2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

1、第2页共16页高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制 说明"五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法.例1已知点A( 2,0)、B(3,0).动点P(x, y)满足PA PB x2,则点P的轨迹为()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解：PA( 2 x, y),PB(3 x, y),PA pB (2 x)(3 x)y2x2 x 6y2.由条件，x2x 6 y2x2,整理得y2 x 6,此即点P的轨迹方程，所以P的轨迹为抛物线，选 D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆

2、、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程例2已知 ABC中， A、 B、 C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列，且a c b, AB 2 ,求顶点C的轨迹方程.解：如右图，以直线 AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a,c,b构成等差数列，2c a即|CA| |CB 121AB | 4,又CB CA , C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，a 2,c1,22b 43,故C的轨迹方程为1(x 0,x2).43三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x, y来表示，再代入到其他动点要满足的条件

3、或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法 例3如图，从双曲线C：x2 y2 1上一点Q引直线l : x y 2的垂线，垂足为 N ,求线段QN的中点P的轨迹方程解：设 P(x, y，Q ”yj，则 N(2x x1,2y y1). N 在直线 l 上，2x x1 2y y1 2.又 PN l 得y1 1,即 x y y1 x1 。. x x1x1联解得yi3x y 22.又点Q在双曲线C上，(3x y 2)2 (3y x 2)2 1 ,化简整理得:3y x 222_2- 2 一2x 2y 2x2y 1 0 ,此即动点P的轨迹方程.2四、几何法几何法是指利用平面几

4、何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而 得到动点的轨迹方程.例4已知点A( 3,2)、B(1, 4),过A、B作两条互相垂直的直线li和12,求li和L的交点M的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当 ABM为直角三角形时，点 M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心1即为AB的中点(1, 1),半径为 2AB5 522,方程为(x 1)2.2(y 1)13.故M的轨迹方程为22(x 1) (y 1)13.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标 求式子中消去参数，得到 x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程x, y间建立起联系，然后再

5、从所例5过抛物线y2 Px( p 0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB ,求弦AB的中点M的轨迹方程.解：设M(x,y),直线OA的斜率为k(k10),则直线OB的斜率为一.直线OA的方程为y kxky kx由2y 2px解得2Pk2 ,即2Pk同理可得B(2pk2, 2pk).由中点坐标公式,Pk2，消去k ,得y2 p(x 2p),此即点M的轨迹方程.Pk六、交轨法求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法2 x例6如右图，垂直于x轴的直线交双曲线aM、N两点，A,A2为双曲线的左、右顶点，求直线A2N的交点

6、P的轨迹方程，并指出轨迹的形状解：设 P(x,y)及 M(Xi，yjN(Xi，y)，又 A1( a,0), A2 (a,0),可得直线A1M的方程为yy(x a)；直线&N的方程为y 一小(x a). Xi aXi a2 X 得 y22 y1 2 (x2 a2)Xia2 Xi -2 a2 yi1,2 yib222 (axi ),代入得ab2x2(x2 a2),化简得 aa2 y b2i,此即点P的轨迹方程.当ab时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当a b时，点P的轨迹是椭圆高考动点轨迹问题专题讲解(一)选择、填空题i.已知Fi、F2是定点,|讦2 | 8 ,动点M满足 | M

7、Fi | | MF? |8 ,则动点M的轨迹是(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段2.M (0,5)N(0,5)MNP的周长为36,则MNP的顶点P的轨迹方程是(A)2X252yi69x 0)2x(B) 一i442yi690)(C)i692y25y 0)2 x (D) i692yi440)3 .与圆x24x0外切,又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是4 . P在以Fi、F2为焦点的双曲线i6 9 i上运动，则FiF2 P的重心G的轨迹方程是5 .已知圆C： (x J3)2 y2 i6内一点A(J3, 0),圆C上一动点Q, AQ的垂直平2分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为 . y2 i46 .

