第一章 集合与函数概念教案典型例题

1、集合与函数概念知识点1：集合的含义1元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2集合表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3集合相等：构成两个集合的元素完全一样。典例分析题型1：判断是否形成集合例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数； （4）方程x2+1=0的解；（5）某校2011级新生； （6）血压很高的人； （7）著名的数学家； （8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 能组成集合的是_。例2：考察下列对象能形成一个集合的是_。

2、 身材高大的人 所有的一元二次方程 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 细长的矩形的全体 比2大的几个数 的近似值的全体 所有的小正数 所有的数学难题知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系1集合的元素特征： 确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。2元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集

3、合A，记作aA。注意：常见数集 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q；实数集，记作R；典例分析题型1：集合中元素的互异性的考察例1：由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有_个元素，分别为_。例2：设a,b,c分别为非零实数，则所有的值构成的集合中元素分别为_。例3：含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则_。例4：集合中的不能取得值有_个。例5：由组成1个集合A，A中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ） A、1 B、-2 C、6 D、2 例6：以实数a，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有2个元素，则的

4、a值为 .题型2：集合与元素之间关系的考察例1：用“”或“”符号填空： （1）8 N； （2）0 N； （3）-3 Z； （4） Q； （5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。例2：给出下面四个关系:R, 0.7Q, 00, 0N,其中正确的个数是:( ) A4个 B3个 C2个 D1个例3：下面有四个命题: 若 若的最小值是2 集合N中最小元素是1 的解集可表示为2,2 其中正确命题的是_。例4：给出下列关系：（1） （2） （3） （4） 其中正确的个数为（） A1个 B2个 C3个 D4个题型3：根据元素互异性确定参数的值:例1：已知A= ，若1A，

5、则实数a的值为_.例2：设集合A=，集合B=，已知，则a的值为_。例3：已知集合P的元素为, 若2P且-1P，求实数m的值。例4：若t,求t的值.例5：已知集合M是由0，三个元素组成的集合，且，试求实数m的值。例6：已知集合A，B=，若A=B，求的值。知识点3：集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；(*(oo) 注：（1）书写时，元素与元素之间用逗号分开； （2）集合中的元素可以为数，点，代数式等； （3）列举法可表示有限集，也可以表示无限集。 描述法：用集合所含元素的共

6、同特征表示集合的方法，称为描述法。 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式： 如：x|x-3>2，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；(*(oo)注：描述法表示集合应注意集合的代表元素， 点集与数集的区别：如点集：(x,y)|y= x2+3x+2 数集: y|y= x2+3x+2自然语言表示法：例：不是直角三角形的三角形典例分析题型1：选择合适的方法表示集合例1：用列举法表示下列集合：（1）小于5的正奇数组成的集合；（2）能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；（3）从51到

7、100的所有整数的集合；（4）小于10的所有自然数组成的集合；（5）方程的所有实数根组成的集合；（6）1到20以内的所有质数组成的集合。例2：用描述法表示下列集合：（1）由适合的所有解组成的集合;（2）到定点距离等于定长的点的集合;（3）方程的所有实数根组成的集合例3：试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）由小于的所有素数组成的集合；（3）一次函数与的图象的交点组成的集合；（4）不等式的解集题型2：根据要求求集合中的元素例1：(1)已知集合M=xNZ，则集合M=_。（2）已知集合C=，N，则集合C=_。例2：已知集合A，B，则集合B用列举法表示为_。例3：方程

8、的解集为用列举法表示为_。例4：用列举法表示不等式组的整数解集合为_。当堂测试1、方程组 的解用列举法表示为_。2、 集合A=，用列举法表示为_。3、 集合B=，用列举法表示为_。4、 集合C=，用列举法表示为_。5、 集合Ax|Z，xN，则它的元素是 。知识点4：子集概念以及集合间的基本关系1子集概念：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，称集合A是集合B的子集。 B A表示： 记作： 读作：A包含于B，或B包含A 当集合A不包含于集合B时，记作AB(或BA) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 2集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则

