDB也 任，即旦生，AE* AD AB 24 2622图圄2【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出 辅助线是解题的关键.5.如图1,将长为10的线段OA绕点O旋转90得到OB,点A的运动轨迹为 AB，P是 半径ob上一动点，q是Ab上的一动点，连接 pq.发现：/POQ=时，PQ有最大值，最大值为 ;思考：(1)如图2,若P是OB中点，且QPLOB于点P,求?Q的长；(2)如图3,将

15、扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B'恰好落在OA的延长线上, 求阴影部分面积；探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧 QB恰好与半径OA相切，切点为C,若OP=6,求点O到折痕PQ的距离.【答案】发现：90； 10J2 ；思考：(1)；(2) 25 兀-100/2+100； (3)点 O103分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结到折痕pq的距离为J30.论;思考：(1)先判断出Z POQ=60,最后用弧长用弧长公式即可得出结论;(2)先在 RtA B'OP 中，OP2+(10 J2-10)2= (10-OP) 2,解

16、得 OP=10j2-10,最后用面积的和差即可得出结论.探究：先找点 。关于PQ的对称点O',连接OO、O' B O' C O' R证明四边形 OCOB是矩形，由勾股定理求 O' H从而求出OO的长,_1 一则 OM= OO r/30.详解：发现：P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点,当PQ取最大时，点 Q与点A重合，点P与点B重合，此时，/POQ=90, PQ：,。1 OB2=10我；思考：(1)如图，连接OQ,点P是OB的中点，1 1.OP=-OB=- OQ.,.QPXOB,/ OPQ=90 °OP 1在 RtA OPQ 中，cos/

17、QOP= 一OQ 2/ QOP=60 ；_6010 10BQ-1803'AB'= AB= 10” , (10-OP) 21 10 (10、2 10)2(2)由折叠的性质可得，BP= BP,在 RtB'OP 中，OP2+(10 72-10)2= 解得 op=10J2- 10,_90102S 阴影=S 扇形 aob-2Sa aop=360=25兀-100 J2+100；探究：如图2,找点。关于PQ的对称点O',连接OO、O' R O' G O' R则OM=OM , OO ± PQ, O' P=OP= 3点O'是? Q

18、所在圆的圆心, ,.O' C=OB=10;折叠后的弧QB'恰好与半径OA相切于C点, .O' dAO, .O' a ob, 四边形OCO'建矩形，在 RtO' B呻，O B=62 42 2V5，在 RtA OBO K, OO =川2 (2 后=2 痴，11 . OM= _ OOX2痴=V30 ,22即O到折痕PQ的距离为闻.点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式n R180(n为圆心角度数,R为圆半径)，明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.1、2中分别过圆外一点6

19、.不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图 A作出直径BC所在射线的垂线.【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线 .解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线7 .已知，如图：Oi为x轴上一点，以 Oi为圆心作。交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，/CMD的外角平分线交 OOi于点E, AB是弦，且 AB/CD,直线DM的解析 式为 y=3x+3.(1)如图1,求OOi半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF，B

20、C于F,若A、B为弧CND上两动点且弦 AB/ CD,试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.(3)在(2)的条件下，EF交OOi于点G,问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长(不写过程)，若变化自画图说明理由.【解析】分析：(1)连接 ED. EC EQ、MOi,如图 1,可以证到 Z ECD=Z SME=/EMC=/EDC,从 而可以证到Z EOiD=ZEOiC=90 °.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1, OM=3.设 OOi的半径为r.在RtA MOOi中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点Oi作OiPEG于P,过点Oi作

21、OiQ± BC于Q,连接EQ、DB,如图2.由 AB/ DC可证到BD=AC,易证四边形 OiPFQ是矩形，从而有 OiP=FQ, Z POiQ=90°,进而有 /EOiP=/ COiQ,从而可以证到 EPOiCQ。，则有PQ=QOi.根据三角形中位线定理 可得FQ=1bD,从而可以得到 BF+CF=2FQ=AC.2(3)连接 EOi, ED, EB, BG,如图 3.易证 EF/ BD,则有 Z GEB=Z EBD,从而有 Bg=?D，也就有BG=DE.在RtA EQD中运用勾股定理求出 ED,就可解决问题. 详解：(i)连接ED. EG EQ、MOi,如图i, ME 平