8、 ABC的顶点为A( 5, 0)、B(5, 0), 4ABC的内切圆圆心在直线 X 3上，则顶22点C的轨迹方程是； L i(X 3)9 i622x y变式：若点P为双曲线一 L 1的右支上一点，Fi、F2分别是左、右焦点，则 PF1F2的内切圆圆心916的轨迹方程是;x2 y2推广：若点P为椭圆 y- 1上任一点，F1、F2分别是左、右焦点，圆 M与线段F1P的延长线、线段 259PF2及x轴分别相切，则圆心 M的轨迹是 ；设PQ所在直线方程为yk(x 1)与抛物线方程联立,y k(x 1), y2 4x消去y得2 2_ 22k x (2k4)x k 0.设 P(x1，y1),Q(x2, y

9、2 )，PQ中点为M (x, y),则有xX2x 2k2消k得y22(x 1).y k(x 1)当直线PQ的斜率不存在时，易得弦PQ的中点为F(1,0),所求方程.故所求轨迹方程为 y2 2(x1).x也满足7.已知动点 M到定点A(3,0)的距离比到直线 x 4 0的距离少1,则点M的轨迹方程是 ,y2 12x8.抛物线y 2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是kk2x ( y ) 89.过抛物线y2 4x的焦点F作直线与抛物线交于 P、Q两点，当此直线绕焦点 F旋转时,弦PQ中点的轨迹方程为 解法分析：解法1当直线PQ的斜率存在时,第12页共16页解法 2 设 P(x1,y1)，Q

10、(x2,y2),2 ,y 由2 y2当X1X2时,有2y-4, X1 X2所以,即 y2 2(x1).当X1X2时，易得弦PQ的中点为F(1,0),也满足所求方程.4x1,得(y y2)(y y?) 4函 X2),设 pq 中点为 m(x,y), 4x2.故所求轨迹方程为 y2 2(x1).10.过定点P(1, 4)作直线交抛物线C： y2x2于A、B两点，过A、B分别作抛物线 C的切线交于点 M,则点M的轨迹方程为4x(二)解答题1. 一动圆过点P(0, 3),且与圆x2 (y23)100相内切，求该动圆圆心 C的轨迹方程.(定义法)2X2.过椭圆361的左顶点A1作任意弦A1E并延长到F,

11、使|EF|AE|, A2为椭圆另一顶点,连结OF交A2E于点P,求动点P的轨迹方程.3.已知A、A2是椭圆2 y b21的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴 A A2对称的两点，求直线PAi和QA2的交点M的轨迹.(交轨法)4.已知点G >AABC的重心，A(0, 1), B(0,1),在x轴上有一点M,满足uuir uuur uuuu |MA| |MC| , GMuuurAB(1)求点C的轨迹方程;uur uur(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点 P、Q,且满足| AP | | AQ |试求k的取值范围.解：(1)设C(x, y),则由重心坐标公式可得G(x,-y).3 3

12、 uuuu uuu GM AB，点 M 在 x 轴上，. M (-,0)3 |MA|Mc|, A(0, 1),旧)21J(x1)2y2,即 日y21).(直接法)2(2)设直线l的方程为y kx b ( b故点C的轨迹方程为y2 1 ( y 31) , P(x1,y1)、Q(x2,y2), PQ 的中点为 N.又x1 N(kx b,2 消y,得(1 3y2 3.2 2_36k b 12(1x26 kb1 3k23kb b1 3k2'1 3k_ 223k )x6kbx3(b2_2213k )(b1) 0 ,即 1y y2 k(x x2)uuu uuur | AP | | AQ |, AN

13、 PQ，- kAN， -2一 一一 2 1 3k 2b,又由式可得2b b0 1 3k2 4 且1 3k2 2,解得13k22b6k2b3k2b1 3k22b2b2 , 3k23kb1 3k21.5.已知平面上两定点M (0, 2)、N(0,2)uuur uuur满足MP MNuuuruuuuPN MN .(I)求动点P的轨迹C的方程;(n)若A、B是轨迹C上的两动点,(直接法)uuir且ANuuirNB .过A、B两点分别作轨迹 C的切线，设其交点为Q ,uuu 证明NQuurAB为定值.uuir解：(I )设P(x, y),由已知MP(x, yuuuu2), MN (0,4)uurPN (

