线性代数在中学数学中的应用

1、目目 录录摘要 .1ABSTRACT.2前言 .3第 1 章 行列式在中学数学中的应用 .41.1 用行列式证明等式 .41.2 用行列式分解因式 .51.3 行列式在解析几何中的应用 .6第 2 章 线性方程组在中学数学中的应用 .7第 3 章 二次型理论在中学数学中的应用 .8第 4 章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 .104.1 中学数学引入矩阵的意义.104.2 中学数学中矩阵与变换 .114.3 线性变换面积定理 .114.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系 .124.5 中学数学中矩阵变换的常见类型 .12第 5 章 用向量法解决初等几何问题 .13结论 .15参考文献 .1

2、6致谢 .17苏州大学本科生毕业设计（论文）1摘要摘要线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程关关 键键 词词：行列式 齐次线性方程组 二次型 矩阵 向量 苏州大学本科生毕业设计（论文）2AbstractLinear algebra is a branch of mathe

3、matics. It is a mathematical foundation course. In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divided into five parts. In these parts, we will give a lot of examp

4、les to show some applications of determinant, Linear equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematics.Keywords: determinant homogeneous linear system quadratic form matrixvector 苏州大学本科生毕业设计（论文）3前言前言线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂作为高等学校基础课，除了作

5、为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力苏州大学本科生毕业设计（论文）4第第 1 1 章章 行列式在中学数学中的应用行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.

6、11.1 用行列式证明等式用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明.例例 1 1 已知，求证.0abc+ + =3333abcabc+=证明：令，则3333Dabcabc，0000abcabcabcabcDcabcabcabbcabcabca+ + + +=即33330abcabc+-=例例 2 2 已知，求证：.1axby+=1bxcy+=1cxay+=222ab bccaabc+=+证明：令，则有222()()()()Dab bccaabca bcb cbc ac=+-+=-+-+-.1101100110acabax

7、byabDbacacxaycacbbcbxcybc-+-=-=+-=-+-例例 3 3 在中，求证.ABC222coscoscos1 2coscoscosABCABC+= -证明证明 由于2221coscoscoscoscos2coscoscos1cos1coscoscos1CBABCABCCABA-+-=-coscoscoscos0coscos11coscos1cos01cos0coscoscos10cos1abCBCBCBaCbcAAAaaaBbBcAA-+=-+-=-=+-所以，在中，成立.ABC222coscoscos1 2coscoscosABCABC+= -苏州大学本科生毕业设计（

8、论文）5例例 4 4 求证：.222coscoscos ()2coscoscos()1abababab+-+=证明：因为2221coscoscos1cos()1 2coscoscos()coscoscos ()coscos()1Dabaabababababaab=+= +-+又，221000sinsinsin00sinsinsinDaababb=-=-故222coscoscos ()2coscoscos()1abababab+-+=1.21.2 用行列式分解因式用行列式分解因式由行列式的定义，.由此启发，我们可以把一个代数式1112112212212122aaa aa aaa=-看成两个式子的

9、差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即(FFMNPQ=-均为代数式)，于是.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进, ,M N P QMPFQN=行因式分解.例例 1 1 分解因式.43262420 xxxx+-解：4322262420(61)4(65)xxxxxxxx+-=+-+22221165(4)461461xxxxxxx-+=-+.22(4)(65)(2)(1)(2)(5)xxxxxxx=-+=-+例例 2 2 将分解因式.3386abab+ -解：332111862(2) 222ababababababbaba+ -=+ +.22(2)(224)a bababab=+ +-+例

10、例 3 3 分解因式.222222abbccaacbacb+-苏州大学本科生毕业设计（论文）6解：222222222222()()()abbccaacbacba bcb cac ab+-=-+-+-.222()()()111abcabcab bc ca=-利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.1.31.3 行列式在解析几何中的应用行列式在解析几何中的应用定理定理 1 1（1）以平面内三点为顶点的的面积 2112233(,),(,),(,)A x yB xyC xyABCD的绝对值.11223311121xySxyxy=（2）通过两点的直线方程为.