22、分 / SMC,/ SME=Z EMC. / SME=Z ECD, / EMC=Z EDC,/ ECD=Z EDC,/ EOiD=Z EOiC. ZEOiD+Z EOiC=i80 °,ZEOiD=Z EOiC=90 °.直线DM的解析式为y=3x+3, 点M的坐标为(0, 3),点D的坐标为(-i , 0), .OD=i, OM=3.设。Oi的半径为r,则MOi=DOi=r.在 RtA MOOi 中，(r i) 2+32=r2.解得：r=5,OOi=4, EOi=5,.OOi 半径为 5,点 E 的坐标为(4, 5).(2) BF+CF=AC.理由如下：过点Oi作OiPL

23、EG于 巳 过点Oi作OiQBC于Q,连接E。、DB,如图2. AB/ DC,Z DCA=Z BAC,Ad = Bc, ?d = Ac ' bd=ac-OiP± EG, OiQ± BC, EF±BF, z. ZOiPF=Z PFQ=Z OiQF=90 °, .四边形 OiPFQ是矩 形， OiP=FCi, Z POiQ=90 °,ZEOiP=90 °- ZPOiC=ZCOiQ.EOiPCOiQ在EPOl 和 ACQCii 中，EPOiCQOi ,OiE QC.EPQACQO,POi=QOi, . FQ=QOi.QOi±

24、; BC,BQ=CQ. CQ=DOi,OiQ=- BD,FQ=iBD.22 BF+CF=FC+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,BF+CF=BD=AC.(3)连接 E。，ED, EB, BG,如图 3. DC是。Oi 的直径，Z DBC=90 °,Z DBC+Z EFB=i80 °, . EF/ BD,/ GEB=Z EBD,BG = ?D，BG=DE. DOi=EOi=5, Edi ± DOi ,DE=5 72 ,BG=572，.弦BG的长度不变，等于 5 J5 .却图2图3点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三 角形

25、的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股 定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由 AB/ DC证到AC=BD是解决第(2)小题 的关键，由EG/ DB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.8.等腰RABC和。O如图放置，已知 AB=BC=1, / ABC=90°,。的半径为1,圆心O 与直线AB的距离为5.(1)若 ABC以每秒2个单位的速度向右移动，OO不动，则经过多少时间 ABC的边与圆第一次相切？2个单位，OO的速度为每秒1个单2个单位，OO的速度为每秒1个单BA、BC方向增大. ABC的边与圆(2)若两个图形同时向右移动，4ABC的速

26、度为每秒位，则经过多少时间 ABC的边与圆第一次相切？(3)若两个图形同时向右移动，4ABC的速度为每秒位，同时4ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿【解析】20 4.2V 3)分析：(1)分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，ABC移至B'嫄'A'软。切于点E,连OE并延长，交B' C' F.由切线长定理易得 CC的长，进而由三角 形运动的速度可得答案；(2)设运动的时间为t秒，根据题意得：CC =21t DD = t则C' D' =CD+DDC =4+2t=4-t , 由第(1)的结论列式得出结果；(3)求出相切的时间

27、，进而得出B点移动的距离.详解：(1)假设第一次相切时，4ABC移至AA' B'纥'如图1, A嗡。0切于点E,连接OE并延长，交B'仔F,设。与直线l切于点D,连接OD,则OE，A C OD，直线1,由切线长定理可知 C' E=C, D设 C D=x 则 C E=xABC是等腰直角三角形，/ A=/ACB=45 ；/ A' C'/ACB=45 ,°.EFC是等腰直角三角形，. C F=2 x, Z OFD=45°, .OFD也是等腰直角三角形，.OD=DF,亚 x+x=1,贝U x=V2 -1, .CC/ =BDCC