14、 x,2 y),uuu uuuuMP MN 4y 8 .uuur uuurPN MN4jx2 (y 2)2 ,uuur uuurr MP MNPNI MN1 , . 4y 8 4M(y 2)2 整理，得 x2 8y .即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为 x2 8y .6.已知O为坐标原点,E( 1,0)、F (1,0)uuir，动点A、M、N满足| AE |uurm|EF | (muuurr uuurD,MN AF0,uuir i uuu uur uuur uuurON (OA OF) , AM / ME .求点M的轨迹W的方程.uuuu uuur uuur 1 uur uur解：: MN A

15、F 0, ON -(OA OF), MN垂直平分AF.uuuu uur又 AM / ME，.一点 M 在 AE 上，uuuuuur uuir uuiruuur uur|AM |ME| | AE |m|EF |2m , |MA|MF |,uur uuir| ME | | MF |uur2m |EF|,点M的轨迹 W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴 a m,半焦距c 1 ,.2222ra xi (y 2)j ,b a c m 1 .故直线l的斜率存在，设l方程为y kx 3 , A(x1, y1), B(x2, y2) .(18k)2 4(43k2)( 21) >0 恒成立,y kx 3,由

16、 x2y2消 y 得(4 3k2)x2 18kx 21 0,此时1,12 16且 xx2uuu18kZ 24 3k2uuu uuu21Z 24 3k2Q OP OA OB ,所以四边形 OAPB是平行四边形.若存在直线l ,使得四边形 OAPB是矩形，则OAOB,uur 即OAuuuOB 0 .uuuuuuQOA (x1,yJOB (x2,y2),uur uuuOA OB xx2 y1y2 0 -2即(1 k )x1x2 3k(x1 x2)9 0.921(1 k2) ( 2) 3k (4 3k2故存在直线l : yY5x 3,4使得四边形OAPB是矩形.uuu8.如图，平面内的定点F到定直线l

17、的距离为2,定点E满足：| EF |=2且EFuuuu uuuuuuur uuu一动点，点M满足：FM MQ，点P满足：PQ/EFuuuuPMuuurFQ 0 .(I)建立适当的直角坐标系，求动点 P的轨迹方程;(II )若经过点E的直线l1与点P的轨迹交于相异两点A、B,令AFBl于G,点Q是直线l上xoy,设点 P(x, y),则 F(0, 1), E(0, 3), l: yuuuuuuuu uuur uur FMMQ , PQ / EF Q(x,1)，M(-, 0).2uuuu uuurx PM FQ 0,(-)2x ( y)(2) 0,即所求点P的轨迹方程为x24y. 设点 A(xi,

18、 yi),B(X2,y2)(Xi X2)设AF的斜率为ki , BF的斜率为k2 ,直线li的方程为kxy kx 3由 2x 4y6 分彳#x2 4kx i2xi x2 4kxix2i2yi y22Xi2X2XiX2)2yiV2 k(XiX2) 64k2 6FA (7, 1),FB1) FA FBxix2(yii)(y21)XiX2yiy2(yiV2) ii2 9 4k24k2 8又 |FA| |FB| (yii)(y2 i)yiy2 (yi y?) i4k2 6i 4k2 i6cosFA FB4k2k2 2|FA|FB I24k i6i0分出羊3由于42k 2i cos-2即2k2 2k2

19、4ii分解得k48i3分，直线li斜率k的取值范围是k|k4/8,或 k9.如图所示,已知定点F(i, 0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M ,并延长MP到点N ,uuuu LUUT 且 PM PFuuuu uuur0, |PM | | PN |.(i)求动点N的轨迹方程;(2)直线|与动点N的轨迹交于uuuA、B两点，若OAuuuOB4 ,且4J6 | AB| 4J30 ,求直线|的斜率k的取值范围.uuur解：(i)设 N(x, y),由 | PMuuur| PN |得 M ( x,0),P(0,，uuuu PMx,uur yPF (i,-),2uulu LuUT 又 PM