11、1122( ,),(,)P x yQ xy11221101xyxyxy=例例 求过点和点的直线的方程.()2,3( )1,4解解 由，得直线的方程为.12310141xy=50 xy+-=（3）平面内三条直线.111122223333:0,:0,:0La xb ycLa xb ycLa xb yc+=+=+=相较于一点或互相平行的充要条件是：.1112223330abcabcabc=推论推论 平面上三点在一条直线上的充要条件是. 2112233( ,),(,),(,)P x yQ xyR xy1122331101xyxyxy=定理定理 2 2 通过平面上三点的圆的方程为 2112233( ,)

12、, (,),(,)A x yB xyC xy.2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy+=+苏州大学本科生毕业设计（论文）7例例 1 1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.证明证明：设三个圆的方程分别为.两两相减得三条交线正220(1,2,3)iiixyD xE yFi+=是所述三条根轴，它们所在的直线方程为121212131313323232()()()0,()()()0,()()()0DDxEEyFFDD xEEyFFDDxEEyFF-+-+-=-+-+-=-+-+-=三条直线方程的系数行列式为12121

13、21212121313132323233232323232320DDEEFFDDEEFFDDDEEFFDDEEFFDDEEFFDDEEFF-=-=-=-故三直线平行或相较于一点.本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题,居高临下,让人耳目一新.第第 2 2 章章 线性方程组在中学数学中的应用线性方程组在中学数学中的应用线性方程组在中学就学过，主要是研究若干变量的相互关系，比如下面就是一个线性方程组的例子：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人?

14、解解 设大和尚的数目是，小和尚的数目是，则有xy， 解之得 100131003xyxy2575xy其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.定理定理 含有 n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组的系数 3行列式等零.例例 1 1 已知函数,证明、中至少有一个不小于.2( )f xxaxb=+(1)f(2)f(3)f12解解把=1,2,3 代入函数表达式,列方程组x苏州大学本科生毕业设计（论文）8(1(1)02(4(2)03(9(3)0abfabfabf上述关于 a、b、1 的齐次线性方程组有非零解,故,展开整理得111(1)214(2)0319(3)fff-=-，假

15、设结论不成立,即, , ,易推出(1)2 (2)(3)2fff-+=1(1)2f1(2)2f1(3)2f,从而产生矛盾,故命题成立.2(1)2 (2)(3)2fff 例例 2 2 已知，求证：.xayz=+ybzx=+zcxy=+1 2ab bccaabc+= -证明证明：由已知得关于得方程组, ,x y z000 xayazbxybzcxcyz因为不可能为零，所以由定理知, ,x y z1101aabbcc化简得即.10abcabcacbcab-=1 2ab bccaabc+= -由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组,构造三阶行列式,其解题思路新颖,能够巧妙地解决中学数

16、学中的若干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.第第 3 3 章章 二次型理论在中学数学中的应用二次型理论在中学数学中的应用考虑一个 n 元二次型：，其中2221211 112121122222( ,)2.22nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xa xX AX,.12, ,1, ,(,.,)ijnaR i jn Xx xx111211222212nnnnnnAaaaaaaaaa定义定义一个二次型经过非线型替换变成的平方和 412( ,)nf x xx苏州大学本科生毕业设计（论文）9，称为的标准型.222121 122( ,)nnnf x

17、 xxd xd xLd x,1, ,(1)idR in12( ,)nf x xx定理定理1 1 实数域上任意一个二次型 都可以经过非退化的线性替换变成平方 412( ,)nf x xx和（1）的形式.定理定理2 2 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的 4秩等于2和符号差为0，或秩等于1.例例 1 1 试判断下列多项式在 R 上能否分解，若能，分解之.22121212121) ( ,)2423f x xxxx xxx=+2212121222) ( ,)3241f x xxxx xx=-+-解解 1)1) 令,则，下面考虑2212312121323(,)2423g