28、 D=15 ( 72-1) =5-72 , 二点C运动的时间为 j2则经过5 技秒, ABC的边与圆第一次相切；(2)如图2,设经过t秒 ABC的边与圆第一次相切，4ABC移至AA' B'纥。与BC图2A' CfOO切于点E,连OE并延长，交B' C' F, .CC' = 2tDD' =t .C' D' =CD+DD ' =4+t=4-t , 由切线长定理得 C E=C D-t =4 由(1)得：4-t= 72-1, 解得：t=5-、. 2,答：经过5-近秒 ABC的边与圆第一次相切；(3)由(2)得 CC =(2

29、+0.5) t=2.5t, DD = t则 C' D =CD+-CC =4+2.5t=4-1.5t ,由切线长定理得 C E=C C-1.=4,由(1)得：4-1.5t= 2-1,解得：t=10 2 2 ,3点B运动的距离为2 X10 22 = 20 4应.33B CD BrF Cr Dr图3点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力.9.如图，4ABC 中，/A=45°, D 是 AC 边上一点， 。经过 D、A、B 三点，OD/ BC.(1)求证：BC与。相切；(2)若 OD=15, AE=7

30、,求 BE的长.【答案】(1)见解析；(2)18.【解析】分析：(1)连接OB,求出/ DOB度数，根据平行线性质求出 /CBO=90,根据切线判定 得出即可；(2)延长BO交。于点F,连接AF,求出/ABF,解直角三角形求出 BE.详解：(1)证明：连接OB.-.1 / A=45 ,°/ DOB=90 :. OD/ BC, / DOB+Z CBO=180 ,°/ CBO=90 :直线BC是。O的切线.(2)解：连接BD.则AODB是等腰直角三角形，/ODB=45； BD=/2OD=15/2, . /ODB=/ A, /DBE=/ DBA, .DB&MBD,BD2=

31、BE?BA(15W) 2= (7+BE) BE, .BE=18 或-25 (舍弃)， .BE=18.点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进 行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大.10.如图，4ABC内接于OO,且AB为。的直径./ACB的平分线交。于点D,过点D作。的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AEL CD于点E,过点B作BF, CD于 点F.(1)求证：DP/ AB；(2)若AC=6, BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接OD,由AB为。的直径，根据圆周角定理得 /ACB=90,再由 /AC

32、D=/ BCD=45 ；贝U / DAB=Z ABD=45 ,°所以 DAB为等腰直角三角形，所以 DOXAB, 根据切线的性质得 ODLPD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根据勾股定理计算出 AB=10,由于 DAB为等腰直角三角形，可得到ADAB21025匹；由4ACE为等腰直角三角形，得到AE CE AC / 3石在RtAED中利用勾股定理计算出 DE=4J2 ,则一 一一 PD PA AD 5 25CD=7J2,易证得. PDAs PCD,得到 PD PA 器 蓑 所以 pa=|pd,7PC=-PD,然后禾1J用PC=PA+ACT计算出PD.5【详解】解：(1)证明：如图

33、，连接 OD,.AB 为。的直径，/ACB=90.°/ ACB 的平分线交 O O 于点 D,Z ACD=Z BCD=45 :/ DAB=Z ABD=45DAB为等腰直角三角形.DOXAB.PD 为。O 的切线，OD± PD.DP/ AB.(2)在 RtACB 中，ab=Jac；+bc； =10， DAB为等腰直角三角形,4CAE± CD, ACE为等腰直角三角形.-AE =CE =不 = 在 RtMED 中，DE 三Jad'ae：您历二加历j,CD mCE-DE =3出 = "小证.PD PA .AS 5 也pc = cd't . AB

34、 / PD,/ PDA=Z DAB=45 ,°/ PAD玄 PCD.又 / DPA=Z CPD, PD PCD.PA=7PD, PC=5 PD.57又PC=PA+AC7PD+6=5PD,解得 PD=.57rAc、A与端11.如图1,等边4ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作 CB、Ba，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对 称图形，设点i为对称轴的交点.(1)如图2,将这个图形的顶点 A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点 点N重合，则线段 MN的长为 ；(2)如图3,将这个图形的顶点 A与等边4DEF的顶点D重合，且AB&

35、#177; DE, DE=2tt,将它 沿等边 DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4,将这个图形的顶点 B与。的圆心O重合，。的半径为3,将它沿。的 圆周作无滑动的滚动，当它第 n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为 （请用含 n的式子表示）【答案】（1） 3兀；（2） 27兀；（3） 2，3n兀.【解析】试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3兀，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边 4DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形 的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和。重