20、PF0,0 ,即动点N的轨迹方程为i0.已知点F(0,i),占八、uuuuM在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足 MNuuurMFuuuuMNuuu rMP 0 .(i)求P点轨迹E的方程;. r _._. 一一一(2)将(i)中轨迹E按向量a (0, i)平移后得曲线 E，设Q是E上任一点，过Q作圆(y i)2 i第14页共i6页的两条切线，分别交 x轴与A、B两点，求|AB|的取值范围.第ii页共i6页解：(1)设 M (a,0)、N(0, b)、P(x,y),则uuuuMNa,b)、uuurMF ( a, 1)、uuirMP (xa, y) 由题意得(a, b)(a, b)(a,(x1

21、) 0, a,y) (0, 0).0,y,1 2y Zx'故动点P的轨迹方程为y11.如图A(m, J3m)和B(n, J3n)两点分别在射线OS、uuuOT上移动，且OAuuuOBuuu uuu uuu。为坐标原点，动点 P满足OP OA OB .(1)求m n的值；(2)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线?(3)若直线l过点E(2, 0)交(2)中曲线C于M、uuurN两点，且MEuuu3EN ,求l的方程.uur uuu解：(1)由已知得OA OB(m, . 3m) (n,3n)(2)设P点坐标为(x, y)uuu(x 0),由 OPuuuOA2mn 1 2uuu OB

22、得mn(x, y) (m, 3m)(n, 、3n)(mn, V3(m n),m n, 消去m , .3( m n).一 2n可得x又因mn 4, . P点的轨迹方程为x21 (x 0).1的右支.y2它表示以坐标原点为中心，焦点在 x轴上，且实轴长为 2,焦距为4的双曲线x23(3)设直线l的方程为x ty 2,将其代入C的方程得3(ty 2)2 y2 3即(3t2 1)y2 12ty 9 0,易知(3t2 1) 0 (否则，直线l的斜率为 J3,它与渐近线平行，不符合题意)2_22又 144t36(3t1) 36(t1) 0,设 M (x1, y1)，N(x2, y2),则 V2 1咒,丫佻

23、29 13t 1 3t 1l与C的两个交点M , N在y轴的右侧22XiX2(tyi 2)(ty2 2) t y1y22t(yy?)4 t923t2i-2 3t i0,即0 t2 J,又由Xi X20同理可得32t -42- 43t2 ii 3，23t2423t2 i0,uuu 由MEuuur3EN 得(2 Xi, yi)3(2 X2, y2),Xiyi3(2 3y2X2)由yiV23y2y212t由 丫2(3y2) y23y23t23t29 一得ii得y22V26t3t2 i3 o ,3t2 i消去y2得36t2(3t2 i)233t2 i解之得：t2t2故所求直线i存在，其方程为：J15x

24、2押 0或7I5xy 2、,50.i2 .设A, B分别是直线2x5x上的两个动点，并且uuir|AB|p满足uuuuuu uurOP OA OB .记动点P的轨迹为C.(I) 求轨迹C的方程；uuuuruuurDN ,求实数的取值范围.解：(I)设P(x,y),因为A、B分别为直线y2,5工x和y52 “5x上的点，故可设5,2,5 、A(Xi,Xi)5B(X2,2、,5一X2)5uuu uuu uuu. OP OA OB ,Xi X2,2.5 ,、-(xi X2).5XiXiX2X2X,y-(II)若点D的坐标为(0, i6) , M、N是曲线C上的两个动点，且 DMuiur 又AB闻,(

25、II)设 N (s, t) , M (x, y),则由 DMDN ,可得(x, y-i6)(s, t-i6).242.(X X2)2 -(Xi X2)2 20.5 2 4 2X2 y2-y2 -x2 20 . 即曲线C的方程为 i .4525 i6故 x s, y i6 (t i6). M、N在曲线C上,2.225 词1,2 2s25(t 1616)2161.消去s得2_2(16 t )_ 2(t 1616)由题意知16160,且172154,17152解得故实数的取值范围是1)13.设双曲线1的两个焦点分别为F2 ，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线11、12的方程；(2)若A、B分别为l