18、 x xxxxx xx xx x=+1212(,)(,1)f x xg x x=的秩和符号差，对作非线性替换:123(,)g x xx123( ,)g x x x112322333214yxxxyxxyx， 即 11232233312214xyyyxyyxy有，可见的秩是3，有定理2，知不能分2221231231( ,)28g x x xyyy=-+123( ,)g x x x123( ,)g x x x解，从而也不能分解.12( ,)f x x解解 2)2) 令，则下面考虑2221231212233( ,)324g x x xxxx xx xx=-+-+1212( ,)( ,1)f x xg

19、 x x=的秩和符号差.对作非线性替换123( ,)g x x x123( ,)g x x x112223332yxxyxxyx， 即 11232233311221()2xyyyxyyxy有，从而，可见的秩为2，符号2212312( ,)g x x xyy=-22121212( ,)( ,1)f x xg x xyy=-12( ,)f x x差为0，有定理2，知可以分解，且12( ,)f x x2212121212121212( ,)( ,1)()()(31)(1)f x xg x xyyyyyyxxxx=-=+-=+-定理定理 2 2对于 n 元实二次型为的特征值,则对于任意 41212(

20、,.,),.,nnf x xxX AXlll=A,有.nXR 12min( ,.,)maxiniX Xf x xxX X例例 3 3设是实数,且满足.则的最大值与最小值是., x y223xxyy+=22xxyy-+_解解令,则的矩阵.22112( , )( , )112xf x yxxyyx yy ( , )f x y112112A 苏州大学本科生毕业设计（论文）10令,因此,特征值.11312()()012212IA1213,22ll=由定理得,注意到,解得.又222213()( , )()22xyf x yxy( , )3f x y =2226xy,从而,所以的2222222()( ,

21、)2()3xxyyxyf x yxy-+=+-=+-2219xxyy22xxyy-+最大值为 9,最小值为 1.由此可见,运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型在条件12( ,.,)nf x xx下的取值范围,解法流程清晰,易于掌握.21niixa第第 4 4 章章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用矩阵与变换引入中学数学的意义及应用新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数学发展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。下面对中学数学引入矩阵知识的意义及作用，进行初步的探讨

22、.4.14.1 中学数学引入矩阵的意义中学数学引入矩阵的意义中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先，为表达数据提供新的工具.因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活中的需要；其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学数学中，映射是最重要的基本概念.在新课程中学数学体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几个方面映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备基础.但映射的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于

23、扩充学生的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要，似嫌不足.因此，中学数学引入矩阵可为表达映射提供一种新的方法;第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途径.引入矩阵知识及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式-克拉姆法则，这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的途径，而且有利于与高等数学相连接；第四，综合应用，为高等数学与其他模块的学习提供帮助.例如网络图、信息与密码、概率与统计、生苏州大学本科生毕业设计（论文）11态学等，都可以用矩阵表达或者求解，引入矩阵知识，可为学习这些知识提供有力的工具.4.24.2 中学数学中矩阵与变换中学数学中矩阵与变换中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，

24、其中，矩阵起着“对应法则”的作用.用二阶矩阵确定的变换，就是构造映射，使平面上的点变成点abAcdxy ，这个映射的对应法则就是左乘，在这个变换中，矩阵abxxcdyy abcd称之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换.abcd例例 1 1 已知在一个二阶矩阵对应变换作用，点变成了点,点变成M( )1,2A()7,10A()2,0B了点，求矩阵.()2,4BM解解 设，则，.abMcd17210abcd 2204abcd 所以 ， 解得 ， 所以.272102224abcdac1324abcd1324M4.34.3 线性变换面积定理线性变换面积定理定理定理 1 1线性变换将平面上所有图

25、形的面积放大或缩小同一倍数,这个倍数就是变换行 5列式的绝对值.例例 1 1 在平面直角坐标系中,已知平面区域,则平面区xoy( , )|1,0,0Ax yxyxy且域的面积为.(,)|( , )Bxy xyx yA_解解依题意,平面区域 A 是由,围成的三角形,面积 S 为,平面区域( )0,1O(1,0)C(0,1)D12变成平面区域所对应的变换矩阵为AB苏州大学本科生毕业设计（论文）12,则变换行列式的绝对值,所以平面区域的面积为.111111det211BS12124.44.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系利用矩阵的秩判断两直线位置关系定理定理 2 2 设空间两直线：， 611112