9、集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。 如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。3真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）(*(oo)注意：（1）空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：（2）几个重要的结论： 空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集； 任何一个集合是它本身的子集； 对于集合A，B，C，如果，且，那么。典例分析题型1：根据子集定义确定两个集合之间的关系例1：判断下列集合之间的关系 (1) N_

10、Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x|(x-1)2=0_B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3_B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1_B=x|x2-1=0; （8）A=x|x是两条边相等的三角形_B=x|x是等腰三角形。例2：判断下列集合的关系.判断下列两个集合之间的关系 （1）A=，B=； （2）A=，B=； （3）A=，B=； （4）A=，B= 例3：用适当的符号填空：（1） ； 0 ； ； （2）2_N； _N； A; （3）已知集合Ax|x3x20，B1,2，Cx|x<8,xN，则 A B； A C； 2 C； 2 C

11、例4：已知集合M=，N=，P=，确定试M,N,P之间的关系。题型2：根据集合间的关系求参数的值例1：设集合A=2，8，a，B=2,a2-3a+4且BA，求a的值。例2：已知A=，B=，如果AB，求m的值。例3：设集合A=，B=，若求实数的值。例4：已知集合且，求实数m的取值范围。例5：已知集合，且满足，求实数的取值范围。例6：已知集合A=，B=，若，求出实数的取值范围。 例7：已知集合A=，B=，（1） 若BA，求实数m的取值范围。（2） 当x,没有元素x使x与，同时成立，求实数m的取值范围。知识点5：集合中子集个数1若集合A中有n个元素，那么集合A的子集个数为 *集合A的非空子集个数为-1；

12、 集合A的真子集个数为-1； 集合A的非空真子集的个数为-2；2若集合A=B，且m<n,集合B中的子集个数为典例分析：题型1：求子集个数例1：集合A中元素个数为6个，则集合A的非空真子集个数为_。例2：已知，；若，则集合M的个数为_。例3：满足0,1,2 A0,1,2,3,4,5的集合A的个数为_。例4：已知集合A=，若集合A有且仅有2个子集，则的值为_。例5：设集合A=，B=，若且则满足条件的的个数为_。知识点6：集合的基本运算1并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，即A与B的所有部分， 记作AB， 读作：A并B 即AB=x|xA或xB

13、。 Venn图表示：2交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集， 记作：AB 读作：A交B 即：ABx|xA，且xBVenn图表示： 常见的五种交集的情况： BAA BABA(B)B A典例分析题型1：求并集和交集例1：求并集 A3,5,6,8，B4,5,7,8，则AB ; 设A锐角三角形，B钝角三角形，则AB ; Ax|x>3，Bx|x<6，则AB 。例2：求交集 A3,5,6,8，B4,5,7,8，则AB ; A等腰三角形，B直角三角形，则AB ; Ax|x>3，Bx|x<6，则AB 。 例3：（1）设A=x|-1<

14、x<2,B=x|1<x<3,求AB。 （2）设A=x|x>-2，B=x|x<3,求AB。例4：已知集合Ay|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR求AB、AB例5：已知题型2：并集、交集的应用（一）例1：若集合A=，B=，则满足条件实数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个例2：设集合A,B=，当AB=2，3时， （1）求的值 （2）求AB例3：例4：已知集合 的值或取值范围例5：集合A=x|x2+px-2=0，B=x|x2-x+q=0，若AB=-2，0，1，求p、q；例6：已知X=x|x2+px+q=0，p2-4q>0,A

15、=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试 求p、q；例7：已知A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a2+4a-2，2-a，且AB =3，7，求B题型3：并集和交集的应用（二）例1：设则a的取值范围为_例2：已知集合Ax|-1x2,B=x|2axa+3,且满足AB，则实数a的取值范围是 。例3：设集合S=，T=，则的取值范围是_。例4：已知集合A=，集合B=，且，试求实数的取值范围。知识点7：集合的基本运算（二）1全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。2补集的定义：对于一个集合A，