26、1、12上的动点，且21ABi5严正2|,求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是x2 什么曲线.(x753y2251)提示：|AB| 10J(x x2)2y1 y2 2 10,又 y1,3Tx1y2,3工"X2,3则 y, y2：(x2x1),>x2).又2x X1 X2, 2y y1 y2代入距离公式即可.(3)过点N(1,0)是否存在直线l ,使l与双曲线交于 P、uuuQ两点，且OPuuuOQ 0,若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.(不存在)14.已知点F(1, 0 ),直线l : x2 ,设动点 P到直线l的距离为d ,已知223| PF | 一d，且一d

27、232(1)求动点P的轨迹方程;第24页共16页2y 2 ( a 1)父于 a、B两点，以OA、OB为邻边作平行215.如图，直线l : y kx 1与椭圆C: ax四边形OAPB (。为坐标原点).(1)若k 1 ,且四边形OAPB为矩形，求a的值；(a 3)若a 2,当k变化时(k R),求点P的轨迹方程.(2x2 y2 2y 0 ( y 0)2216 .双曲线 C： 22 -y2 1 (a 0, b 0)的离心率为 2,其中 A(0, b) , B(a, 0),且 a buuu c uur c 4 uuu uuu |OA|2 |OB|2 |OA|2 |OB|2. (1)求双曲线 C 的方

28、程； 3(2)若双曲线C上存在关于直线l ： y kx 4对称的点，求实数k的取值范围.c 2, a解：(I)依题意有：a2 b2 4a2b2,解得：a 1,b J3,c 2.32,22a b c .2所求双曲线的方程为 x22一1.6 分3(n)当k=0时，显然不存在.7 分1当kwo时，设双曲线上两点 M、N关于直线l对称.由lMN,直线MN的万程为y x b 则 kM、N两点的坐标满足方程组1.,y x b,2222由 k 消去 y得(3k2 1)x2 2kbx (b2 3)k2 0 . 9分3x2 y2 3.显然 3k2 1 0,(2kb)2 4(3k2 1) (b2 3)k20 .即

29、 k2b2 3k2 1 0.设线段MN中点D ( x0,y0)kbx0 T-2"，3k 1则2 1 - D (x0,y0)在直线l上，3k by°一.3k 13k2b3k2k2b方 4.即 k2b=3k2 13k 1把带入中得k2b2+bk2 0,解得 b 0或 b1 0或 k23k<-1 .即 1k 或 k 2,kwok的取值范围是、,3113，T)U( 2，0)U(0,2)U(T，).1的uuir17.已知向量OA =(2,uur0）, OC = AB =（0, 1）,动点M到定直线y =1的距离等于 d,并且满足uuuuOMTuMr =K( CMr -BMir

30、- d2),其中 O 为坐标原点,K为参数.(I)求动点 M的轨迹方程，并判断曲线类型;(D)如果动点 M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足w e=c2 一 ，一一,求实数K的取值范围.22过抛物线y 4x的焦点作两条弦AB、uurABuurCD 0uuuu 1 uuu uuuOM ”OA OB),uuirON1 uur iuur-(OC OD) .(1)求证：直线MN过定点；（2）记（1）中的定点为Q ,求证AQB为钝角;（3）分别以AB、CD为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ,求H的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线.219 . （05年江西）如图， M是抛物线上yx上的一点，动弦 ME、M

31、F分别交x轴于A、B两点，且MA MB . （ 1）若M为定点，证明：直线 EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且 EMF 900,求 EMF的重心G的轨迹.思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜F率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来， 进而表示出G点坐标，消去y0即得到G 的轨迹方程（参数法） 解：（1）法一：设M （y2, y0）,直线ME的斜率为k （ k 0）,则直线MF的斜率为k ,方程为 y yok(x y(2).y. .2yyo k(xyo),消 x得 ky2yo(1kyo)o,解得yF1 kyoXf(1 kyo)2k2yEyF1 kyok1 kyokXeXf22(1 kyo)(1 kyo)k2k22k