36、合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出.试题解析：解：（1）二.等边4ABC的边长为3, ，/ABC=/ ACB= / BAC=60°,603Ac Bc Ab，lAc lBc =1Ab =兀，.线段 MN 的长为180lAC 1bc 1AB =3冗故答案为3兀；（2）如图1.等边4DEF的边长为2兀，等边4ABC的边长为3, ，S矩形aghf=2兀X 3=6,兀2由题意知，AB± DE, AG± AF,/ BAG=120°, 二. S扇形 BAG=120=3图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为3 （S矩形AGHF+S扇形BAG） =3 （6

37、兀+3/=27 71；（3）如图2,连接BI并延长交AC于D.是4ABC的重心也是内心，./DAI=30°,1 33-AD= -AC= - , - OI=AI= AD2= J3,，当它第1次回到起始位置时，点I2 2-cos DAI cos30所经过的路径是以 。为圆心，OI为半径的圆周，当它第n次回到起始位置时，点I所经 过的路径长为n?2Tt?J3=2 J3n兀.故答案为2，3门兀.II2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解(1)的关键是求出 AC的弧长，解(2)的关键是判断出莱洛三角形绕等边4DEF扫过的图形，解(3)的关键是得出

38、点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的 题目.DA、DC分别切。于点A, C,且AB=AD.BE.BC=1 ,求CH的长.512.如图，AB为。的直径，(1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, 0D交于点E,连结求/AEB的度数；连结BD交。0于点H,若【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得 / BAD=90 ,(2) 根据切线长定理可得 AD=CD,由题意可得AD=2A0,即可求tan/AOD的值;0D平分/ADC,根据等腰三角形的性质可得【答案】(1) 2; (2) /AEB= 135° CHDOXAC, AE=CE根据圆周角定理可求/ACB=90°,

39、即可证 /ABC=/ CAD,根据"AAST证 AB8 4DAE,可得 AE=BC=EC可求/ BEC=45；即可求 /AEB的度数；由BC=1,可求AE=EC=1 BE J2 ,根据等腰直角三角形的性质可求/ ABE=/ HBC,可证AB&4HBC,可求CH的长.【详解】(1) DA是。0 切线，/BAD=90. AB=AD, AB=2AO, . . AD=2A0, ，tan/AOD 幽 2;AO(2)DA、DC 分别切。0 于点 A, C, AD=CD, OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE, AB 是直径，/ ACB=90 ,° / BAC+

40、/ ABC=90，且/ BAC+/ CAD=90 ；，/ABC=/ CAD,且 AB=AD, Z ACB=Z AED=90 AB8 DAE (AAS) , . CB=AE . CE=CB 且 / ACB=90 ,°/ BEC=45=°Z EBC,. / AEB=135 ,° 如图， BC=1,且 BC=AE=CE . - AE=EC=BC=1 . . BE 垃. AD=AB, / BAD=90 / ABD=45，且/ EBC=45,/ ABE=Z HBC,且 / BAC=Z CHB,BCCH1J2CH(2)若 CD= 2, AC= 4, BD= 6,【解析】3*5

41、2(1)解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识 是解题的关键.13.如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC, AB相交于点 D, E,连接AD,已知/ CAD= / B.(1)求证：AD是。的切线；求。的半径.ODXAD，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以 得出结果(1)证明：连接OD,c Br,.OB=OD,Z 3= Z B,

42、 Z B= Z 1,Z 1 = Z 3,在 RtZXACD中,Z 1 + Z2= 90 ,Z 4= 180 - ( Z2+Z 3) = 90 ,ODXAD,则AD为圆。的切线；1.DF= BF= -BD=32. AC=4, CD=2, Z ACD= 90ad= Vac"_cd7=2v Z CAD= Z B, Z OFB= Z ACD= 90ABFOAACD,BF QBAC AD日口 3 OB即=产4 2,5.'.OB=2O O的半径为.2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相 似的判定条件是解题的关键14.已知：如图，以等边三角形AB