16、由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：，读作：A在U中的补集，即 Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） 典例分析题型1：根据全集和补集定义求【题型1】求补集例1：设全集， 求，例2：设全集，求：（1）和 （2）和 （3）和 （结论：）例3：设全集Ux|-1x3，A=x|-1x3，B=x|x2-2x-3=0， 求，并且判断和集合B的关系。例4：已知A=0，2，4，CUA=-1，1，CUB=-1，0，2，求B=_。例5：已知全集U=R,集合A=x|0<x-15,求CUA,CU(CUA)。例6：已知全集为R，集合P=x|xa2+4a+

17、1,aR,Q=y|y-b2+2b+3,bR 求PQ和P。题型2：集合运算的应用例1：若U=1，3，a2+2a+1，A=1，3，CUA=5，则a= ；例2：设全集U=2，3，m2+2m-3，A=|m+1|，2，CUA=5，则m的值为_；例3：已知全集U=1，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0，xU，求CUA、m；例4：设全集U为R，若，若， 求。知识点8：函数的概念以及区间1函数概念设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作=注意：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域

18、与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域.2区间和无穷大 设a、b是两个实数，且a<b，则：x|axba,b 叫闭区间； x|a<x<b(a,b) 叫开区间； x|ax<b， x|a<xb，都叫半开半闭区间. 符号：“”读“无穷大”；“”读“负无穷大”；“+”读“正无穷大”. 则，.3决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析题型1：函数定义的考察例1：集合A=，B=，下列不表示从A到B的函数是（ ） A、 B、 C、 D、例2：下列对应关系是否是从A到B的函数：求平方；，求算术平方根；

19、，求平方；A=-2,2,B=-3,3,求立方。是函数的是_。例3：下列式子中不能表示函数的是（ ） A、 B、 C、 D、题型2：区间的表示例1：用区间表示下列集合（1） =_。 （2）=_。（3）=_。 （4）=_。题型3：求函数的定义域和值域例1：求函数的定义域（1）； （2）. （3) (4) (5) (6)(7) (8)例2：求下列函数的定义域与值域：类型1：初级函数（1）； （2） (3). 类型2：分离常数法(4) （5） 类型3：换元法（6） （7） （8） （9）类型4：判别式法（10） （11）题型4：求抽象函数的定义域和值域例1：如果函数的定义域是0,1,则函数的定义域为_

20、。例2：若函数的定义域为-1,1，则函数的定义域为_。例3：若函数的定义域为-4,5，则函数的定义域为_。例4：若函数的定义域为(-1,5，则函数的定义域为_。例5：设函数的定义域为0,1,求（1） 函数的定义域（2） 函数的定义域例6：设函数的值域为-2,4)，求函数的值域题型5：判断是否为相同的函数例1：下列各组函数是同一函数的是_。 例2：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A、 B、C、 D、例3：下列各组中的两个函数是否为同一函数，下列结论正确的是（ ） （1） （2） （3） （4） （5） A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（3）（5）知识点9：函数的表示法1

21、函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法2求函数解析式的方法： 待定系数法 换元法 代入法 配凑法 方程组法典例分析题型1：待定系数法求函数解析式例1：已知二次函数满足，图像过原点，求函数的解析式例2：已知二次函数，其图像的顶点是（-1,2），且经过原点，求函数的解析式例3：已知二次函数与轴的两个交点为（-2,0），（3,0），且，求的解析式例4：是一次函数，且满足，求的表达式例5：已知为一次函数，如果，求的解析式例6：设二次函数满足，且=0的两实根平方和为10，图像过点（0,3），求的解析式。题型2：代入法求解析式例1：已知，求例2：已知，求题型3：换元法和配凑法求解析式例1：已知，求的