26、2220:0AxB yC zDLA xB yC zD333344440:0A xB yC zDLA xB yC zD设矩阵的秩为,矩阵的秩为，则 1）当111222333444ABCABCAABCABC( )r A1111222233334444ABCDABCDAABCDABCD( )r A=4 时，两直线异面；2）=2 时，两直线重合；3）=3 时，两直线相交；( )r A( )r A( )r A( )r A4）=3 时，两直线平行.( )r A( )r A例例 判断两直线和的位置关系.140:310 xyzLxyz 22350:3560 xyzLxyz解解 1114111410211132

27、02260113213501130000315602260000 行变行变故=2，所以直线与直线重合.( )r A( )r A1L2L4.54.5 中学数学中矩阵变换的常见类型中学数学中矩阵变换的常见类型中学数学中由矩阵确定的变换的常见类型，列表说明如下：表表 1 1 中学数学中矩阵变换的常见类型中学数学中矩阵变换的常见类型 7变换名称变换矩阵几何特征恒等变换10=01E图形变成图形FF苏州大学本科生毕业设计（论文）13伸压变换1、沿轴方向： 2、沿 轴方向x10=01kMy210=0Mk图形变成图形，大小FF和形状可能变化反射变换关于轴反射关于轴反射关于x110=01My210=01M反射关

28、于原点反射yx=301=10M410=01M图形变成图形，大小FF和形状不变，位置可能改变旋转变换cossinsincosM图形变成图形，大小FF和形状不变，位置可能改变投影变换垂直投到轴：垂直投到轴：x110=00My200=01M图形变成线或点F切变变换1、沿轴方向： 2、沿 轴方向x11=01kMy210=1Mk图形变成图形，大小FF和形状可能变化第第 5 章章 用向量法解决初等几何问题用向量法解决初等几何问题众所周知，向量是现代数学的基本概念之一。在高中数学教材中引入向量概念也是数学现代化的需要。向量是初等数学与高等数学的衔接点，这也是向量在数学课程改革中受到青睐的魅力所在。 向量有利

29、于培养学生数形结合的思想方法，有利于拓宽解题思路，有利于发展学生的运算能力，有利于与高等教育衔接等方面。 例例 1 证明三角形的余弦定理.证明证明 在中，设，且，ABCDBCa =CAb =ABc =aa=bb=cc=那么即 从而0abc+ + =()abc=-+2222abcb c 所以 即.2222cos()abca bA 2222cosabcbcA=+-例例 2 2 求证：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证明证明 分别为三角形的两边与的中点，那么M、NABCDABAC,所以,且.()11112222MNANAMACABACABBC =-=-=-=MN BC 12M

30、NBC =苏州大学本科生毕业设计（论文）14FEBAPC例例 3 3 如图，三菱锥,底面，PABC-PBABC90BAC,点4 2PBBCCA=分别是的中点，EF、PCAP、求二面角的余弦值. ABEF-解解 以 BP 所在直线为 z 轴，BC 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，则.(0,0,0), (4 2,4 2,0),(0,4 2,0), (0,0,4 2),(0,2 2,2 2),(2 2,2 2,2 2)BACPEF因为 PB平面 ABC，所以 PBAC,又 ACCB,所以 AC平面 PBC,所以 ACPC,所以EFPC.又 BEPC,所以 PC平面 BEF.而，所以平面 BEF 的一个法向量.(0,4 2, 4 2)PC =-1(0,1, 1)n =-设平面 ABE 的法向量，则，则 x:y:z=1:(-1):1.2( , , )nx y z=222 22 202 22 20nBEyznBAxy 取 x=1，则平面 ABE 的一个法向量，所以.2(1, 1,1)n =-126cos,3n n 所以二面角 A-BE-F 的平面角的余弦值为.63