22、解析式例2：若，求的表达式例3：若，求的表达式例4：已知函数. 求：（1）的表达式； （2） 的值例5：已知函数，且，则_。题型4：方程组法求函数解析式例1：已知函数满足条件，则=_。例2：已知，求的表达式例3：已知函数满足条件，求的表达式例4：若，求的表达式知识点10：分段函数1分段函数定义：在函数的定义域内，对于自变量在不停的取值范围内，函数有不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。2分段函数的三要素： 分段函数的对应关系：在定义域的不同部分上，有不同的解析式 分段函数的定义域：分段函数的定义域是各段定义域的并集 分段函数的值域：值域是各段值域的并集典例分析：题型1：求函数值例1：已知

23、函数= ，则的值为_。例2：已知函数= ，若，则实数的值为_。例3：已知函数= ，则=_。题型2：画分段函数的图像例1：画出函数 的图像 321-4-3-2-10123-1-2-3321-3-2-1 0123-1-2-3 例2：已知函数的图像如下图所示，则这一函数的解析式为_。321-4-3-2-10123-1-2-3 321-4-3-2-10123-1-2-3例3：请画出函数的图像知识点11：映射1映射的概念：一般的，设A,B都是非空集合，如果按某一种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：AB为从集合A到集合B的一个映射。2映射的分

24、类： 单射 满射 双射（一 一映射）3判断映射个数 若集合A,B的元素分别为m,n,那么，从集合A到集合B的映射的个数为。典例分析题型1：映射定义的考察例1：若A=R，B=R，下列从A到B的对应法则中，是从A到B的映射的是（ ） A、 B、 C、 D、例2：下列对应不是A到B的映射的是（ ）A、A=，B=， B、A=，B=1，C、A=2,3，B=4,9， D、A=R，B=R，例3：下列对应是从集合A到集合B的映射的是（ ）A、A=，B=，对应法则是：求绝对值为的有理数B、A=R，B=R，对应法则是：求倒数C、A=三角形，B=R，对应法则是：求三角形的面积D、A=圆，B=三角形，对应法则是：求圆

25、的内接三角形例4：设集合A=，B=0,1，试问：从A到B的映射共有_个。例5：已知集合A=1,2,3,4，集合B3,4，若令，那么从M到N的映射有_个。例6：设集合A=B=，是A到B的映射，并满足，（1）求B中元素（3，-4）在A中的原象（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象（3）求B中元素（）在A中有且只有一个原象时所满足的关系式。知识点12：函数的单调性1增函数与减函数的定义增函数：一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时， 都有 ，那么就说函数在区间上是增函数 减函数：一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当

26、时， 都有 ，那么就说函数在区间上是减函数2单调性与单调区间 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间具有单调性 函数的单调区间的书写方式 一个函数有两个或两个以上的单调区间时，不能用“”而应该用“和”或“，”。 单调区间两端的开闭没有严格规定 典例分析题型1：判断函数的增减性例1：设区间，证明：当时，函数在区间上是减函数。 例2：已知函数对任意，总有，且当时，（1） 求证：在上是减函数（2） 求在-3,3上的最大值与最小值例3：函数对任意的，都有，并且当时， （1）求证：在上是增函数 （2）若，解不等式例4：已知函数的定义域是（0，），当时，且 （1）求 （2）证明：在定义域上是增函数 （3）解不等式例5：已知函数 （1）判断在区间（0,1和上的单调性 （2）求时的值域例6：如果函数在上是增函数，对于任意的，下列结论中正确的有_。 题型2：确定单调区间例1：求函数 的单调区间。例2：作出函数的图像，并根据函数的图像找出函数的单调区间。例3：写出下列函数的单调区间（1） （2）例4：判断函数 的单调性题型3：根据增减性求参数的取值范围例1：若函数在实数集上是增函数，则的取值范围为_。例2：若函数在区间-2,3